考前三个月·浙江专用高考数学文二轮配套教案：第二部分 考前静悟篇 专题一 第一讲

第二篇考前静悟篇
专题一解题求规范，小处不丢分
第一讲审题求规范
审题即弄清题意，是解题的基础，是快速、正确解题的前提，“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”审题能力的高低是决定成绩的重要因素，不良的审题习惯会导致解题失误，运算繁冗．正确合理的审题可以使解题有条不紊，快速高效．
审题包含两方面的内容：题目信息的整合和解题方法的选择．通过对题目条件、结论进行多角度地观察，由表及里，由数到形，由条件到结论，洞察问题实质，选择合适的解题方法，审题时不要急于求成．本讲结合实例，教你规范审题，不在小处丢分．
一审词——看清条件和结论
词，无疑是指题目中的关键词，数学审题，首先要抓住关键词，看清题目的条件和结论．全面、深刻、准确地把握关键词是审题的基本要求，体现了对细节的关注．在此基础上，对条件结论进行挖掘、转化．例１将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!
规范审题（１）锁定关键词：连续抛掷三次、依次成等差数列；（２）关键词的转化：连续抛掷三次：基本事件总数6×6×6＝２１6种；依次成等差数列：列举符合条件的基本事件．
解析基本事件总数为6×6×6＝２１6（种）；
当公差为１时，首项可以为１,２,３,４；
当公差为２时，首项可以为１,２；
当公差为—１时，首项可以为6,５,４,３；
当公差为—２时，首项可以为6,５；
当公差为0时，首项可以为１,２,３,４,５,6．
符合条件的基本事件数为４＋２＋４＋２＋6＝１8（种）．
故所求概率为错误!＝错误!.
答案B
例２已知直线l过点P（５,２）且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________．规范审题（１）锁定关键词：l在两坐标轴上的截距相等；（２）关键词的转化：l过原点（两截距
均为0）、l不过原点且在两坐标轴上的截距相等．
解析当直线l过原点时，易得l：２x—５y＝0；
当l不过原点时，设l：错误!＋错误!＝１．
将P（５,２）代入l方程可得a＝7，此时l：x＋y—7＝0．
故所求直线l的方程为２x—５y＝0和x＋y—7＝0．
答案２x—５y＝0和x＋y—7＝0
跟踪训练１（１）（２0１３·江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y＝错误!（x>0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为２错误!，则满足条件的实数a的所有值为________．答案错误!，—１
解析|PA|２＝（x—a）２＋错误!２
＝x２＋错误!—２ax—错误!＋２a２
＝错误!２—错误!２a＋２a２—２
＝错误!２＋a２—２
由x>0，得x＋错误!≥２，
由已知条件错误!或错误!
解得a＝错误!或a＝—１．
（２）具有性质f（错误!）＝—f（x）的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数．则下列函数：１y＝x—错误!；２y＝x＋错误!；３y＝错误!
满足“倒负”交换的函数是________．
答案１３
解析１f（错误!）＝错误!—错误!＝错误!—x＝—（x—错误!）＝—f（x），故该函数为“倒负”交换的函数；
２f（错误!）＝错误!＋错误!＝错误!＋x＝f（x），故该函数不是“倒负”交换的函数；
３当x＝１时，错误!＝１，显然此时f（x）＝0，f（错误!）＝0，故有f（错误!）＝—f（x）；
当0<x<１时，错误!>１，此时f（x）＝x，f（错误!）＝—错误!＝—x，故有f（错误!）＝—f（x）；
当x>１时，0<错误!<１，此时f（x）＝—错误!，f（错误!）＝错误!，故有f（错误!）＝—f（x）．综上，只有１３为“倒负”交换的函数．
二审图——关系特征要明晰
图形或者图象的力量比文字更为简洁有力，挖掘其中蕴含的有效信息，正确理解问题是解决问题的关键．对图形或者图象的独特理解很多时候成为问题解决中的亮点．此处审题的要求是：图形有何重要特征包括图形隐含的特殊关系、变化的趋势、图形对应数值的特点等；利用数形结合的思想方法对条件进行转化，找到和要求证结论的联系．
例３给定两个长度为１的平面向量错误!和错误!，它们的夹角为１２0°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧错误!上变动，若错误!＝x错误!＋y错误!，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．
规范审题向量错误!，错误!，错误!均为单位向量，∠AOC的大小影响x＋y，可以利用数量积将向量间的关系转化为数量关系．
解析∵错误!＝x错误!＋y错误!，设∠AOC＝α，
则错误!，
即错误!.
∴x＋y＝２[cos α＋cos（１２0°—α）]＝２sin（α＋３0°）．
∴x＋y≤２（当且仅当α＝60°时取等号）．
∴x＋y的最大值是２．
答案２
跟踪训练２（１）已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x２—２x—３）f′（x）>0解集为
（）
Ａ．（—∞，—１）∪（—１,0）∪（２，＋∞）
Ｂ．（—∞，—１）∪（—１,１）∪（３，＋∞）
Ｃ．（—∞，—２）∪（１,２）
Ｄ．（—∞，—２）∪（１，＋∞）
答案B
解析由f（x）的图象可知在（—∞，—１）和（１，＋∞）上f′（x）>0，在（—１,１）上f′（x）<0，
∴不等式（x２—２x—３）f′（x）>0可转化为
错误!（Ⅰ）或错误!（Ⅱ）
由（Ⅰ）得x>３或x<—１；
由（Ⅱ）得—１<x<１．
故所求不等式的解集为（—∞，—１）∪（—１,１）∪（３，＋∞）．
（２）如图，平面内有三个向量错误!，错误!，错误!.其中错误!与错误!的夹角为１２0°，错误!与错误!
的夹角为３0°，且|错误!|＝２，|错误!|＝错误!，|错误!|＝２错误!，若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ∈R），则（）
Ａ．λ＝４，μ＝２Ｂ．λ＝错误!，μ＝错误!
Ｃ．λ＝２，μ＝错误!Ｄ．λ＝错误!，μ＝错误!
答案C
解析由图知错误!，错误!夹角为90°，
∴错误!
∴错误!
解得λ＝２，μ＝错误!.
三审表——透过数据看规律
在日常生活和生产中经常会出现图表问题，如每日的股市曲线图、菜场上的价目表等，都是高考命题的源泉．表格中隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系，对于表格的分析要能慧眼独具，不为浮云遮望眼，透过现象看本质．看清表格的本质，问题解决也就有了基础．审题的要求是：认真观察图表、分析数据的特征和规律，根据规律解决问题．
例４已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：
x１２３
f（x）１３１
x１２３
g（x）３２１
则f[g（１）]的值为________________．
规范审题第一步：直接根据函数值填写；第二步：函数值比较少且规律不明显，可以使用枚举的办法解决．
解析１∵g（１）＝３，∴f[g（１）]＝f（３）＝１．
２当x＝１时，f[g（x）]＝f[g（１）]＝f（３）＝１．
g[f（x）]＝g[f（１）]＝g（１）＝３．
此时１<３，也即f[g（x）]<g[f（x）]，不合题意．
当x＝２时，f[g（x）]＝f[g（２）]＝f（２）＝３．
g[f（x）]＝g[f（２）]＝g（３）＝１．
此时３>１，即f[g（x）]>g[f（x）]，符合题意；
当x＝３时，f[g（x）]＝f[g（３）]＝f（１）＝１，
g[f（x）]＝g[f（３）]＝g（１）＝３，
此时f[g（x）]<g[f（x）]，不合题意．
故所求x的值为２．
答案１２
跟踪训练３观察下列三角形数表：其中从第２行起，每行的每一个数为其“肩膀”上两数之和，则该数表的最后一行的数为（）
A．１0１×２98Ｂ．１0１×２99
Ｃ．99×２99Ｄ．１00×２99
答案A
解析该数表共１00行，
第２行的第１个数为３＝３×２0，
第３行的第１个数为8＝４×２１，
第４行的第１个数为２0＝５×２２，
第５行的第１个数为４8＝6×２３，
……
∴第１00行的第１个数为１0１×２98，故选Ａ．
跟踪训练４（２0１３·湖南）某人在如图所示的直角边长为４米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
X１２３４
Y ５
１
４8
４
５
４
２
（１）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y ５
１
４8
４
５
４
２
频数
的概率．
解（１）所种作物的总株数为１＋２＋３＋４＋５＝１５，其中“相近”作物株数为１的作物有２株，“相近”作物株数为２的作物有４株，“相近”作物株数为３的作物有6株，“相近”作物株数为４的作物有３株．列表如下：
所种作物的平均年收获量为
错误!＝错误!＝错误!＝４6．
（２）由（１）知，P（Y＝５１）＝错误!，P（Y＝４8）＝错误!.
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为４8 kg的概率为
P（Y≥４8）＝P（Y＝５１）＋P（Y＝４8）＝错误!＋错误!＝错误!.
四审式——数式结构找关系
数学问题中各种量的关系一般以关系式的形态出现，从关系式的角度分析也是我们最常用的方法，理解了关系式也就对各种量的本质联系有了清晰的认识．审题的基本要求是：挖掘关系式的内在特点；寻找已知条件和结论中式子的联系以及它们和一些公式间的联系，然后再转化．
例５在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若错误!＋错误!＝6cos C，则错误!＋错误!的值是________．
规范审题已知条件错误!＋错误!＝6cos C中既有角，又有边，考虑到所求式子，可进行边角互化．转化时，可使用余弦定理将cos C值表示出，将式子全部转化成边代入；也可以利用正弦定理对条件进行转化，得到角的关系式代入所求式子．
解析由错误!＋错误!＝6cos C，得b２＋a２＝6ab cos C.
化简整理得２（a２＋b２）＝３c２，将错误!＋错误!切化弦，
得错误!·（错误!＋错误!）＝错误!·错误!
＝错误!·错误!＝错误!.
根据正、余弦定理得错误!＝错误!
＝错误!＝错误!＝４．
答案４
跟踪训练５（２0１３·四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A—B）cos B—sin （A—B）sin（A＋C）＝—错误!.
（１）求sin A的值；
（２）若a＝４错误!，b＝５，求向量错误!在错误!方向上的投影．
解（１）由cos（A—B）cos B—sin（A—B）sin（A＋C）
＝—错误!，得cos（A—B）cos B—sin（A—B）sin B＝—错误!.
则cos（A—B＋B）＝—错误!，即cos A＝—错误!.
又0<A<π，则sin A＝错误!.
（２）由正弦定理，有
错误!＝错误!，所以，sin B＝错误!＝错误!.
由题意知a>b，则A>B，故B＝错误!.
根据余弦定理，有（４错误!）２＝５２＋c２—２×５c×错误!，
解得c＝１或c＝—7（负值舍去）．
故向量错误!在错误!方向上的投影为|错误!|cos B＝错误!.
五审理——字里行间皆有理
数学中的“理”，不仅仅是指常用的公式和原理，更是指我们经常讲的合情推理：根据已有的事实、结论或者实践的结果，以个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳和类比就是数学活动中常用的合情推理．在高考中该方面的问题有明显的增长趋势．有些问题很难直接和一般的知识点联系起来，考查的是综合应用数学知识解决问题的能力，有很强的区分度．
例6 随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了6３0万位的最大质数．某同学在学习中发现由４１,４３,４7,５３,6１,7１,8３,97组成的数列中每一个数都是质数，他根据这列数的一个通项公式，得出了数列的后几项，发现它们也是质数．于是他断言：根据这个通项公式写出的数均为质数．则这个通项公式为________，该同学断言是________的（填“正确”或者“错误”）．
规范审题通过观察相邻两数之差成等差数列；根据发现的规律寻找通项公式，进行判断．
解析根据题意知，通项公式a n＝４１＋２＋４＋6＋…＋２（n—１）＝n（n—１）＋４１．取n ＝４１，得a n＝４１×４１＝１68１，显然不是质数，从而该同学断言是错误的．
答案a n＝n（n—１）＋４１，n∈N*错误
跟踪训练6 （１）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各５0件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为４0,４５,５４,6１件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件
从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）
Ａ．１５Ｂ．１6 Ｃ．１7 Ｄ．１8
答案B
解析这是一道运筹问题，需要用函数的最值加以解决．设A→B的件数为x１（规定：当x１<0，则B调整了|x１|件给A，下同！）B→C的件数为x２，C→D的件数为x３，D→A的件数为x４，依题意可得x４＋５0—x１＝４0，x１＋５0—x２＝４５，x２＋５0—x３＝５４，x３＋５0—x４＝6１，从而x２＝x１＋５，x３＝x１＋１，x４＝x１—１0，故调动件次f（x１）＝|x１|＋|x１＋５|＋|x１＋１|＋|x１—１0|，画出图象（或绝对值的几何意义）可得最小值为１6．
（２）（２0１２·北京）已知f（x）＝m（x—２m）·（x＋m＋３），g（x）＝２x—２，若同时满足条件：１对任意x∈R，f（x）<0或g（x）<0；２存在x∈（—∞，—４），f（x）g（x）<0．则m 的取值范围是________．
答案—４<m<—２
解析将１转化为g（x）<0的解集的补集是f（x）<0解集的子集求解；
２转化为f（x）>0的解集与（—∞，—４）的交集非空．
１中，若g（x）＝２x—２<0，则x<１．
又∵对任意x∈R，g（x）<0或f（x）<0，
∴[１，＋∞）是f（x）<0的解集的子集．
又由f（x）＝m（x—２m）（x＋m＋３）<0知，
m不可能大于或等于0，因此m<0．
当m<0时，f（x）<0，即（x—２m）（x＋m＋３）>0．
当２m＝—m—３，即m＝—１时，
f（x）<0的解集为{x|x≠—１}，满足条件．
当２m>—m—３，即—１<m<0时，
f（x）<0的解集为{x|x>２m或x<—m—３}．
依题意２m<１，即m<错误!，∴—１<m<0．
当２m<—m—３，即m<—１时，
f（x）<0的解集为{x|x<２m或x>—m—３}．
依题意—m—３<１，即m>—４，∴—４<m<—１．
因此满足１的m的取值范围是—４<m<0．
２中，∵当x∈（—∞，—４）时，g（x）＝２x—２<0，
∴问题转化为存在x∈（—∞，—４），f（x）>0，
即f（x）>0的解集与（—∞，—４）的交集非空．
又m<0，则（x—２m）（x＋m＋３）<0．
由１的解法知，当—１<m<0时，２m>—m—３，
即—m—３<—４，∴m>１，此时无解．
当m＝—１时，f（x）＝—（x＋２）２恒小于或等于0，此时无解．当m<—１时，２m<—m—３，即２m<—４，∴m<—２．
综合１２可知满足条件的m的取值范围是—４<m<—２．。