2017高考数学文科二轮(通用版)复习对点练专题四数列、推理与证明第1讲演练Word版含答案

第一部分 专题四 第1讲

1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( B )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．6

解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4， a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.

2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B )

A ．21

B ．42

C ．63

D ．84

解析：设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.

3．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( B )

A ．a 1d >0，dS 4>0

B ．a 1d <0，dS 4<0

C ．a 1d >0，dS 4<0

D ．a 1d <0，dS 4>0

解析：由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，

∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53

d 2<0， 又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23

d ， ∴dS 4＝－23

d 2<0，故选B. 4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝__10__. 解析：利用等差数列的性质可得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， 从而a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，

故a 5＝5，所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.

5．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于2n －1.

解析：由已知得，a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝8，a 4＝1.而数列{a n }是递增的等比数列， ∴a 1<a 4，∴a 1＝1，a 4＝8，从而q 3＝a 4a 1

＝8，即q ＝2， 则前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q

＝2n －1.

6．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝－1n

. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，

又由a 1＝－1，知S n ≠0，

∴

S n ＋1S n ＋1S n －S n S n ＋1S n ＝1， 即1S n ＋1－1S n

＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，

而1S 1＝1a 1

＝－1， ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n

. 7．(2016·辽宁协作体一模)已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)·(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1

. (1)证明：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

解析：(1)∵1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13

， ∴b n ＋1－b n ＝13

， ∴{b n }是等差数列．

(2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1

＝1，知b n ＝13n ＋23， ∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2

. 8．已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．

(1)求q 的值和{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1

，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和． 解析：(1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)．

又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，

由a 3＝a 1·q ，得q ＝2.

当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n -12 ；

当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2

. 所以{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧

2n -12 ，n 为奇数，2n 2 ，n 为偶数.

(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2

n －1.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12

n －1， 12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12

n －1＋n ×12n ， 上述两式相减，得

12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12

－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22

n －1. 所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22

n －1，n ∈N *. 9．数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22

n －1，n ∈N *. (1)求a 3的值．

(2)求数列{a n }的前n 项和T n ；

(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n

＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .

解析：(1)令n ＝3，a 1＋2a 2＋3a 3＝114

， 令n ＝2，a 1＋2a 2＝2，解得a 3＝14

. (2)当n ＝1，a 1＝1，

当n ≥2，na n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ＋12n －2＝n 2

n －1， ∴a n ＝12n －1(n ≥2)，当n ＝1时代入a 1也满足，故a n ＝12

n －1. 所以数列{a n }为等比数列，