吉林省松原高中高三数学第一次模拟考试题三理

2019届高三第一次模拟考试卷
理 科 数 学（三） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2018·攀枝花统考]已知集合{}12A x x =-<<，(){}30B x x x =->，则集合A B =（ ） A ．{}13x x -<< B ．{}23x x x <>或 C ．{}02x x << D ．{}03x x x <>或 2．[2018·铜仁一中]若复数1i 34i z +=-，则z =（ ） A ．25 B
．5 C
D ．225 3．[2018·青岛调研]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
E 为棱1BB 的中点，用过点A ，E ，1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．[2018·鄂尔多斯期中]若3sin 5α=-，α是第三象限角，则sin 4απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A
B
C
． D
．5．[2018·曲靖统测
]7a x ⎛ ⎝的展开式中，3x 项的系数为14，则a =（ ） A ．2- B ．14 C ．2 D ．14- 6．[2018·赣州期中]已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()222:0C x y r r +=>上恰有两点M ，N ， 使得M AB △和NAB △的面积均为5，则r 的取值范围是（ ） A
．( B ．()1,5 C ．()2,5 D
．( 7．[2018·东北育才]已知函数()11ln f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 8．[2018·广安二中]已知随机变量ζ服从正态分布()23,N σ，且()20.3P ζ<=，则()24P ζ<<的值等于（ ） A ．0.5 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 9．[2018·三湘名校]中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要
纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2263
用算筹表示就是=||丄|||．执行如图所示程序框 图，若输人的1x =，2y =，则输出的S 用算筹表
示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 10．[2018·开封月考]已知空间四边形ABCD ，23BAC π∠=
，AB AC ==，6BD CD ==， 且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．60π B ．36π C ．24π D ．12π 11．[2018·湖南湖北联考]过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A
．( B
．( C
． D
． 12．[2018·湛江一中]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()'xf x f x ＞，若
()20f =，则不等式()
0f x x ＞的解集为（ ） A ．{}2002x x x -<<<<或
B ．{}22x x x <->或
C ．{}202x x x -<<>或
D ．{}
22x x x <-<<或0 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·廊坊联考]已知向量()7,16=a ，()5,16k -=-a b ，且⊥a b ，则k =__________．
14．[2018·湖北七校联盟]若函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为______________． 15．[2018·贵州质检]设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 22a b -=()2cos cos a B b A +，且ABC △的面积为25，则ABC △周长的最小值为__________．
16．[2018·赤峰二中]抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，
且满足60AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
MN AB 的最大值 为__________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2018·长春实验中学]已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若12a +，3a ，4a 成等
比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足0n S ≥成立的n 的最小值．
18．（12分）[2018·开封月考]甲、乙两家外卖公司，其“骑手”的日工资方案如下：甲公司规定
底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽
成6元．假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“骑手”并记
录其100天的送餐单数，得到如下条形图：
（1）求乙公司的“骑手”一日工资y （单位：元）与送餐单数()
n n *∈N 的函数关系；
（2）若将频率视为概率，回答以下问题：
（i ）记乙公司的“骑手”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；
（ii ）小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用
所学的统计学知识为他做出选择，并说明理由．
19．（12分）[2018·成都月考]如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方
形，在图①中，设平面BEF 与平面ABCD 相关交于直线l ．
（1）求证：l ⊥面CDE ； （2）在图①中，线段DE 上是否存在点M ，使得直线MC 与平面BEF
？ 若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．
20．（12分）[2018·雅礼中学]已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为12，F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于A ，B 两点，3AB =．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过圆22127x y +=上任意一点作圆的切线交椭圆E 于M ，N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
21．（12分）[2018·太原期中]已知函数()()21122ln 2
f x ax a x x =+--，a ∈R ； （1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()32f x ≥在()0,1上恒成立，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2018·江师附中]在直角坐标系xoy ，曲线1C
的参数方程为cos sin x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）． 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:2sin 6C ρρθ=+．
（1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；
（2）已知1C 与2C 的交于A ，B 两点，且AB 过极点，求线段AB 的长．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2018·肇庆统测]已知()31f x x x =++-，()22g x x mx =-+．
（1）求不等式()4f x >的解集；
（2）若对任意的1x ，2x ，()()12f x g x >恒成立，求m 的取值范围．
2019届高三第一次模拟考试卷
理科数学（三）答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由一元二次方程的解法化简集合，(){}{}3030B x x x x x =->=><或x ， ∵{}12A x x =-<<，∴{}23A B x x x =<>或，故选B ． 2．【答案】B 【解析】∵()()1i 34i 1i 17i 17i 34i 25252525z +++-+====-+-
，∴z z =，故选B ． 3．【答案】C 【解析】取1DD 中点F ，连接AF ，1C
F ．平面1AFC E 为截面．如下图：
∴选C ． 4．【答案】D
【解析】∵3sin 5α=-
，α是第三象限角，∴4cos 5α==-，
则34sin 455αααπ⎛⎫⎫+==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
．故选D ． 5．【答案】C
【解析】由展开式的公式得到3x
项的系数为()57737C 1k k k k a x --⋅⋅-⋅，57363k k -=⇒=． 系数为()66767C 17142a a a -⋅⋅-==⇒=．故选C ． 6．【答案】B
【解析】由题意可得
5AB ==，
根据M AB △和NAB △的面积均为5，可得两点M ，N 到直线的距离为2， 由于AB 的方程为34150x y ++=， 若圆上只有一个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB
21r r =+⇒=， 若圆上只有三个点到圆AB 的距离为2，则有圆心()0,0到直线AB
25r r =-⇒=， ∴实数r 的取值范围是()1,5，故选B ． 7．【答案】A 【解析】∵()11ln f x x x =--，令()1ln g x x x =--，()11g x x '=-， 当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()f x 单调递减， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，则()f x 单调递增，且1x ≠，故选A ．
8．【答案】D
【解析】∵随机变量ζ服从正态分布()
23,
N σ，∴其正态曲线关于直线3x =对称，如图： 又∵()20.3P ζ<=，由对称性得()40.3P ζ>=，
从而有：()()24122120.30.4P P ζζ<<=-<=-⨯=，故选D ．
9．【答案】C 【解析】第一次循环，i 1=，1x =，3y =；第二次循环，i 2=，2x =，8y =； 第三次循环，i 3=，14x =，126y =； 第四次循环，i 4=，1764S =，满足S xy =，推出循环，输出1764S =， ∵1764对应
，故选C ． 10．
【答案】A 【解析】
由余弦定理得2112122362BC ⎛⎫=+-⋅-= ⎪⎝⎭，∴6BC =． 由正弦定理得62
sin120r =︒
，∴
r =ABC 的外接圆半径为
设外接球的球心为O ，半径为R ，球心到底面的距离为h ，
设三角形ABC 的外接圆圆心为E ，BC 的中点为F ，过点O 作OG DF ⊥，连接DO ，BE ，OE ． 在直角OBE △
中，(222R h =+（1）， 在直角DOG △
中，(
)22R h =+（2）， 解（1）（2
）得h =
R =
．∴外接球的表面积为460ππ=．故选A ．
11．【答案】C
【解析】
双曲线右焦点为)
，过右焦点的直线为y kx =- 与双曲线方程联立消去y 可得到(
)()2222222222220b a k x a k a a k b k b -+-++=，
由题意可知，当1k =时，此方程有两个不相等的异号实根，∴()222
2220a a b b a +>-，得0a b <<，即1b a
>； 当3k =时，此方程有两个不相等的同号实根，∴()2222291009a a b b a +<-，得03b a <<，3b a <；
又e =
．故选C ． 12．【答案】C
【解析】令()()
f x
g x x =，∵0x >时，()()()
2'0xf x f x g x x -'=>， ∴()g x 在()0.+∞递增， ∵()()f x f x -=，∴()()g x g x -=-，∴()g x 是奇函数，()g x 在(),0-∞递增，
∵()()
2202f g ==，∴2x <<0时，()0g x <，2x >时，()0g x >，
根据函数的奇偶性，()()220g g -=-=，20x -<<时，()0g x >，2x <-时，()0g x <， 综上所述，不等式()
0f x x ＞的解集为20x -<<或2x >．故选C ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】78
- 【解析】由向量()7,16=a ，()5,16k -=-a b ，可得()2,k =b ，
∵⊥a b ，则72160k ⋅=⨯+=a b ，即的78k =-． 14．【答案】20x y --=
【解析】()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，则0a =， ∴()32f x x x =-，()2'32f x x =-，∴()2'13121f =⨯-=， 又()11f =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为11y x +=-，即20x y --=．
15．
【答案】10+【解析】在ABC △中，
由余弦定理可得：()2222222222cos cos 22a c b b c a a b a B b A a b ac bc ⎛⎫+-+--=+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭， 即222222222222a c b b c a a b a b c ac bc ⎛⎫+-+--=⋅+⋅= ⎪⎝⎭，即222a b c =+，即2A π∠=， ∴三角形的面积为125502S bc bc ==⇒=， 则ABC △
的周长为10l b c =++，当5b c ==时取得等号， ∴ABC △
的周长最小值为10． 16．【答案】1
【解析】设AF a =，BF b =，由抛物线定义，得AF AQ =，BF BP =，
在梯形ABPQ 中，∴2MN AQ BP a b =+=+． 由余弦定理得，222222cos60AB a b ab a b ab =+︒+-=-，配方得()223AB a b ab +-=， 又∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()222231344a b a a a b b b ab --+=+++≥得到()12AB a b ≥+． ∴1MN AB ≤，即MN AB 的最大值为1．故答案为1．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）92n a n =-；（2）5．
【解析】（1）∵12a +，3a ，4a 成等比数列，∴()()()2111426a a a -=+-，解得17a =，∴92n a n =-．
（2）由题可知()()0121222275392n n S n -=++++-++++-
()
2212828112n
n n n n n -=--=+---， 显然当4n ≤时，0n S <，5160S =>，又∵5n ≥时，n S 单调递增，
故满足0n S ≥成立的n 的最小值为5． 18．【答案】（1）10045,617045,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N
；（2）（i ）112元；（ii ）推荐小明去甲公司应聘． 【解析】（1）根据题意可知，乙公司每天的底薪100元，前45单无抽成，超出45单部分每单抽成
6元，故日工资10045,617045,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ． （2）（i ）根据条形图，当送单数为42，44时，100X =，频率为200.2100
=． 当送单数为46时，106X =，频率为300.3100=．当送单数为48时，118X =，频率为400.4100=． 当送单数为50时，130X =，频率为100.1100
=． 故乙公司的“骑手”一日工资X 的分布列如表所示：
数学期望()1000.21060.31180.41300.1112E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． （ii ）根据条形图，甲公司的“骑手”日平均送餐单数为：
420.2440.4460.2480.1500.145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（单）
， ∴甲公司的“骑手”日平均工资为：70451115+⨯=（元）
由（i ）可知，乙公司的“骑手”日平均工资为112元，故推荐小明去甲公司应聘．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M 的位置在线段DE 的23处． 【解析】（1）证明：由题意AD EF ∥，∵EF
⊂面BEF ，AD ⊄面BEF ，∴AD ∥面BEF ． 又AD ⊂面ABCD ，面ABCD 面BEF l =，∴AD l ∥，
由主视图可知AD CD ⊥，由侧视图可知DE AD ⊥， ∵CD AD D =，∴AD ⊥面CDE ．∴l ⊥面CDE ．
（2）如图，建立空间直角坐标系D xyz -， 则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()1,0,1F ，∴()1,0,0EF =，()0,1,1BF =-，
设面BEF 的一个法向量(),,x y z =n ，则由0EF ⋅=n ，
0BF ⋅=n
，
可得00x y z =⎧⎨-+=⎩，令1y =，则1z =，∴()0,1,1=n ， 设()0,0,M m ，则()0,2,MC m =-， ∴cos ,MC ==n 23m =或6m =（舍）， 即存在点M ，此时M 的位置在线段DE 的23处（靠近E 点）． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）0． 【解析】（1）∵离心率为1
2，则12c a =．∴22
34b a
=
． ∵3AB =，∴223b a =．∴24a =
，23b =．则椭圆E
的标准方程为22143x y +=． （2
）当切线斜率不存在时，取切线为x =
代入椭圆方程是M
，N
，或M ，
N ．
∴12
0OM ON ⋅=⨯，同理，取切线为x =0OM ON ⋅=． 当切线斜率存在时，设切线y kx b =+，则d == ∴()227121b k =+． ①
联立()22222
3484120143y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩．
设()11,M x y ，()22,N x y ，则122212283441234kb x x k b x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩②③， ()()()()221212*********x x y y x x kx b kx b k x x x x kb b +=+++=++++， ④ 把①②③代入④得12120x x y y +=，∴0OM ON ⋅=．
综合以上，OM ON ⋅为定值0．
21．【答案】（1）见解析；（2）1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦． 【解析】（1）∵()()21122ln 2f x ax a x x =+--，0x >， ∴()()()()2122
12ax a x ax x f x x x +--+-'==， ①当0a ≥时，令()0f x '<，得02x <<；令()0f x '>，得2x >；
②当0a <时，令()0f x '=，得1x a
=-或2x =； （i ）当12a ->，即102a -<<时，令()0f x '<，得02x <<或1x a >-； 令()0f x '>，得12x a <<-； （ii ）当12a -=时，即12a =-时，则()0f x '<恒成立； （iii ）当12a -<时，即12a <-时，令()0f x '<，得10x a <<-或2x >； 令()0f x '>，得12x a -<<； 综上所述：当0a ≥时，()f x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增； 当102a -<<时，()f x 在()0,2和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减，在12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增； 当12
a =-时，()f x 在()0,+∞上递减； 当12a <-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞上递减，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上递增． （2）由（1）得①当12a ≥-时，()f x 在()0,1上递减，∴()331122f a =-≥，∴1123
a -≤≤-； ②当12
a <-时， （i ）当11a -≤，即1a ≤-时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上递增， ∴()111322ln 2222f a a a a ⎛⎫-=-+-≥-≥ ⎪⎝⎭，∴1a ≤-符合题意； （ii ）当11a
->，即112a -<<-时，()f x 在()0,1上递增， ∴()37311242f a =->>，∴112a -<<-符合题意； 综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1C
为以)
1C 为圆心，以a
为半径的圆，221:cos 30C a ρθ-+-=； （2
）AB =． 【解析】（1）∵曲线1C
的参数方程为cos sin x a t y a t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >）． ∴1C
的普通方程为(222x y a +=， ∴1C
为以)1C 为圆心，以a 为半径的圆， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得1C
的极坐标方程为22cos 30a ρθ-+-=． （2）解法一：∵曲线22:2sin 6C ρρθ=+
．∴(2221:C x y a -+=，222:260C x y y +--=，
二者相减得公共弦方程为2290y a -+-=，
∵AB
过极点，∴公共弦方程2290y a -+-=过原点， ∵0a >，∴3a =
0y -=，
则()20,1C
到公共弦的距离为12d ==
．∴AB == 解法二：∵0:AB θθ=
，∴22cos 30a ρθ-+-=与22sin 6ρρθ=+为ρ的同解方程，
∴3a =，3θπ=或43θπ=
．∴12AB ρρ=-== 23．【答案】（1）{}31x x x <->或；（2）22m -<<． 【解析】（1）法一：不等式()4f x >，即314x x ++->． 可得1314x x x ≥⎧⎨++->⎩，或31314x x x -<<⎧⎨++->⎩或3314x x x ≤-⎧⎨--+-<⎩， 解得31x x <->或，∴不等式的解集{}
31x x x <->或． 法二：()31314x x x x ++-≥+--=，
当且仅当()()310x x +-≤即31x -≤≤时等号成立． ∴不等式的解集为{}
31x x x <->或．
（2）依题意可知()()min max f x g x ≥， 由（1）知()min 4f x =，()()2222g x x mx x m m =-+=--+， ∴()2max g x m =，
由24m <的m 的取值范围是22m -<<．。