2020年咸宁市中考数学试题、试卷(解析版)

2020年咸宁市中考数学试题、试卷（解析版）
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）（2020•咸宁）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是（）
A．3+（﹣2）B．3﹣（﹣2）C．3×（﹣2）D．（﹣3）÷（﹣2）2．（3分）（2020•咸宁）中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为（）
A．0.305×1011B．3.05×108C．3.05×106D．305×108
3．（3分）（2020•咸宁）下列计算正确的是（）
A．3a﹣a＝2B．a•a2＝a3C．a6÷a2＝a3D．（3a2）2＝6a4 4．（3分）（2020•咸宁）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）
A．B．
C．D．
5．（3分）（2020•咸宁）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（）
A ．乙的最好成绩比甲高
B ．乙的成绩的平均数比甲小
C ．乙的成绩的中位数比甲小
D ．乙的成绩比甲稳定
6．（3分）（2020•咸宁）如图，在⊙O 中，OA ＝2，∠C ＝45°，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A ．π2−√2
B ．π−√2
C ．π2−2
D ．π﹣2
7．（3分）（2020•咸宁）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下
列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A ．y ＝﹣x
B ．y ＝x +2
C ．y =2x
D ．y ＝x 2﹣2x
8．（3分）（2020•咸宁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2√5，E 是BC 的中点，将
△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ∠ECF 的值为（ ）
A ．23
B ．√104
C ．√53
D ．2√55
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）（2020•咸宁）点A 在数轴上的位置如图所示，则点A 表示的数的相反数是 ．
10．（3分）（2020•咸宁）因式分解：mx 2﹣2mx +m ＝ ．
11．（3分）（2020•咸宁）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ，∴a ∥b ．
12．（3分）（2020•咸宁）若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是．
13．（3分）（2020•咸宁）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是．
14．（3分）（2020•咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是nmile．（结果保留一位小数，√3≈1.73）
15．（3分）（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是．16．（3分）（2020•咸宁）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
①△ABE∽△ECG；
②AE＝EF；
③∠DAF＝∠CFE；
④△CEF的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是．（把正确结论的序号都填上）
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）17．（8分）（2020•咸宁）（1）计算：|1−√2|﹣2sin45°+（﹣2020）0；
（2）解不等式组：{−(x−1)＞3，2x+9＞3．
18．（7分）（2020•咸宁）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC 于点E，在AD上截取AF＝BE．连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°．（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
19．（8分）（2020•咸宁）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2=m
x的图象在第一、
三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）△AOB的面积为；
（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．
20．（8分）（2020•咸宁）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如图不完整
的统计图表．
在线阅读时间频数分布表
组别在线阅读时间t人数
A10≤t＜304
B30≤t＜508
C50≤t＜70a
D70≤t＜9016
E90≤t＜1102
根据以上图表，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有人，a＝，m＝；
（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；
（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？
21．（9分）（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
22．（10分）（2020•咸宁）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学
生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？23．（10分）（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；
证明：
（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．
求证：四边形ABCD是对余四边形；
探究：
（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
24．（12分）（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−1
2x+2与x轴交于点A，
与y轴交于点B，抛物线y=−2
3x
2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（
5
2
，
3
4
）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠P AO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n＜5
2）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一
动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
2020年湖北省咸宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）（2020•咸宁）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是（）
A．3+（﹣2）B．3﹣（﹣2）C．3×（﹣2）D．（﹣3）÷（﹣2）【解答】解：A.3+（﹣2）＝1，故A不符合题意；
B.3﹣（﹣2）＝3+2＝5，故B不符合题意；
C.3×（﹣2）＝﹣6，故C符合题意；
D．（﹣3）÷（﹣2）＝1.5，故D不符合题意．
综上，只有C计算结果为负．
故选：C．
2．（3分）（2020•咸宁）中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计2020年中国在线教育用户规模将达到305000000人．将305000000用科学记数法表示为（）
A．0.305×1011B．3.05×108C．3.05×106D．305×108
【解答】解：305000000＝3.05×108，
故选：B．
3．（3分）（2020•咸宁）下列计算正确的是（）
A．3a﹣a＝2B．a•a2＝a3C．a6÷a2＝a3D．（3a2）2＝6a4【解答】解：3a﹣a＝a，因此选项A计算错误，不符合题意；
a•a2＝a3，因此选项B计算正确，符合题意；
a6÷a2＝a4，因此选项C计算错误，不符合题意；
（3a2）2＝9a4≠6a4，因此选项D计算错误，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）（2020•咸宁）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：从左面看有两层，底层是2个正方形，上层的左边是1个正方形．
故选：A．
5．（3分）（2020•咸宁）如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（）
A．乙的最好成绩比甲高
B．乙的成绩的平均数比甲小
C．乙的成绩的中位数比甲小
D．乙的成绩比甲稳定
【解答】解：由折线图可知，甲的5次射击成绩为6，7，10，8，9，乙的5次射击成绩为8，9，8，7，8，
∵10＞9，
∴甲的最好成绩比乙高，故选项A错误，不符合题意；
∵x
甲=15（6+7+10+8+9）＝8，x
乙
=15（8+9+8+7+8）＝8，
∴乙的成绩的平均数与甲相等，故选项B错误，不符合题意；
∵甲的成绩按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，10，所以中位数为8，乙的成绩按从小到大的顺序排列为：7，8，8，8，9，所以中位数为8，
∴乙的成绩的中位数与甲相等，故选项C错误，不符合题意；
∵s 甲2=15[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，
s 乙2=15
[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4， 2＞0.4，
∴乙的成绩比甲稳定，故选项D 正确，符合题意．
故选：D ．
6．（3分）（2020•咸宁）如图，在⊙O 中，OA ＝2，∠C ＝45°，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A ．π2−√2
B ．π−√2
C ．π2−2
D ．π﹣2
【解答】解：∵∠C ＝45°，
∴∠AOB ＝90°，
∴S 阴影＝S 扇形AOB ﹣S △AOB
=90⋅π×22360−12×2×2 ＝π﹣2．
故选：D ．
7．（3分）（2020•咸宁）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下
列函数的图象中不存在“好点”的是（ ）
A ．y ＝﹣x
B ．y ＝x +2
C ．y =2x
D ．y ＝x 2﹣2x
【解答】解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，
∴当x ＝y 时，
A ．x ＝﹣x ，解得x ＝0；不符合题意；
B ．x ＝x +2，此方程无解，符合题意；
C ．x 2＝2，解得x ＝±√2，不符合题意；
D ．x ＝x 2﹣2x ，解得x 1＝0，x 2＝3，不符合题意．
故选：B ．
8．（3分）（2020•咸宁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2√5，E 是BC 的中点，将
△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ∠ECF 的值为（ ）
A ．23
B ．√104
C ．√53
D ．2√55
【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B ＝90°，
∵E 是BC 的中点，BC ＝2√5，
∴BE ＝CE =12
BC =√5，
∴AE =√AB 2+BE 2=√22+(√5)2=3，
由翻折变换的性质得：△AFE ≌△ABE ，
∴∠AEF ＝∠AEB ，EF ＝BE =√5，
∴EF ＝CE ，
∴∠EFC ＝∠ECF ，
∵∠BEF ＝∠EFC +∠ECF ，
∴∠AEB ＝∠ECF ，
∴cos ∠ECF ＝cos ∠AEB =BE AE =√53．
故选：C ．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）（2020•咸宁）点A 在数轴上的位置如图所示，则点A 表示的数的相反数是 ﹣3 ．
【解答】解：∵点A 在数轴上表示的数是3，
∴点A 表示的数的相反数是﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（3分）（2020•咸宁）因式分解：mx 2﹣2mx +m ＝ m （x ﹣1）2 ．
【解答】解：mx 2﹣2mx +m ＝m （x 2﹣2x +1）＝m （x ﹣1）2，
11．（3分）（2020•咸宁）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ∠1＝∠4或∠2＝∠4
或∠3+∠4＝180° ，∴a ∥b ．
【解答】解：∵∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°，
∴a ∥b ．
故答案为：∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3+∠4＝180°．
12．（3分）（2020•咸宁）若关于x 的一元二次方程（x +2）2＝n 有实数根，则n 的取值范围
是 n ≥0 ．
【解答】解：原方程可变形为x 2+4x +4﹣n ＝0．
∵该方程有实数根，
∴△＝42﹣4×1×（4﹣n ）≥0，
解得：n ≥0．
故答案为：n ≥0．
13．（3分）（2020•咸宁）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级
准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 16 ．
【解答】解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种，
∴P （小聪和小慧）=16，
故答案为：16． 14．（3分）（2020•咸宁）如图，海上有一灯塔P ，位于小岛A 北偏东60°方向上，一艘轮
船从小岛A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是20.8nmile．（结果保留一位小数，√3≈1.73）
【解答】解：过P作PD⊥AB于D．
∵∠P AB＝30°，∠PBD＝60°，
∴∠P AB＝∠APB，
∴BP＝AB＝24nmile．
在直角△PBD中，PD＝BP•sin∠PBD＝24×√3
2
=12√3≈20.8（nmile）．
即此时轮船与灯塔P的距离约为20.8nmile．
故答案为20.8．
15．（3分）（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是a÷b＝c．【解答】解：∵3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，
1﹣2＝﹣1，2﹣（﹣1）＝3，﹣1﹣3＝﹣4，3﹣（﹣4）＝7，﹣4﹣7＝﹣11，7﹣（﹣11）＝18，…，
∴a，b，c满足的关系式是a÷b＝c．
故答案为：a÷b＝c．
16．（3分）（2020•咸宁）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF，有下列结论：
①△ABE∽△ECG；
②AE＝EF；
③∠DAF＝∠CFE；
④△CEF的面积的最大值为1．
其中正确结论的序号是①②③．（把正确结论的序号都填上）
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ECG＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEG＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠CEG，
∴△ABE∽△ECG，
故①正确；
②在BA上截取BM＝BE，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，BA＝BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵BA﹣BM＝BC﹣BE，
∴AM＝CE，
∵CF为正方形外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF ＝135°，
∵∠AEF ＝90°，
∴∠AEB +∠FEC ＝90°，
而∠AEB +∠BAE ＝90°，
∴∠BAE ＝∠FEC ，
在△AME 和△ECF 中
{∠MAE =∠CEF
AM =EC ∠AME =∠ECF
，
∴△AME ≌△ECF ，
∴AE ＝EF ，
故②正确；
③∵AE ＝EF ，∠AEF ＝90°，
∴∠EAF ＝45°，
∴∠BAE +∠DAF ＝45°，
∵∠BAE +∠CFE ＝∠CEF +∠CFE ＝45°，
∴∠DAF ＝∠CFE ，
故③正确；
④设BE ＝x ，则BM ＝x ，AM ＝AB ﹣BM ＝4﹣x ，
S △ECF ＝S △AME =12•x •（2﹣x ）=−12（x ﹣1）2+12，
当x ＝1时，S △ECF 有最大值12， 故④错误．
故答案为：①②③．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（8分）（2020•咸宁）（1）计算：|1−√2|﹣2sin45°+（﹣2020）0；
（2）解不等式组：{−(x −1)＞3，2x +9＞3．
【解答】解：（1）原式=√2−1﹣2×√22+1
=√2−1−√2+1
＝0；
（2）解不等式﹣（x﹣1）＞3，得：x＜﹣2，
解不等式2x+9＞3，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．
18．（7分）（2020•咸宁）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC 于点E，在AD上截取AF＝BE．连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB＝90°．（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
∵AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵BA＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图所示：点P即为所求：
19．（8分）（2020•咸宁）如图，已知一次函数y1＝kx+b与反比例函数y2=m
x的图象在第一、
三象限分别交于A（6，1），B（a，﹣3）两点，连接OA，OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）△AOB的面积为8；
（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）把A （6，1）代入y 2=m x 中，
解得：m ＝6，
故反比例函数的解析式为y 2=6x ；
把B （a ，﹣3）代入y 2=6x ，解得a ＝﹣2，
故B （﹣2，﹣3），
把A （6，1），B （﹣2，﹣3）代入y 1＝kx +b ，
得{6k +b =1−2k +b =−3，解得：{k =12b =−2， 故一次函数解析式为y 1=12
x ﹣2；
（2）如图，设一次函数y 1=12x ﹣2与x 轴交于点C ，
令y ＝0，得x ＝4．
∴点C 的坐标是（4，0），
∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =
12×4×1+12×4×3＝8． 故答案为8；
（3）由图象可知，当﹣2＜x ＜0或x ＞6时，直线y 1＝kx +b 落在双曲线y 2=
m x 上方，即y 1＞y 2，
所以y 1＞y 2时x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞6．
20．（8分）（2020•咸宁）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式．为了解同学们在线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表．
在线阅读时间频数分布表
组别在线阅读时间t人数
A10≤t＜304
B30≤t＜508
C50≤t＜70a
D70≤t＜9016
E90≤t＜1102
根据以上图表，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有50人，a＝20，m＝8；
（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；
（3）若该校有950名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min？
【解答】解：（1）这次被调查的同学共有8÷16%＝50（人），a＝50×40%＝20，
∵m%=4
50
=8%，
∴m＝8．
故答案为：50，20，8；
（2）扇形统计图中扇形D的圆心角的度数为：360°×16
50
=115.2°；
（3）950×50−4−8
50
=722（人），
答：估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50min的有722人．21．（9分）（2020•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．
【解答】解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；
（2）连接OF ，OD ，如图2，
设圆的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，
∵AC ＝4，BC ＝3，CF ＝1，
∴OC ＝4﹣r ，DF ＝BF ＝3﹣1＝2，
∵OD 2+DF 2＝OF 2＝OC 2+CF 2，
∴r 2+22＝（4﹣r ）2+12，
∴r =138．
故圆的半径为138．
22．（10分）（2020•咸宁）5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情
防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m 盒（m 为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m 的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该
校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
【解答】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是x元，（x﹣150）元，根据题意，得
1200 x =
300
x−150
，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，
∴x﹣150＝50，
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）设购买水银体温计y盒能和口罩刚好配套，根据题意，得100m＝2×10y，
则y＝5m，
答：购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；
（3）若200m+50×5m≤1800，
∴450m≤1800，
∴m≤4，
即m≤4时，w＝450m；
若m＞4，
则w＝1800+（450m﹣1800）×0.8＝360m+360，
综上所述：w={450m(m≤4)
360m+360(m＞4)．
若该校九年级有900名学生，
需要购买口罩：900×2＝1800（支），
水银体温计：900×1＝900（支），
此时m＝1800÷100＝18（盒），y＝5×18＝90（盒），
则w＝360×18+360＝6840（元）．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
23．（10分）（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为90°或270°；
证明：
（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．
求证：四边形ABCD是对余四边形；
探究：
（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，
∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：90°或270°；
（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，
∴∠BAM+∠BCN＝90°，
即∠BAD+∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是对余四边形；
（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD2，理由如下：
∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图3所示：
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BF A，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BF A+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BF A+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠F AD＝90°，
∴AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+CD2＝BD2．
24．（12分）（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−1
2x+2与x轴交于点A，
与y轴交于点B，抛物线y=−2
3x
2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（
5
2
，
3
4
）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠P AO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n＜5
2）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一
动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
【解答】解：（1）直线y =−12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，则点A 、B 的坐标分别为（4，0）、（0，2），
将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得{−23×(52)2+52b +c =34c =2，解得{b =76c =2， 故抛物线的表达式为：y =−23x 2+76
x +2①；
（2）如图1，作点B 关于x 轴的对称点B ′（0，﹣2），连接AB ′交抛物线于点P （P ′），则∠P AO ＝∠BAO ，
由点A 、B ′的坐标得，直线AB ′的表达式为：y =12
x ﹣2②，
联立①②并解得：x ＝3或﹣2，
故点P 的坐标为（3，−12）或（﹣2，﹣3）；
（3）①过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，
∵∠MNC ＝90°，
∴∠MNO +∠CNH ＝90°， ∠CNH +∠NCH ＝90°， ∴∠MNO ＝∠NCH ，
∴tan ∠MNO ＝tan ∠NCH ，即OM ON =NH CH ，即m n =52−n 34， 解得：m =−43n 2+103n ；
②m =−43n 2+103n ，
∵−43＜0，故m 有最大值，当n =54时，m 的最大值为2512，
而m ＞0，
故0＜m ＜2512时，符合条件的N 点的个数有2个．。