2018-2022五年全国高考数学立体几何真题分类汇编(试卷版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题21立体几何解答题
一、解答题
1．(2022高考北京卷·第17题)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．
(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．
条件①：AB MN ⊥；
条件②：BM MN =．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第18题)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面
,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．
(1)证明：BD PA ⊥；
(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．
3．(2022年浙江省高考数学试题·第19题)如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，
//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．
(1)证明：FN AD ⊥；
(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．
4．(2022新高考全国II 卷·第20题)如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，
AB AC ⊥，E 是PB 的中点．
(1)证明：//OE 平面PAC ；
(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．
5．(2022新高考全国I 卷·第19题)如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，
1A BC 的
面积为．
(1)求A 到平面1A BC 的距离；
(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．
6．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第18题)如图，四面体ABCD 中，
,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．
(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；
(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．
-中，底面ABCD是平行四边7．(2021年高考浙江卷·第19题)如图，在四棱锥P ABCD
BC PC的中点，形，120,1,4,
∠=︒===M，N分别为,
ABC AB BC PA
⊥⊥．
PD DC PM MD
,
(1)证明：AB PM
⊥；
(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
-中，底面ABCD是正方形，若8．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥Q ABCD
===．
AD QD QA QC
2,3
(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；
--的平面角的余弦值．
(2)求二面角B QD A
9．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，
AB AD =，O 为BD 的中点．
(1)证明：OA CD ⊥；
(2)若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．
10．(2021年高考全国乙卷理科·第18题)如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥
底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．
(1)求BC ；
(2)求二面角A PM B --的正弦值．
11．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为
正方形，2AB BC ==，
E ，
F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥(1)证明：BF DE ⊥；
(2)当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?
12．(2021高考北京·第17题)如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 中点，11
B C 与平面CDE 交于点F
．
(1)求证：F 为11B C 的中点；
(2)点M 是棱11A B 上一点，且二面角M FC E --的余弦值为53，求111A M A B 的值．
13．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第18题)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，
=．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，AE为底面直径，AE AD
PO=．
(1)证明：PA⊥平面PBC；
--的余弦值．
(2)求二面角B PC E
14．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第20题)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN
所成角的正弦值．
15．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F
分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．
(1)证明：点1C 在平面AEF 内；
(2)若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．
16．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第20题)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD
⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．
(1)证明：l ⊥平面PDC ；
(2)已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
17．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
18．(2020年浙江省高考数学试卷·第19题)如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．
(I)证明：EF⊥DB；
(II)求DF与面DBC所成角的正弦值．
19．(2020天津高考·第17题)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面
,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．
(Ⅰ)求证：11C M B D ⊥；
(Ⅱ)求二面角1B B E D --的正弦值；
(Ⅲ)求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．20．(2020江苏高考·第24题)在三棱锥A BCD -中，已知
CB CD ==,2BD =，O 为BD
的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 的中点．
(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；
(2)若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．
21．(2020江苏高考·第15题)在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1B C ⊥平面ABC ，,E F
分别是1,AC B C 的中点．
(1)求证：EF 平面11AB C ；
(2)求证：平面1AB C ⊥平面1ABB ．
22．(2020北京高考·第16题)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．
(Ⅰ)求证：1//BC 平面1AD E ；
(Ⅱ)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．
23．(2019年高考浙江·第19题)如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，
90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，
11A A A C AC ==，E ，F 分别是AC ，11A B 的中点．
(Ⅰ)证明：EF BC ⊥；
(Ⅱ)求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．
24．(2019年高考天津理·第17题)如图，AE ⊥平面ABCD ，//,//CF AE AD BC ，
,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．
(Ⅰ)求证：BF ∥平面ADE ；
(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；
(Ⅲ)若二面角E BD F --的余弦值为13
，求线段CF 的长．
25．(2019年高考上海·第17题)如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，M 为1BB 上一点，
已知2BM =，4AD =，3CD =，15AA =.
(1)求直线1AC 与平面ABCD 的夹角；
(2)求点A 到平面1
AMC 的距离.26．(2019年高考全国Ⅲ理·第19题)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的
一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．
(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；
(2)求图2中的二面角B−CG−A 的大小．
27．(2019年高考全国Ⅱ理·第17题)如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正
方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥．
()1证明：BE ⊥平面11EB C ；
()2若1AE A E =，求二面角1B EC C --的正弦值．
28．(2019年高考全国Ⅰ理·第18题)如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，
14,2,60,,,AA AB BAD E M N ==∠=︒分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．
(
1)证明：//MN 平面1C DE ；
(2)求二面角1A MA N --的正弦值．
29．(2019年高考江苏·
第16题)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．
求证：(1)11A B ∥平面1DEC ；(2)1BE C E ⊥．
30．(2019年高考北京理·第16题)如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥
CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
13PF PC =．(Ⅰ)求证：CD ⊥平面PAD ；
(Ⅱ)求二面角F–AE–P 的余弦值；
(Ⅲ)设点G 在PB 上，且23
PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．
31．(2018年高考数学江苏卷·第25题)(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1
中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．
(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；
(2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．
32．(2018年高考数学江苏卷·第15题)(本小题满分14分)在平行六面体1111
ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．
求证：(1)11AB A B C 平面∥；
(2)111ABB A A BC ⊥平面平面．
33．(2018年高考数学浙江卷·第19题)(本题满分15分)如图，已知多面体111ABCA B C ，
111,,A A B B C C 均垂直于平面ABC ，
120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．
(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；
(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．
34．(2018年高考数学上海·第17题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，
(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
(2)设4PO =，OA OB 、是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．
35．
(2018年高考数学天津(理)·第17题)(本小题满分13分)如图，//AD BC 且2AD BC =，AD CD ⊥，//EG AD 且EG AD =，//CD FG ，且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．
(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；
(2)求二面角E BC F --的正弦值；
(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长．
36．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所
在平面与半圆弧CD 所在的平面垂直，M 是弧CD 上异于,C D 的点．
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
37．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)
如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
(1)证明：PO ⊥平面ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
P
A
B M C
O 38．
(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第18题)(12分)如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DCF ∆折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥．
(1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ；
(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
39．(2018年高考数学北京(理)·第16题)(本小题14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，
1CC ⊥平面ABC ,,,,D E F G 分别为1111,,,AA AC A C BB 的中点，AB BC ==，12AC AA ==．
(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BEF ；
(Ⅱ)求二面角1B CD C --的余弦值；
(Ⅲ)证明：直线FG 与平面BCD 相交．。