2-3反函数与复合函数的导数

x2
x2
e 2 x 2 xe
u
x2
2x dy ,求 . 例3.7 y sin 2 1 x dx
解
y sin
2x 2x 由 y sin u , u 复合而成. 2 2 1 x 1 x
2x dy dy du (sin u) ( ) 2 dx du dx 1 x
例3.1 求反正弦函数 y arcsin x 的导数. 解
y arcsin x 是 x sin y, y [ , ]的反函数 , 2 2

而 x sin y在 I y ( , )内单调、可导 , 2 2 且 (sin y) cos y 0,
并且 y arcsin x在 对应区间 I x ( 1,1)内每一点处可导，
例3.13
求导： 1 (1) y ln 2 1 x 1 x2 1 ( 2) y ln 2 4 x 1
例3.14 求导：
(1) y x
x
( 2) y x
sin x
例3.15 设 f ( x ) 可导，求下列函数关于 x 的导数：
(1) y f ( e x ) e f ( x ) ( 2) y f (sin 2 x ) f (cos2 x )
2.函数的和、差、积、商的求导法则 设 u u( x ), v v ( x )可导，则 （1）( u v ) u v , （2）(cu) cu ( C 是常数)
v uv u u （3）( uv ) uv uv , （4）( ) ( v 0) . 2 v v
例3.9 解
dy y 1 2x , 求 . dx
3 2
dy 1 2 2 ( 1 2 x ) [(1 2 x ) ] (1 2 x ) dx 3

1 2 3
2 3
1 ( 4 x ) 2 2 3 3 (1 2 x ) 4x 2 2 3 3 (1 2 x )
x ( 2 x 2 )( x 2 1)
三．初等函数的求导问题
1.基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
1 特别地 (ln x ) . x
二．复合函数的求导法则
在众多的函数中, 我们遇见的更多的是复合函数. 例 如函数 y sin 2 x , 这是一个极为简单的函数, 但我们 要求它的导数就没那么简单. 事实上, 由导数的乘积公
式, 得 (sin 2 x ) 2(sin x cos x )
x
x
例3.11 求 y arcsin x 2 1 的导数.
解
dy 1 2 ( x 1 ) 2 2 dx 1 ( x 1)
1 2 ( x 1) 2 2 2 1 ( x 1) 2 x 1 1
1 2x 2 2 2 ( 2 x )( x 1)
y u u ( u) lim [ f ] x 0 x x 0 x x f ( u) lim u u lim lim x 0 x u0 x 0 x
f ( u) ( x ) 0 ( x )
f ( u) ( x )
y arctan x 是 x tan y, y ( , ) 的反函数 , 2 2

而 x tan y在 I y ( , )内单调、可导 , 2 2 且 (tan y) sec 2 y 0,
并且 y arctan x在 对应区间 I x ( , )内每一点处可导，
例3.10
dy y ln cos e , 求 . dx
x
解
1 dy 1 x x (cos e ) (cos e ) x x dx cos e cos e 1 x x ( sin e ) ( e ) x cos e
tan e e
x
x
e tan e
1 v （5） ( ) 2 v v
3.反函数的求导法则
若 x ( y ) 在区间 I y 内单调、可导且 ( y ) 0 , 则它的反函数 y f ( x ) 在对应区间 I x 内也可导 , 且有 1 dy 1 f ( x ) ，或 ( y ) dx dx dy
利用上述导数公式及求导法则，初等函数求导问 题可完全解决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数.
例3.12 求导：
(1) y x (1 3 x ) 2 ( 2) y ln( x x 2 a 2 ) ( 3) y sin nx sin n x ( n为常数) (4) y x x x

(arcsin x )
1 1 1 1 . 2 2 (sin y) cos y 1 sin y 1 x
1 1 x2 1 . 同理可得 (12) (arccos x ) 2 1 x 即 (11) (arcsin x )
例3.2 求反正切函数 y arctan x 的导数. 解
（3）区分记号： [ f ( g ( x ))] 与 f ( g ( x ))
例3.4
dy y ln( x ) ( x 0), 求 . dx
解
y ln( x ) 由 y ln u , u x 复合而成,
dy dy du (ln u) ( x ) dx du dx
于是有
y 1 , x x y
y x 0 x
lim y 0， 又知 ( y ) 0 y f ( x )连续, x 0
f ( x ) lim
lim
x 0 y 0 y
1 1 1 lim y 0 x x ( y) lim y y 0 y
注：
dy dy du （1）此定理也叫链式法则 ，常记作： dx du dx
（2） 此定理可推广到有限个 中间变量的情形： 若 y f ( u) , u ( v ) , v ( x ) , 则复合函数 y f ( ( ( x ))) 的导数为 dy dy du dv dx du dv dx
y log a x 是 x a y , y ( , ) 的反函数 ,
x a y在I y ( , )内单调、可导,
且 (a y ) a y ln a 0,
并且 y log a x在 对应区间 I x (0, )内每一点处可导，
1 1 1 . (log a x ) y y (a ) a ln a x ln a

1 1 1 1 (arctan x ) . (tan y) sec 2 y 1 tan2 y 1 x 2
即 (13 ) (arctan x )
1 1 x2
1 同理可得 (14 ) ( arc cot x ) 1 x2
例3.3 求对数函数 y loga x ( a 0, a 1)的导数. 解
1 1 1 ( 1) ( 1) u x x
1 一般地， (ln | x |) x
例3.5 解
求函数y a x ( a 0, a 1)的导数. y a x e x ln a 由
y e u , u x ln a 复合而成,

dy dy du ( e u ) ( x ln a) dx du dx
e u ln a e x ln a ln a a x ln a
即 ( a x ) a x ln a
例3.6 求函数y e 的导数. 解
y e 由 y e u , u x 2复合而成,
dy dy du u 2 ( e ) ( x ) dx du dx
4.复合函数的求导法则
如果函数 u ( x )在点 x 处可导 , 而函数 y f ( u) 在对应点 u ( x ) 处可导 , 则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也可导, 且其导数为 [ f ( ( x ))] f ( u) ( x ).
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证
x ( y) 在 I y 内单调、可导（从而连 续），
其反函数 y f ( x ) 在对应区间 I x 内单调、连续， 任取x I x ,
给x以增量x ( x 0, x x I x )
由y f ( x )的单调性可知 y f ( x x ) f ( x ) 0,
(e x ) e x 1 (ln x ) x
(a x ) a x ln a 1 (loga x ) x ln a
(arcsin x )
1
1 x2 1 (arctan x ) 1 x2
(arccos x )
1
1 x2 1 ( arccot x ) 1 x2
第三节 反函数与复合函数的导数
一．反函数的求导法则
定理 如果函数 x ( y) 在某区间 I y 内单调、可导,
且 ( y ) 0 , 那么它的反函数 y f ( x ) 在对应区间 I x 内也可导 , 且有 1 dy 1 f ( x ) ，或 ( y ) dx dx dy
dy dy du (ln u) (tan x ) dx du dx 1 1 2 sec x sec 2 x sec x csc x u tan x
解
dy 1 (ln tan x ) (tan x ) dx tanx 1 sec 2 x sec x csc x tan x
2(1 x 2 ) ( 2 x ) 2 cos u (1 x 2 ) 2 2(1 x 2 ) 2x cos 2 2 (1 x ) 1 x2
例3.8 解
求函数y ln tan x的导数.
y ln tan x 由 y ln u, u tan x 复合而成.
定理dydxdxdy在对应区间那么它的反函数内单调可导在某区间如果函数内单调连续在对应区间其反函数arcsin的导数求反正弦函数sin内单调可导sinarcsin的反函数arcsin11同理可得并且arctan的导数求反正切函数tan内单调可导tanarctan的反函数并且例33log的导数求对数函数log的反函数并且在众多的函数中我们遇见的更多的是复合函数

2(cos x cos x sin x sin x ) 2 cos 2 x
对一个如此简单的函数, 求其导数都那么困难, 这就 提示我们有必要讨论复合函数的求导法则. 利用相应的 法则来简化某些复杂函数的导数计算.
定理（复合函数求导法则）
如果函数 u ( x )在点 x 处可导 , 而函数 y f ( u) 在对应点 u ( x ) 处可导 , 则复合函数 y f ( ( x )) 在点 x 处也可导, 且其导数为 [ f ( ( x ))] f ( u) ( x ).
即 复合函数的导数等于函数对中间变量的导 数,乘以中间变量对自变量的导数.
证
由y f ( u)在点u可导 ,
lim
y f ( u) u 0 u
故
y f ( u) u
( lim 0)
u0
则 y f ( u) u u
lim