高中数学基础题型练习—《概率》

《数学》必会基础题型——《概率》
【知识点1】基本概念
确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或者不发生某种结果。

随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象。

试验：对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验。

事件：试验的每一种可能的结果，都是一个事件。

必然事件：在一定条件下必然发生的事件。

不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

用,,A B C 等大写英文字母表示随机事件，简称为事件。

概率：一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将发生的频率m n
作为事件A 发生的概率的近似值，即()m P A n ≈。

概率的性质：
①随机事件的概率为0()1P A ≤≤。

②必然事件用Ω表示，不可能事件用φ表示，必然事件的概率为1，即()1=ΩP ；不可能事件的概率为0，即()0=φP 。

③概率为1的事件不一定为必然事件，概率为0的事件不一定为不可能事件。

【必会题型】
1.指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
①某地明年1月1日刮西北风；②当x R ∈时，20x ≥；
③手电筒的电池没电，灯泡发亮；④某电影院某天的上座率超过50%； ⑤某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；
⑥将一枚硬币抛掷4次出现两次正面和两次反面；
⑦某校高一学生中男生比女生多；⑧一粒花籽，播种后发芽；
⑨函数()1y k x =+的图象过点()1,0-；⑩若a 为实数，则0a ≥。

2.下列说法不正确的说法是（ ）
①既然抛掷硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； ②若某种彩票的中奖概率为110
，则买1000张这种彩票一定能中奖； ③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；
④一个骰子掷一次得到2的概率是6
1，这说明一个骰子掷6次会出现一次2。

A.①②③④ B.①②④ C.③④ D.③
3.10件产品中有8件正品，2件次品，从中随机地取出3件，则下列事件中是必然事件的为（ ）
A.3件都是正品
B.至少一件次品
C.3件都是次品
D.至少一件正品
4.从一批电视机中，随机抽取10台进行质检，其中有一台是次品，则这批电视机中次品率 ( ) A.大于0.1 B.小于0.1 C.等于0.1 D.不确定
5.连续抛掷1000次硬币，那么第999次出现正面朝上的概率是。

6.在教师联欢会上，到会的女老师比男老师多12人，从这些老师中随机挑选一
人表演节目，则选到男老师的概率为9
20
，则参加联欢会的老师共有人。

7.据调查，10000名司机开车时约有5000名系安全带，若从中随意抽查一名司机有无系安全带的情况，系安全带的概率是（）
A.25%
B.35%
C.50%
D.75%
8.在20瓶饮料中，有两瓶是过了保质期的，从中任取１瓶，恰为过保质期的概
率为（） A.1
2
B.
1
10
C.
1
20
D.
1
40
【知识点2】古典概型
1.基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果。

2.等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。

3.古典概型的两个条件：
（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的。

例1.一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球。

求摸出的两个都是白球的概率是多少？
解：分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下20个基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)；(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，
(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2)；(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)，
记“摸到两个白球”为事件A，则事件A包括有6个基本事件：
(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1),(3,2)，故
63
()
2010
P A==。

∴摸到两白球的概率为
3
10。

例2.用不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率。

解：如下图，基本事件共有27个，
(1)记“3个矩形颜色相同”为事件A，由上图可知事件A包含的基本事件有
133
⨯=个，
31 ()
279 P A
∴==
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由上图可知事件B包含的基本事件
有236
⨯=个，
62 ()
279 P B
∴==
答：3个矩形颜色都相同的概率为1
9
；3个矩形颜色都不同的概率为
2
9。

【必会题型】方法一：列表法
1.同时抛掷两个骰子，计算：
①向上的点数相同的概率；②向上的点数之积为偶数的概率。

2.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求：
（1）两数之和是3的倍数的概率；（2）两数之和不小于10的概率。

3.从3件正品、1件次品中随机取出两件，求取出的产品全是正品的概率。

4.有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4。

若甲从一个箱子摸出一个球，乙从另一个箱子里摸出一个球，谁摸出的球上的数字大谁就获胜（数字相同为平局），求甲获胜的概率。

5.从甲乙丙三人中任选两名代表，求甲被选中的概率。

方法二：树状图
6.求一枚硬币抛三次都是正面朝上的概率。

7.求抛掷三枚硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率。

8.三名学生排成一排，求甲乙站在一起的概率。

9.已知甲乙丙三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙前面值班的概率是多少？
10.三人传球，由甲开始发球，并作第一次传球，求经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率。

方法三：枚举法
11.有5条线段长度分别为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为。

12.已知甲乙两人可以随意入住两间空房，求甲乙两人恰好各住一间房的概率。

【知识点3】几何概型
1.几何概型的概念：求有关线段，平面图形，立体图形等的概率。

2.几何概型的条件：（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等。

【必会题型】
1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆
子，则豆子落入圆内的概率的。

2.现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的
蒸馏水，则抽到细菌的概率是。

3.在等腰直角ABC
的斜边AB上任取一点M，则AM小于AC的概率是。

4.有一个半径为5的圆，现将一枚半径为1硬币向圆投去（不考虑硬币完全落在圆外的情况），则硬币完全落入圆内的概率是。

5.某人早上醒来发现表停了，他打开收音机等待电台的整点报时，则他等待的时间不多于20分钟的概率为。

6.任意剪断一条长度为5米的绳子，则剪得的两段绳子的长度都不小于2米的概率是。

7.在长为10米的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，则这个正方形的面积在(25,49]平方米之间的概率是。

8.某人在车站乘车出差，已知该站发往各站的车均为每小时一班，则此人等车时间不多于10分钟的概率为。

9.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L，则L与线段BC相交的概率为。

10.在直角坐标系内，射线OT 落在角60的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在xOT ∠内的概率是 。

11.一只金鱼在一个长方体水缸中自由游弋，水缸长为20dm ，宽为15dm ，则金鱼的嘴尖离岸不超过2dm 的概率是 。

12.若[2,2],[2,2]x y ∈-∈-，则点(,)x y 落在圆面222x y +≤内的概率是 。

【知识点4】互斥事件
1.互斥事件：不能同时发生的两个事件成为互斥事件。

2.互斥事件的概率关系：如果事件A ，B 互斥，那么事件B A +发生的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即)()()(B P A P B A P +=+。

3.对立事件：若两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件。

事件A 的对立事件记为A 。

结论：A A +是必然事件，即：1)()()(=+=+A P A P A A P ，()1()P A P A =-。

例题：某人射击1次，命中7-10环的概率如右表所示： ①求射击1次，至少命中7环的概率；
②求射击1次，命中不足7环的概率。

解：记“射击1次，命中k 环”为事件),10,(≤∈k N k A k 且则事件k A 两两互斥。

① 记“射击一次，至少命中7环”的事件为A ，则
)()(78910A A A A P A P +++==)()()()(78910A P A P A P A P +++
=9.032.028.018.012.0=+++。

②“射击一次，命中不足7环”是“射击一次，命中至少7环”的对立事件，记为事件A 。

则1.09.01)(1)(=-=-=A P A P 。

答：此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1。

【必会题型】
1.如果事件A 、B 互斥，那么（ ）
A .A
B +是必然事件 B .A +B 是必然事件
C .A 与B 一定互斥
D .A 与B 一定不互斥
2.下列4个命题正确的是（ ）
A.对立事件一定是互斥事件；
B.若A,B 为两个事件，则()()()P A B P A P B +=+；
C 若A,B,C 两两互斥，则()()()1P A P B P C ++=；
D.若事件A,B 满足()()1P A P B +=，则A,B 是对立事件。

3.从一批羽毛球中任取一个，质量小于
4.8克的概率为0.3，小于4.85克的概率为0.32，则质量在[4.8，4.85]克范围内的概率是（ ）
A.0.62
B.0.38
C.0.02
D.0.68
4.甲乙两人下棋，和棋的概率是13，乙胜的概率是12
，则甲不胜的概率是 。

5.若A,B 是互斥事件，则()()P A P B +与1的大小关系是 。

6.在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A ，则A 的对立事件是 。