北师大版初中数学八年级下册5.4 分式方程(第2课时) 课件

B. 2(x-8)+5x=8 D. 2(x-8)-5x=8
课堂检测
5.4 分式方程/
基础巩固题
5.解方程：(1)
3＝ x－1
4 x
；
(2)
2
x＋ x－3
5 3－2 x
＝4.
解： 方程两边都乘x(x－1)， 解：方程两边都乘2x－3，
得 3x＝4(x－1)．
得x－5＝4(2x－3)．
解这个方程，得x＝4.
解这个方程，得x＝1.
检验：当x＝1时， (x+1)(x-1)=0，
所以，x＝1是原方程的増根，
所以，原方程无解.
课堂检测
能力提升题
5.4 分式方程/
1.关于x的方程
2x a x 1
1 的解是正数，则a的取值范围是
a_＜__－__1_且__a_≠_－__2．
解析：去分母得,2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于
由分式方程有增根,得到2x+1=0,即x=- 1 ,
把x=- 1 代入整式方程得:m=10,
2
2
综上,m的值为6或10.
课堂小结
5.4 分式方程/
分式方程的解法
思考：你能设法求出上一节课列出的分式方程
1400 - 1400 = 9 x 2.8x
的解吗？
转化
分式方程
整式方程
探究新知
（1）分析：1400 - 1400 = 9
x 2.8x
1400 (
-
1400)×
2.8x
=
9×
2.8x
x 2.8x
1400× 2.8x - 1400×2.8x = 9× 2.8x
探究新知
5.4 分式方程/
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
90 60 30+x 30 x
①
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而
1 10 x 5 x2 25
② 去分母后所得整式方程的解却
不是原分式方程的解呢？
探究新知
5.4 分式方程/
我们再来观察去分母的过程:
90 60 30+x 30 x
x
2.8x
1400× 2.8 - 1400= 9× 2.8x
25.2x = 2520 x =100
5.4 分式方程/
{
1400× 2.8 - 1400 = 9 2.8x 2.8x
1400× 2.8 -1400 = 9
2.8x
1400× 2.8 -1400× 2.8x = 9× 2.8x
2.8x
1400× 2.8 - 1400= 9× 2.8x
x+5=10，
解得 x=5.
5.4 分式方程/
x=5是原分式 方程的解吗？
探究新知
5.4 分式方程/
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，
相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，
但不是原分式方程
1
10
x 5 x2 25
的解，实际上，这
个分式方程无解.
巩固练习
5.4 分式方程/
变式训练
若关于x的分式方程
x
2 2
mx x2 4
x
3
2
无解，求m的值．
分析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨 论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．
巩固练习
5.4 分式方程/
解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)， 即(m－1)x＝－10.
① 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
90(30-x)=60(30+x)
结论：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式 方程的解相同.
探究新知
5.4 分式方程/
1 x5
10 x2 25
② 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时, (x+5)(x-5)=0
一元一次方程
导入新知
5.4 分式方程/
4. 解一元一次方程 x x 1 1.
23
解：3x-2（x+1）=6 3x-2x=6+2 x=8.
素养目标
5.4 分式方程/
2. 理解分式方程产生增根的原因，掌握分式 方程验根的方法.
1. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解 法.
探究新知
知识点
5.4 分式方程/
480×2x - 600× 2x = 45× 2x
x
2x
960-600=90x. 解这个方程,得 x=4. 经检验，x＝4是原方程的根.
巩固练习
5.4 分式方程/
变式训练
解分式方程
1 -2= 3
x -1
1- x
，去分母得(
A
)
A．1- （ 2 x -1）=-3
B．1-（ 2 x -1）=3
C．1- 2x - 2 =-3 D．1- 2x+2=3
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1； ②方程有增根，则x＝2或x＝－2， 当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4； 当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10， 解得m＝6， ∴m的值是1，－4或6.
连接中考
5.4 分式方程/
（2020·海南）分式方程
探究新知
素养考点 1 例1 解方程 (1) 1 = 3
x-2 x
5.4 分式方程/
分式方程的解法 (2) 1 - x = 1 - 2
x-2 2-x
解：（1）方程两边都乘 x(x - 2), 解：（2）方程两边都乘 (x - 2) ,
得
x=3 (x - 2)
得 1- x = -1- 2(x - 2)
5 2
=右边，
因此x=6是原分式方程的解.
探究新知
5.4 分式方程/
结论 解分式方程的基本思路 将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即
方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
探究新知
3.下面我们再讨论一个分式方程：
1
10
x 5 x2 25
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不 为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是 原分式方程的解.
探究新知
5.4 分式方程/
方法总结 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一 样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数， 分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包 括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
分式方程
目 标
去分母
整式方程 解整式方程
x=a
这里的检验要 以解整式方程 正确为前提
a 是分式 方程的根
最简公分 母不为0
最简公分 a 不是分式方程的根
母为0
（a是分式方程的增根）
探究新知
5.4 分式方程/
例2
480
解方程：x
600 2x
45.
解：方程两边都乘2x，得
( 480 - 600)×2x = 45×2x x 2x
x x
5 3
m 3 x
会出现增根.
解析：方程两边都乘(x-3)，得 x-5=-m， 解这个方程，得 x=5-m， 若x是方程的增根，则有x=3，即5-m=3，解得m=2.
探究新知 方法总结
5.4 分式方程/
分式方程的增根 1.确定分式方程增根的方法:使得分式方程的分母为零的未知数 的值. 2.产生增根的原因:在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式. 3.分式方程无解的两种情况: (1)由分式方程转化得到的整式方程的解,使得最简公分母为零, 此时分式方程有增根. (2)由分式方程转化的整式方程无解,此时分式方程也无解.
x+5=10
结论：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使 分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
我们称它为原方程的增根.
探究新知
5.4 分式方程/
结论 分式方程解的检验------必不可少的步骤
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原 方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验． 检验方法：
探究新知
5.4 分式方程/
用框图的方式总结为： 分式方程 整式方程
x =a
x =a是分式 否 方程的解
x =a 最简公分母是
否为零？
去分母 解整式方程 检验
是 x =a不是分式 方程的解
探究新知
5.4 分式方程/
5.解分式方程容易犯的错误主要有：
（1）去分母时，原方程的整式部分漏乘． （2）约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． （3）增根不舍掉. （4）符号问题.
∴m=3x-6.
∵该分式方程有增根，
∴x=2，∴m=0.
课堂检测
5.4 分式方程/
拓广探索题
若关于x的分式方程
m（x 1） 5 2x 1
=m-3无解,求m的值.
解:分式方程去分母得:m(x+1)-5=(m-3)(2x+1),
整理得:mx+m-5=(2m-6)x+m-3,即(m-6)x=-2,
当m-6=0,即m=6时,方程无解;
x
3
2
1
的解是
(
C
)
A. x=-1 C. x=5
B. x=1 D. x=2
课堂检测
基础巩固题
5.4 分式方程/
1.关于x的方程
2ax 3 ax
3 4
的解为x=1,则a=(
D
)
A. 1
B. 3
C. -1
D. -3
2.关于x的分式方程
7x x 1
+5=
2m 1 x 1
有增根,则m的值为
(
B
)
A.5
北师大版 八年级 数学 下册
5.4 分式方程 （第2课时）
导入新知
5.4 分式方程/
1.还记得什么是方程的解吗？ 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？ 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.二元一次方程组呢？ 加减消元法、代入消元法
转化
二元一次方程组
探究新知
5.4 分式方程/
（2）计算：14x00
-
1400 2.8x
=
9
先约分，再去分母,可以使计 算简便
解： 方程可化为 1400 - 500 = 9
xx
1400- 500 = 9 x
两边都乘 x，得 1400 • x - 500 • x = 9x
x
x
化简，得
1400- 500=9x
9x =900
解分式方程最关键的问题是什么？ “去分母”
探究新知
5.4 分式方程/
90 60 30+x 30 x
方程各分母最简公分母是：（30+x）(30-x). 解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
x=6是原分式方程的解吗？
检验：将x=6代入原分式方程中，左边=
巩固练习
变式训练
5.4 分式方程/
下列关于分式方程增根的说法正确的是( C )
A．使所有的分母的值都为零的解是增根 B．分式方程的解为0就是增根 C．使最简公分母的值为0的解是增根 D．使分子的值为0的解就是增根
探究新知
5.4 分式方程/
素养考点 2 已知分式方程根的情况求待定字母
例3 当m=___2___时,解分式方程
x的方程
2x a x 1
1的解是正数，∴x＞0且x≠1.∴－a－1＞
0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2.∴a的取值范围是a＜
－1且a≠－2.
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5.4 分式方程/
能力提升题
2.若关于x的方程
2 x2
xm 2 x
2
有增根，求m的值.
解：方程两边同乘以x-2，得
2-x+m=2x-4,
合并同类项,得3x=6+m,
解这个方程 ，得 x=3.
解这个方程，得 x=2.
检验：将x=3代入原方程，得 左边=1，右边=1，左边=右边. 所以，x=3是原方程的根.
检验：当 x=2时，x-2=0, x=2是原方程的增根， 所以，原方程无解.
探究新知
5.4 分式方程/
注意：
检验 (1)把未知数的值代入原方程(一般方法);
方法 (2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法).
探究新知
5.4 分式方程/
结论 “去分母法”解分式方程的步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去. 4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
B.4
C.3
D.1
课堂检测
5.4 分式方程/
基础巩固题
3.若关于x的分式方程
m 1 x 1
=2的解为非负数,则m的取值范围是
___m_≥_-_1_且__m__≠_1____.
4. 解分式方程
x 8 x7，去分母后得到的整式
方程是（ A ）
A. 2（x-8)+5x=16(x-7) C. 2(x-8)-5x=16(x-7)
900 = 9 x
900 • x = 9 • x x
9x =900
解得
x =100
x =100
探究新知
5.4 分式方程/
2 .你能试着解这个分式方程吗？ 90 60
30+x 30 x （1）如何把它转化为整式方程呢？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解这个方程，得x＝1.
检验：将x＝4代入原方程， 检验：将x＝1代入原方程，
得左边＝1＝右边．
得左边＝4＝右边．
所以，x＝4是原方程的根． 所以，x＝1是原方程的根．
课堂检测
5.4 分式方程/
23 6
(3)
x
+ +1
x
-1
=
x2
-1
解： 方程两边都乘 (x+1)(x-1)，
得
2(x-1)+3(x+1)＝6．