一阶系统与二阶系统.

3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换
在分析和设计控制系统时，需要确定一个对各种控制系 统的性能进行比较的基础，这个基础就是预先规定一些具有 特殊形式的测试信号作为系统的输入信号，然后比较各种系 统对这些输入信号的响应。
选取测试信号时必须考虑的原则： • 选取的输入信号的典型形式应反映系统工作时的大部分
3.1.3 瞬态过程的性能指标
控制系统在典型输入信号的作用下的性能指标，由瞬态 性能指标和稳态性能指标两部分组成。 由于稳定是控制系统能够正常运行的首要条件，因此只 有当瞬态过程收敛（衰减）时，研究系统的瞬态和稳态性能 才有意义。 在工程应用上，通常使用单位阶跃信号作为测试信号， 来计算系统时间域的瞬态和稳态性能。
在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应 都由瞬态响应和稳态响应两部分组成 。
1．瞬态响应：又称为瞬态过程或过渡过程。是指系统在典 型输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到最终状态 的响应过程。 由于实际的控制系统存在惯性、阻尼及其它一些因素， 系统的输出量不可能完全复现输入量的变化，瞬态过程曲线 形态可表现为衰减振荡、等幅振荡和发散等形式。 瞬态过程包含了输出响应的各种运动特性，这些特性称 为系统的瞬态性能。 一个可以实际运行的控制系统，瞬态过程必须是衰减的。 即系统必须是稳定的。
单位阶跃响应曲线的斜率为：
y(t)
1
t
eT
T
t
y(t)1e T,t 0
显然在t=0处的斜率为1/T，并且随时间的增加斜率变小。 下表表示了单位阶跃响应曲线上各点的值、斜率与时间常 数T之间的关系。
时间t
0
T
2T 3T
…
输出量 0 0.632 0.865 0.950 … 1.0
斜率
1/T 0.368 /T 0.135 /T 0.050 /T …
-
s
典型的一阶系统的结构图如图所示。
其闭环传递函数为： (s)Y(s)K s 1 1 R(s) 1K s K s1 Ts1
式中，T ，1 称为时间常数，开环放大系数越大，时间常 数越小。 K
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
当一阶系统的输入信号为单位脉冲信号r(t)=d(t)，其拉氏变 换为R(s)=1，则系统的输出为:
3.1.4 稳态过程的性能指标
稳态过程的性能指标
当响应时间t>ts时，系统的输出响应进入稳态过程。稳 态过程的性能指标主要是稳态误差。当时间趋于无穷大时， 若系统的输出量不等于输入量，则系统存在稳态误差，稳态 误差是控制系统精度或抗干扰能力的一种度量。
esslt i e m (t)ls i0m s(E s)
1
曲线1 时间常数为T 曲线2 时间常数为2T
复到初始状态的时间越长。单位
2
脉冲响应的终值均为零 。
0
t
3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应
(s)Y(s) 1 R(s) Ts1
当 R(s)1s时
Y(s) 1 1, Ts1 s
y(t)L 1 [T1 s11 s]L 1 [1 ss 11] 1 e T t
Y(s)R (s) 1 1/T T s1 T s1 s1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位脉冲响应 ：
y(t)1eTt，t 0 T
一阶系统的单位脉冲响应曲线 ： y(t)
一阶系统的单位脉冲响应曲线为 T
单调下降的指数曲线，时间常数
T越大，响应曲线下降越慢，表 明系统受到脉冲输入信号后，恢
1/2T
⒌ 调节时间或过渡过程时间 ts ：
当 y(t和) y之(间)的误差达到规定的范围之内［一般取
的±y5(%或) ±2%，称允许误差范围，用D表示］且以后不再超
出此范围的最小时间。即当 ，有：t ts
|y ( t ) y ( ) | y ( ) % ( 2 或 5 )
⒍ 振荡次数N：
时域分析是一种在时间域中对系统进行分析的方法，具 有直观和准确的优点。由于系统的输出量的时域表达式是时 间的函数，所以系统的输出量的时域表达式又称为系统的时 间响应。
系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函 数得到。在初值为零时，可利用传递函数进行研究，用传递 函数间接的评价系统的性能指标。
2．稳态响应：又称为稳态过程。是指系统在典型输入信号 的作用下，当时间趋近于无穷大时，系统的输出响应状态。 稳态过程反映了系统输出量最终复现输入量的程度，包 含了输出响应的稳态性能。 从理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过 程，但这在工程应用中是无法实现的。因此在工程上只讨论 典型输入信号加入后一段时间里的瞬态过程，在这段时间里， 反映了系统主要的瞬态性能指标。而在这段时间之后，认为 进入了稳态过程。
一阶系统的数学模型 一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位加速度响应 一阶系统的瞬态性能指标
3.2.1 一阶系统的数学模型
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数
是 s的一次有理分式。
一阶系统的微分方程为：
Td(yt)y(t)r(t) dt
R(s) E(s) K Y (s)
式中：e(t)=给定输入值-实际输出值（单位反馈）；E(s)是 系统的误差。
3.1.5 对一个控制系统的要求
系统应该是稳定的； 系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差的要求； 系统在瞬态过程中应有好的快速性。 简称为：稳、准、快
3.2 一阶系统的瞬态响应
3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6
Y(s)G (s)1
⒉ 单位阶跃函数响应： ⒊ 单位斜坡函数响应：
Y(s) G(s)1 s
Y(s)
G(s)
1 s2
⒋ 单位抛物线函数响应：
Y(s)
G(s)
1 s3
[提示]：上述几种典型响应有如下关系：
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
函数响应
函数响应
微分
微分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
3.1.2 瞬态响应和稳态响应
当一阶系统的输入信号为单位斜坡信号r(t)=t，其拉氏变换 为R(s)=1/s2，则系统的输出为:
R (s ) 1 1 1T T Y (s )
T 1 sT 1 ss 2 s 2 ss 1 /T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位斜坡响应 ：
t
y(t)tT(1eT),t0
y(t)
一阶系统的单位斜坡响应曲线 ：
在调节时间内，y(t)偏离 的y(振) 荡次数。或在 0<t<ts时间内，单位阶跃响应穿越其稳态值次数的一 半，定义为振荡次数。
y
ymax
0.05 y()
y()
或
0.02 y()
y() 2
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0
td tr tp
t ts
在上述几种性能指标中，tp ,tr ,ts表示瞬态过程进行的快慢，是 快速性指标；而%,N 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指
标。其中%和 t s 是两种最常用的性能指标。
3.1.3 瞬态过程的性能指标（单调变化）
（二）单调变化的响应
单调变化响应曲线如图所示：
y
y ( )
0.05 y() 或 0.02 y()
y ( ) 2
tr
t
td
ts
这种响应没有超调量，只用调整时间ts表示瞬态过程的 快速性，调整时间的定义同上所述。有时也采用上升时间 tr这一指标。上升时间的定义应修改为由稳态值的10%上 升到90%所需的时间。
0,t 0
x(t)
1 2
Ct
2
,
t
0
C=1时称为单位 抛物线函数。
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
C s3
x(t) x(t)
1
Ct 2
2t
[提示]：上述几种典型输入信号的关系如下：
A(t)d[A 1 (t) ]d 2[A ] td 3[1A 2 ]t
dt
d2t d32 t
正弦函数：x(t)ASitn，式中，A为振幅，为频率。 其拉氏变换后的像函数为： L[Asint]s2An 2
0
td tr tp
y(t) y()
y % 2或5
t ts
0
ts
y() % ( 2或5)
t
3.1.3 瞬态过程的性能指标（衰减振荡）
（一）衰减振荡： 具有衰减振荡的瞬态过程 如图所示：
⒈ 延迟时间 td：
y
y()
输出响应第一次达到稳
t
态值的50%所需的时间。
t 0 r
⒉ 上升时间 tr ：
输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。(或指由稳 态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间)。
0.0
根据这一特点，可用实验的方法测定一阶系统的时间常 数，或测定系统是否属于一阶系统。
一阶系统跟踪单位阶跃信号时，输出量和输入量之间的位 置误差随时间减小，最后趋于零。
输出量和输入量之间的位置误差：
t
e(t)1(t)y(t)eT
稳态位置误差 ：
t
lime(t)limeT 0
t
t
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
实际情况。 • 选取外加输入信号的形式应尽可能简单，易于在实验室
获得，以便于数学分析和实验研究。 • 应选取那些能使系统工作在最不利情况下的输入信号作
为典型的测试信号。
在控制工程中采用下列五种信号作为典型输入信号
脉冲函数： (t) 0tt 0 0
(t)d t1 L[(t)]1
阶跃函数：
n
分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系 统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。
当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输 入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函 数为典型输入信号。
讨论系统的时域性能指标时，通常选择单位阶跃信号作为 典型输入信号。
典型响应：
⒈ 单位脉冲函数响应：
⒊ 峰值时间 t：p
输出响应超过稳态值达到第 一个峰值ymax所需要的时间。
ymax
y
⒋ 最大超调量(简称超调量)： % y()
0.05 y () 或
0.02 y()
瞬态过程中输出响应的最大值
超过稳态值的百分数。
%ym axy()10% 0
y()
0
tp
t
ts
式中：ymax—输出响应的最大值；
y()lim y(t)—稳态值； t
3.1 典型输入作用和时域性能指标
3.1.0 时域分析 3.1.1 典型输入作用及其拉氏变换 3.1.2 瞬态过程和稳态过程 3.1.3 瞬态过程的性能指标 3.1.4 稳态过程的性能指标
3.1.0 时域分析
时域分析是指控制系统在一定的输入信号作用下，根据 输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态性能和稳态 性能。
控制系统的性能指标，可以通过在输入信号作用下系统 的瞬态和稳态过程来评价。系统的瞬态和稳态过程不仅取决 于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。
典型初始状态:
规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 t 0 时
.
..
y (0 ) y (0 ) y (0 ) 0
这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控 制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
描述稳定的系统在单位阶跃信号作用下，瞬态过程随时 间t的变化状况的性能指标，称为瞬态性能指标，或称为动 态性能指标。
为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作 用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数均等于零。
稳定控制系统的单位阶跃响应曲线有衰减振荡和单调上升两 种类型。
yt
ymax
y()
y() 2
x(t) 0A,,tt00
A阶跃幅度，A=1 x(t)
称为单位阶跃函数，A
记为1（t）。
t
其拉氏变换后的像函数为： L[x(t)] A
s
斜坡函数（速度阶跃函数）：
0,t 0 x(t) Bt,t 0
B=1时称为单位 斜坡函数。
其拉氏变换后的像函数为：
L[x(t)]
B s2
x(t)
x(t) Bt
t
抛物线函数（加速度阶跃函数）：
T
一阶系统的单位阶跃响应曲线 ：
y(t) 1
1
曲线1 时间常数为T 2 曲线2 时间常数为2T
0
t
显然一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始按指数 规律单调上升并最终趋于1的曲线。
3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应--特点
y(t) 1
1 曲线1 时间常数为T
2 曲线2 时间常数为2T
0
t
单位阶跃响应曲线是单调上升的指数曲线，为非周期响 应； 时间常数T反映了系统的惯性，时间常数T越大，表示系 统的惯性越大，响应速度越慢，系统跟踪单位阶跃信号越慢， 单位阶跃响应曲线上升越平缓。反之，惯性越小，响应速度 越快，系统跟踪单位阶跃信号越快，单位阶跃响应曲线上升 越陡峭。由于一阶系统具有这个特点，工程上常称一阶系统 为惯性环节或非周期环节。
1 2
曲线1表示输入单位斜坡信号
3
r(t)=t，曲线2和曲线3分别表示
y(t)=t
系统时间常数等于T和2T时的单
位斜坡响应曲线。
0
t
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应—特点
y(t)