8.2消元——解二元一次方程组第1课时代入消元法(教学课件)- 初中数学人教版七年级下册
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法.
基本思想 → 消元
→ 变形
→ 代入消元
用代入消元法
解二元一次方程组 → 求解
的步骤
→ 回代求解
→ 写解
解得
x=0
方法二：
将 x = 0 代入 ③ 得
解：由 ② 得
0 - y = 2×0+4
x - y = 2x + 4
③
将 ③ 代入 ① 得
方法二运用了
整体代入思想.
y = -4
∴原方程组的解是
x = 0.
y = -4.
4.有 48 支队 520 名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队 10 人，
每支排球队 12 人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有
方法一：
5x +8+ 2x = 8
解：原方程组化简，得
x=0
5x - 2y = 8 ③
x + y = -4
④
将 x = 0 代入 ⑤ 得
y = -4.
∴原方ຫໍສະໝຸດ Baidu组的解是
x = 0.
y = -4.
3x + 2( x - y ) = 8，①
2x - (x - y) = -4.
②
3x + 2(2x + 4) = 8
多少支参赛？
分析：等量关系：① 篮球队+足球队＝48(支)；
② 篮球运动员+足球运动员＝520(人).
解：设篮球队有 x 支参赛，排球队有 y 支参赛，
+ = ,
由题意，得
+ = .
①
②
由①，得 x=48-y. ③
把③代入②，得10(48-y)+12y=520.
解这个方程，得 y=20.
解.
新知学习
还记得上一节课中的篮球赛问题吗？我们如何求出所列二元一次方程
组的解呢？
问题 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负
一场得 1 分. 某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分
别是多少？
等量关系：胜的场数＋负的场数＝总场数；
胜场积分＋负场积分＝总积分.
未知数y．
消去 y
y = 50 000
x = 20 000
解得 x
一元一次方程
5
500 x 250 x 22500000
2
思考
解这个方程组时，可以先消去 x 吗？试试看.
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得
= ,
答：这些消毒液应该分装 20 000 大瓶和 50 000 小瓶.
随堂练习
1. 解方程组
4x + 5y = 17
4x + 7y = -19
到的方程是 ( B )
A. 2y = -2
B. 2y = -36
C. 12y = -36
D. 12y = -2
①
②
时，用代入消元法整体消去 4x，得
2. 小明解二元一次方程组
y=-1.
把 y=-1代入③，得
x=2.
所以这个方程组的解是
= ,
= −.
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g），
两种产品的销售数量（按瓶计算）的比为2:5.某厂每天生产这种消毒液
22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
分析：等量关系① 大瓶数：小瓶数＝2：5
+ = .
由①，得 =
.
③
①
②
把③代入②，得 ×
+ = .
解这个方程，得 y=50 000.
把 y=50 000代入 ③， 得
x=20 000.
= ,
所以这个方程组的解是
= .
2
把x= 20000代入③，得y =50000
所以原方程组的解是
x = 20000.
y = 50000.
答：这些消毒液应该分装20000大瓶、50000小瓶.
①
②
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
二
元
一
次
方
程
组
变形
5x=2y
=
解得 y
代入
500x+250y=22 500 000
用 代替y，消去
8.2消元——解二元一次
方程组
第1课时 代入消元法
七年级下
人教版
学习目标
1. 会用代入消元法解二元一次方程组.
重点
2. 了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思
想.
难点
新课引入
1. 什么是二元一次方程：
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一
次方程.
3x - 4y = 5 ①
x - 2y = 3
合适的解法是 ( D )
A. 由 ① 得
，代入 ②
B. 由 ① 得
，代入 ②
C. 由 ② 得
，代入 ①
D. 由 ② 得
，代入 ①
②
时写出了四种解法，其中最
3. 用代入法解下列方程组：
(1)
y = 2x - 3， ①
3x + 2y = 8. ②
解：将 ① 代入②得：
把 y=20 代入③，得 x=28.
= ,
所以这个方程组的解为
= .
答：篮球队有 28 支参赛，排球队有 20 支参赛.
5.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5
h 后到达县城.他骑车的平均速度为 15 km/h，步行的平均速度为 5
km/h，路程全长 20 km，他骑车与步行各用了多少时间？
解：设胜 x 场，则负(10－x)场.
解：设胜了 x 场，负了 y 场.
2x+(10－x)=16.
x+y=10，①
解得 x = 6 ，
2x+y=16 ②
y = 10-x ，代入②
10－x = 10-6 = 4
答：胜 6 场，负4场.
2x + (10－x) = 16
一元
二元
消元思想
探究
x + y =10，
等量关系② 大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液＝总生产量
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶
5x 2 y
根据题意，可列方程组：
500 x 250 y 22500000
5
由 ① 得，y = x ③
2
将 ③ 代入 ② 得：500 x 250 5 x 22500000
解得 x= 20000
表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方
程组的解.这种方法称为代入消元法，简称代入法.
思考 1.解这个方程组时，可以先消去 x 吗？
x + y = 10，
①
2x + y = 16
②
解：由 ①，得 x = 10-y ③
→ 变形
将 ③ 代入 ②，得 2(10-y)+y =16
→ 代入消元
把 y=0.25 代入③，得 x=1.25.
= . ,
所以这个方程组的解为
= . .
答：他骑车用了1.25 h，步行用了0.25 h.
课堂小结
概念
代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数
的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这
个二元一次方程组的解.这种方法称为代入消元法，简称代入
x = 16 y
2
很明显消去
x 更简便
归纳
解二元一次方程组的步骤：
1. 变形：在已知方程组中选择一个适当的方程，将它的一个未知数用含另一个未知
数的式子表示出来.
2. 代入消元：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
3. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
4. 回代求解：回代求出另一个未知数的值.
①
如何解这个二元一次方程组呢？
2x +y = 16
②
基本思想 → 消元
解：由 ①，得 y = 10-x
③
将 ③ 代入 ②，得 2x+ 10-x = 16
解得，x = 6.
将 x = 6 代入③，得 y = 10-6 = 4.
所以原方程组的解是
x = 6.
y = 4.
→ 变形(用一个未知数表示另一个)
5. 写解：把方程组的解表示出来.
6. 检验：即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
例1 用代入法解方程组
①
− = ,
− = .
②
分析：方程①中 x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便.
解：由①，得
x=y+3 .③
把③代入②，得
3(y+3)-8y=14.
解这个方程，得
→ 代入消元
→ 求解
→ 回代求解
→ 写解
归纳
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就
把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程. 我们可以先求出
一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做消元思想.
归纳
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子
分析：等量关系：① 骑车时间+步行时间＝1.5(h)；
② 骑车路程+步行路程＝20(km).
解：设他骑车用了 x h，步行用了 y h，
①
+ = . ,
由题意，得
+ = . ②
由①得 x=1.5-y. ③
把③代入②，得 15(1.5-y)+5y=20.
解这个方程，得 y=0.25.
将 x = 2 代入①得
3x + 2(2x - 3) = 8
y = 2×2 - 3 = 1
3x + 4x - 6 = 8
7x = 14
x=2
∴原方程组的解是
x = 2.
y = 1.
(2)
x + y = 5， ①
2x + 3y = 11. ②
解：由 ① 得，x = 5 - y ③
将 y = 1 代入③得
将 ③ 代入 ② 得：
x=5-1=4
2(5 - y) + 3y = 11
10 - 2y + 3y = 11
y=1
∴原方程组的解是
x = 4.
y = 1.
(3)
3x + 2( x - y ) = 8，①
2x - (x - y) = -4.
②
由④得
y = - 4 -x
⑤
代入 ③ 得
5x - 2( - 4-x ) = 8
2. 什么是二元一次方程组：
一个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且
一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
3. 什么是二元一次方程的解：
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一
次方程的解.
4. 什么是二元一次方程组的解：
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的
解得
→ 求解
y = 4.
将 y = 4 代入③，得 x = 10-4 =6.
→ 回代求解
所以原方程组的解是
→ 写解
x = 6.
y = 4.
2. 能先将 ② 进行变形吗？消去哪个未知数更简便呢？
x + y = 10，
①
2x +y =16
②
2x +y =16
2x +y =16
2x = 16-y
y = 16-2x
基本思想 → 消元
→ 变形
→ 代入消元
用代入消元法
解二元一次方程组 → 求解
的步骤
→ 回代求解
→ 写解
解得
x=0
方法二：
将 x = 0 代入 ③ 得
解：由 ② 得
0 - y = 2×0+4
x - y = 2x + 4
③
将 ③ 代入 ① 得
方法二运用了
整体代入思想.
y = -4
∴原方程组的解是
x = 0.
y = -4.
4.有 48 支队 520 名运动员参加篮、排球比赛，其中每支篮球队 10 人，
每支排球队 12 人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有
方法一：
5x +8+ 2x = 8
解：原方程组化简，得
x=0
5x - 2y = 8 ③
x + y = -4
④
将 x = 0 代入 ⑤ 得
y = -4.
∴原方ຫໍສະໝຸດ Baidu组的解是
x = 0.
y = -4.
3x + 2( x - y ) = 8，①
2x - (x - y) = -4.
②
3x + 2(2x + 4) = 8
多少支参赛？
分析：等量关系：① 篮球队+足球队＝48(支)；
② 篮球运动员+足球运动员＝520(人).
解：设篮球队有 x 支参赛，排球队有 y 支参赛，
+ = ,
由题意，得
+ = .
①
②
由①，得 x=48-y. ③
把③代入②，得10(48-y)+12y=520.
解这个方程，得 y=20.
解.
新知学习
还记得上一节课中的篮球赛问题吗？我们如何求出所列二元一次方程
组的解呢？
问题 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得 2 分，负
一场得 1 分. 某队在 10 场比赛中得到 16 分，那么这个队胜负场数分
别是多少？
等量关系：胜的场数＋负的场数＝总场数；
胜场积分＋负场积分＝总积分.
未知数y．
消去 y
y = 50 000
x = 20 000
解得 x
一元一次方程
5
500 x 250 x 22500000
2
思考
解这个方程组时，可以先消去 x 吗？试试看.
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总产量的数量关系，得
= ,
答：这些消毒液应该分装 20 000 大瓶和 50 000 小瓶.
随堂练习
1. 解方程组
4x + 5y = 17
4x + 7y = -19
到的方程是 ( B )
A. 2y = -2
B. 2y = -36
C. 12y = -36
D. 12y = -2
①
②
时，用代入消元法整体消去 4x，得
2. 小明解二元一次方程组
y=-1.
把 y=-1代入③，得
x=2.
所以这个方程组的解是
= ,
= −.
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g），
两种产品的销售数量（按瓶计算）的比为2:5.某厂每天生产这种消毒液
22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
分析：等量关系① 大瓶数：小瓶数＝2：5
+ = .
由①，得 =
.
③
①
②
把③代入②，得 ×
+ = .
解这个方程，得 y=50 000.
把 y=50 000代入 ③， 得
x=20 000.
= ,
所以这个方程组的解是
= .
2
把x= 20000代入③，得y =50000
所以原方程组的解是
x = 20000.
y = 50000.
答：这些消毒液应该分装20000大瓶、50000小瓶.
①
②
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
二
元
一
次
方
程
组
变形
5x=2y
=
解得 y
代入
500x+250y=22 500 000
用 代替y，消去
8.2消元——解二元一次
方程组
第1课时 代入消元法
七年级下
人教版
学习目标
1. 会用代入消元法解二元一次方程组.
重点
2. 了解“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思
想.
难点
新课引入
1. 什么是二元一次方程：
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一
次方程.
3x - 4y = 5 ①
x - 2y = 3
合适的解法是 ( D )
A. 由 ① 得
，代入 ②
B. 由 ① 得
，代入 ②
C. 由 ② 得
，代入 ①
D. 由 ② 得
，代入 ①
②
时写出了四种解法，其中最
3. 用代入法解下列方程组：
(1)
y = 2x - 3， ①
3x + 2y = 8. ②
解：将 ① 代入②得：
把 y=20 代入③，得 x=28.
= ,
所以这个方程组的解为
= .
答：篮球队有 28 支参赛，排球队有 20 支参赛.
5.张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，1.5
h 后到达县城.他骑车的平均速度为 15 km/h，步行的平均速度为 5
km/h，路程全长 20 km，他骑车与步行各用了多少时间？
解：设胜 x 场，则负(10－x)场.
解：设胜了 x 场，负了 y 场.
2x+(10－x)=16.
x+y=10，①
解得 x = 6 ，
2x+y=16 ②
y = 10-x ，代入②
10－x = 10-6 = 4
答：胜 6 场，负4场.
2x + (10－x) = 16
一元
二元
消元思想
探究
x + y =10，
等量关系② 大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液＝总生产量
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶
5x 2 y
根据题意，可列方程组：
500 x 250 y 22500000
5
由 ① 得，y = x ③
2
将 ③ 代入 ② 得：500 x 250 5 x 22500000
解得 x= 20000
表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方
程组的解.这种方法称为代入消元法，简称代入法.
思考 1.解这个方程组时，可以先消去 x 吗？
x + y = 10，
①
2x + y = 16
②
解：由 ①，得 x = 10-y ③
→ 变形
将 ③ 代入 ②，得 2(10-y)+y =16
→ 代入消元
把 y=0.25 代入③，得 x=1.25.
= . ,
所以这个方程组的解为
= . .
答：他骑车用了1.25 h，步行用了0.25 h.
课堂小结
概念
代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数
的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这
个二元一次方程组的解.这种方法称为代入消元法，简称代入
x = 16 y
2
很明显消去
x 更简便
归纳
解二元一次方程组的步骤：
1. 变形：在已知方程组中选择一个适当的方程，将它的一个未知数用含另一个未知
数的式子表示出来.
2. 代入消元：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
3. 求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
4. 回代求解：回代求出另一个未知数的值.
①
如何解这个二元一次方程组呢？
2x +y = 16
②
基本思想 → 消元
解：由 ①，得 y = 10-x
③
将 ③ 代入 ②，得 2x+ 10-x = 16
解得，x = 6.
将 x = 6 代入③，得 y = 10-6 = 4.
所以原方程组的解是
x = 6.
y = 4.
→ 变形(用一个未知数表示另一个)
5. 写解：把方程组的解表示出来.
6. 检验：即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
例1 用代入法解方程组
①
− = ,
− = .
②
分析：方程①中 x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便.
解：由①，得
x=y+3 .③
把③代入②，得
3(y+3)-8y=14.
解这个方程，得
→ 代入消元
→ 求解
→ 回代求解
→ 写解
归纳
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就
把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程. 我们可以先求出
一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、
逐一解决的思想，叫做消元思想.
归纳
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子
分析：等量关系：① 骑车时间+步行时间＝1.5(h)；
② 骑车路程+步行路程＝20(km).
解：设他骑车用了 x h，步行用了 y h，
①
+ = . ,
由题意，得
+ = . ②
由①得 x=1.5-y. ③
把③代入②，得 15(1.5-y)+5y=20.
解这个方程，得 y=0.25.
将 x = 2 代入①得
3x + 2(2x - 3) = 8
y = 2×2 - 3 = 1
3x + 4x - 6 = 8
7x = 14
x=2
∴原方程组的解是
x = 2.
y = 1.
(2)
x + y = 5， ①
2x + 3y = 11. ②
解：由 ① 得，x = 5 - y ③
将 y = 1 代入③得
将 ③ 代入 ② 得：
x=5-1=4
2(5 - y) + 3y = 11
10 - 2y + 3y = 11
y=1
∴原方程组的解是
x = 4.
y = 1.
(3)
3x + 2( x - y ) = 8，①
2x - (x - y) = -4.
②
由④得
y = - 4 -x
⑤
代入 ③ 得
5x - 2( - 4-x ) = 8
2. 什么是二元一次方程组：
一个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且
一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
3. 什么是二元一次方程的解：
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一
次方程的解.
4. 什么是二元一次方程组的解：
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的
解得
→ 求解
y = 4.
将 y = 4 代入③，得 x = 10-4 =6.
→ 回代求解
所以原方程组的解是
→ 写解
x = 6.
y = 4.
2. 能先将 ② 进行变形吗？消去哪个未知数更简便呢？
x + y = 10，
①
2x +y =16
②
2x +y =16
2x +y =16
2x = 16-y
y = 16-2x