广东省江门市2012年普通高中高三第一次模拟测试(数学理)

广东省江门市2012年普通高中高三第一次模拟测试（
数 学（理科）
本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：1．锥体的体积公式Sh V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 2．用最小二乘法求线性回归方程系数公式2
1
2
1
x
n x
y x n y
x b n
i i
n
i i
i --=
∑∑== ，
x b y a
-=． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知复数i z -=1（i 是虚数单位），若R a ∈使得R z z
a
∈+，则=a A ．
21 B ．2
1
- C ．2 D ．2- ⒉已知函数||lg )(x x f =，R x ∈且0≠x ，则)(x f 是
A ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递增
B ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递增
C ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递减
D ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递减 ⒊从一个五棱锥的顶点和底面各顶点（共6个点）中随机选取4个点，这4个点共面的概率等于
A ．21
B ．31
C ．41
D ．5
1 ⒋如图1，ABC ∆中，3=AC ，4=BC ，o
90=∠C ，D 是BC
的中点，则=⋅AD BA
A ．0
B ．135
C ．17
D ．17-
⒌有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据如下表：
x 之间线性回
归方程a x b
y ˆˆ+=的系数4.2ˆ-=b ．则预测平均气温为8-℃时该商品销售额为 A ．6.34万元 B ．6.35万元 C ．6.36万元 D ．6.37万元 ⒍下列命题中，真命题的个数．．
是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
绝密★启用前 试卷类型：B
正视图
侧视图
图
2
①不等式1|3|>-x 的解集是) , 4(∞+．
②命题“任意素数都是奇数”的否定是“任意素数都不是奇数”． ③平行于同一平面的两平面互相平行．
④抛物线22x y =的焦点坐标是)2
1
, 0(．
⒎如图2，某几何体的正视图和侧视图都是对角线长分别 为4和3的菱形，俯视图是对角线长为3的正方形，则 该几何体的体积为 A ．36 B ．18 C ．12 D ．6 ⒏定义
bc ad d
c b a -= ，其中a ，b ，
c ，{}4 , 3 , 2 , 1 , 1-∈
d ，且互不相等．则d
c b a 的所有可能且互不相等的值之和等于
A ．2012
B ．2012-
C ．0
D ．以上都不对
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）
⒐已知数列{}n a 的前n 项和为n S n n )1(-=，则=n a ．
⒑在平面直角坐标系xOy 中，以点)1 , 1(-M 为圆心，且与直线022=+-y x 相切的圆的方程是 ．
⒒以初速度s m /40垂直向上抛一物体，t 时刻(单位：s ) 的速度为t v 1040-=(单位：s m /)，则物体能达到的 最大高度是 （提示：不要漏写单位）．
⒓已知x 、y 满足⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤024
2y x y x ，
则y x -2的最大值是 ．
⒔执行如图3所示的程序框图，输出的=i ． (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕（几何证明选讲选做题）如图4，AD 是ABC ∆的高，
AE 是ABC ∆外接圆的直径。

若6=AB ，5=AC ， 4=AD ，则图中与BAE ∠相等的角是 ，
=AE ．
⒖（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧+==α
α
sin 1cos y x （α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）
已知函数)3
cos(3)3
sin()(π
ωπ
ω+
-+=x x x f （0>ω）的最小正周期为π．
⑴求)12
7(
π
f 的值； ⑵若ABC ∆满足)(2)()(A f A B f C f =-+，证明：ABC ∆是直角三角形．
⒘（本小题满分14分）
甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图5的茎叶图所示． ⑴现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；
⑵若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξE ． （注：样本数据1x ,2x ,…,n x 的方差(
)()(
)[]
2222121
x x x x x x n
s n -++-+-= ，其中x 表示样本均值）
图5
A
B
C
D
E
1
A 1
B 1
C 1
D
⒙（本小题满分14分）
如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，
2=BC ，060=∠ABC ，E 为BC 的中点，
⊥1AA 平面ABCD ．
⑴证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； ⑵若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1 所成角的余弦值．
⒚（本小题满分12分）
已知直线033=+-y x 经过椭圆C ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）的一个顶
点B 和一个焦点F ．
⑴求椭圆的离心率；
⑵设P 是椭圆C 上动点，求||||||PB PF -的取值范围，并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标．
⒛（本小题满分14分）
某学校每星期一供应1000名学生A 、B 两种菜。

调查表明，凡在这星期一选A 种菜的，下星期一会有%20改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有%30改选A 种菜．设第n 个星期一选A 、B 两种菜分别有n a 、n b 名学生． ⑴若5001=a ，求2a 、3a ；
⑵求n a ，并说明随着时间推移，选A 种菜的学生将稳定在600名附近．
21（本小题满分14分）
已知2)(x x f =，x x g ln )(=，直线l ：b kx y +=（常数k 、R b ∈）使得函数)(x f y =的图象在直线 l 的上方，同时函数)(x g y =的图象在直线 l 的下方，即对定义域内任意x ，2ln x b kx x <+<恒成立．
试证明：⑴0>k ，且4
1ln 2
k b k -<<--；
⑵“e k e
<<-2
1
”是“2ln x b kx x <+<”成立的充分不必要条件．
理科数学评分参考
一、选择题 CBBD AADC
二、填空题 ⒐)12()1(--n n （列式完整但未化简扣1分；列式不完整扣2分）
⒑5)1()1(22=++-y x （或等价方程）
⒒m 80（数值对4分，全对5分；数值错0分） ⒓2 ⒔3 ⒕CAD ∠（3分），
2
15
（2分） ⒖θρsin 2=
三、解答题
⒗⑴x x f ωsin 2)(=……2分（振幅1分，角度1分），πω
π
==
2T ……3分，
2=ω……4分，所以16
7sin 2)127(
-==π
πf ……6分．
（未化简)(x f 而求T ，扣2分）
⑵由)(2)()(A f A B f C f =-+得A A B C 2sin 2)22sin(2sin =-+……7分，A A B B A 2s i n 2)22s i n ()22s i n (=-++-……8分， 得02sin cos 2=A B ……9分， 所以0cos =B 或02sin =A ……10分，因为A <0，π<B ，所以2
π
=B 或2
π
=
A ，
ABC ∆是直角三角形……12分．（“2
π
=B 或2
π
=
A ”只得到一个，扣1分）
⒘⑴865
93
90878575=++++=
甲x ……1分，
865
9787868377=++++=乙x ……2分，
()()()()()[]
6.378693869086878685867551
222222
=-+-+-+-+-=
甲s ……3分， ()()()()()[]
4.42869786878686868386775
12
22222=-+-+-+-+-=乙s ……4分，
因为乙甲x x =，2
2乙甲s s <，所以派甲去更合适……5分． ⑵甲高于80分的频率为
54
，从而每次成绩高于80分的概率5
4=p ……6分， ξ取值为0，1，2，3，)5
4
, 3(~ξ……7分，
直接计算得1251)51()54()0(3003===C P ξ，125
12)51()54()1(2
113=
==C P ξ， 12548)51()54()2(1223===C P ξ，125
64)51()54()3(0
333=
==C P ξ……11分，分布列为
所以，512
12564312548212511250=
⨯+⨯+⨯+⨯=ξE （或5
12
543=⨯==np E ξ）……14分（列式1分，计算1分）
⒙⑴依题意，CD AB BC EC BE ===
=2
1
……1分，所以ABE ∆是正三角形，060=∠AEB ……2分，又00030)120180(2
1
=-⨯=
∠CED ……3分，所以090=∠AED ，AE DE ⊥……4分，因为⊥1AA 平面ABCD ，⊂DE 平面ABCD ，
所以DE AA ⊥1……5分，因为A AE AA = 1，所以⊥DE 平面AE A 1……6分，因为⊂DE 平面DE A 1，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1……7分．
⑵取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ……8分，连接C B 1，则D A C B EF 11////……9分，所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角……10分。

因为3=DE ，
2
211AE A A E A +=，所以21=A A (11)
分，2
2
=
BF ，
2
6121=+=
=EF AF ……12分，所以6
6
2cos 222=⨯⨯-+=∠EF AE AF EF AE AEF ……14分（列式计算各1
分）．
（方法二）以A 为原点，过A 且垂直于BC 的直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴、
1AA 所在直线为z 建立右手系空间直角坐标系……1分，设a AA =1（0>a ），则)0 , 0 , 0(A ，)0 , 2 , 0(D ，) , 0 , 0(1a A ，)0 , 2
1
, 23(
E ……3分． ⑴设平面AE A 1的一个法向量为) , , (1p n m n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=
⋅0
02
1
2311
1ap AA n n m n ……12分
……4分，0=p ，取1=m ，则3-=n ，从而)0 , 3 , 1(1-=n ……5分，同理
可得平面DE A 1的一个法向量为)2
, 1 , 3(2a
n =……7分，直接计算知021=⋅n n ，
所以平面⊥AE A 1平面DE A 1……8分．
⑵由E A DE 1=即22222)21
()23(0)212()23(
a ++=+-+……9分，解得2=a ……10分。

)0 , 2
1
, 23(=……11分，)2 , 2 , 0(1-=D A ……12分，
所以异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值66
|
|||cos 11=
⋅=D A AE θ……14分． 注：由于给分板按方法一设置，即第⑴问7分，第⑵问7分。

若学生按方法二答题，得分7≤时，得分记在第⑴问；得分7>的部分，记在第⑵问。

⒚⑴依题意，)1 , 0(B ，)0 , 3(-F ，所以1=b ，3=c ……2分，
222=+=c b a ……3分，所以椭圆的离心率2
3
==
a c e ……4分． ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤，当且仅当||||PB PF =时，0||||||=-PB PF ……5分，
当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时，||||||||BF PB PF =-……6分，
2||=BF ，所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[……7分。

设) , (n m P ，由||||PB PF =得013=++n m ……9分，
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0
131422n m n m ……10分，解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=13111338n m ……11分， 所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311
, 1338(-
P ……12分．
⒛⑴550%30)5001000(%)201(5002=⨯-+-⨯=a ……2分，
575%30)5501000(%)201(5503=⨯-+-⨯=a ……4分。

⑵+∈∀N n ，1>n ，%30%)201(11⨯+-⨯=--n n n b a a ……5分；
3002
1
%30)1000(%)201(111+=
⨯-+-⨯=---n n n a a a ……7分 所以)600(2
1
6001-=
--n n a a ……9分， {}600-n a 是以6001-a 为首项，2
1为公比的等比数列……10分，
1
+1
121)600(600-⨯
-=-n n a a ……11分，1
121)600(600-⨯
-+=n n a a ……12分，
随着时间推移，即n 越来越大时，12
1
-n 趋于0……13分，所以1
121)600(-⨯-n a 趋于0，n a 趋于600并稳定在600附近……14分．
21.⑴依题意0>∀x ，x b kx ln >+恒成立，所以x
b
x k ->ln ……1分，因为k 、b 是常数，所以当x 充分大时，b x >ln ，从而0ln >->x
b
x k ……2分。

（用反证法亦可）
因为2x b kx <+即02>--b kx x 恒成立，所以04)(2<+-=∆b k ……3分，
所以4
2
k b -<……4分。

因为x b kx ln >+即0ln >-+x b kx 恒成立，设x b kx x h ln )(-+=，则
x k x h 1)(/-
=……5分，由0)(/=x h 得01>=k x ，且k
x 10<<时，0)(/<x h ，)(x h 单调递减，k
x 1
>
时，0)(/>x h ，)(x h 单调递增……7分，所以)(x h 的极小值从而也是最小值为k b k
b k h ln 11
ln 1)1(++=-+=……8分，
因为0ln >-+x b kx 恒成立，所以0ln 11
ln 11(>++=-+=k b k b k h ，即
1ln -->k b ，从而4
1ln 2
k b k -<<--……9分．
⑵方法一，由⑴知41ln 2k k -<--，从而
1ln 4
2
+<k k ，其中0>k ……10分，如图，根据幂函数与对数函数单调性，k 介于 曲线1ln +=k y 与42k
y =的两个交点的横坐标
之间……11分，因为2
1-=e k 时，
1ln 2
1
42+=<k k e k =时，1ln 24
42
2+=<=k e k ……13分，所以，
“e k e
<<-2
1
”是“2ln x b kx x <+<”成立的充分不必要条件……14分．
方法二，由⑴知41ln 2k k -<--，从而
1ln 42
+<k k ，其中0>k ……10分，设4
1ln )(2k k k p -+=，k k k k k p 2221)(2/
-=-=，解0)(/=k p 得2=k ……11分，
02112ln )2(>-+=p ，20<<k 时，0)(/
>k p ，)2 , 0(21∈=-e k ，且
0)(2
1>-e p ……12分；2>k 时，0)(/<k p ，2>=e k ，且0)(>e p ……13分；
所以) , (2
1e e k -∈∀，4
1ln 2
k k -<--，从而“e k e <<-21
”是“2ln x b kx x <+<”
成立的充分不必要条件……14分．。