人教版义务教育教科书《数学》九年级下册 27章中考数学专题动点型问题

y 例1 如图抛物线
（﹣6，0），与y轴交于点C．
ax2b与Leabharlann x轴交6于(a点A（02，)0）和点B
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足AC+QC最小时，求Q点的坐标；
（3）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．
解：（1） 存在 ①当点 N 在 x 轴上方时，如图
∵ 抛物线的对称轴为直线x=-2，
C(0，6)
∴ N1（-4,6）
N1
②当点 N 在 x 轴下方时，
如图，过点 N2作N2 D⊥x 轴于点 D，可证△AN2D≌△M2CO
M
∴N2D=CO=6 ，即N2的纵坐标为-6
∴ 1 x2 2x 6 6
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自主练习 2、（2014•湖北黄冈,）已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，动点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点 D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（ ）
D
A
B
C
D
思考： △DEF的面积S与哪些量有关？
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式
No
思考：（2） 应通过怎样转化来求五边形OECQF的面积．
S五边形OECQF=S△BCD—S △DFQ—S△BOE
Image 或 S五边形OECQF=S△DOC—S △DFQ+S△COE •
点评：该题以四边形为载体，动点产生等腰三角形、图形面积问题
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课前热身
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且 AE=EF=FB=5，DE=12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒， y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（ ）
A
B
C
D
【由于分图析形】的分不三确段定考性虑需，分①类点讨P在论A。D上运动，②点P在DC上运动，③点 P在CB上运 动
（1）当t=_____________2时5 ，或△5AOP是等腰三角形
No （2）设五边形OECQF的面8积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式 Image 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，
思考②：当满A足P=什AO么=条t=5件，△△AOAPPO是为等等腰腰三三角角形形？
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课前热身
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且
AE=EF=FB=5，DE=12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB
以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，
y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（
）
A
A
B
C
D
【分析】分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点 P在CB上运 动，分别判断出在不同线段的函数的种类，继而可得出函数图象．
E
【分析】设E（m，﹣ m2﹣2m+6）1 ．连接EO． 2 根据S四边形BOCE= S△BOE+S△COE构建二次函数，
(其中m<0)
利用二次函数的性质解决问题． • 点评：该题以抛物线为载体， 动点产生最短距离问题、图形面积
计算。 涉及了轴对称知识、面积计
算。利用面积构建二次函数，运用
二次函数的性质解决问题。体现了
2
分析： N分在x轴上方和在x轴下方两种情况讨论
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变式训练
如图抛物线
y ax与2x轴交b于x点A（6(2，a0）和0点) B
（﹣6，0），与y轴交于点C．
(1)M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的
坐标；若不存在，请说明理由.
（2）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足AQ+QC最小时，求Q点的坐标；
（3）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【分析】（2）连接BC交对称轴于Q，此时QA+QC最小．求 出直线BC的解析式，即可求出点Q坐标．
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真题回顾
（3）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【分析】 （1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入解方程 组即可．
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真题回顾
y 例1 如图抛物线
（﹣6，0），与y轴交于点C．
ax2
与bxx轴交于6(点aA（2，00)）和点B
（1）求抛物线的解析式；
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2017年区模
如的图路1，程0、在x之如等间图边形，△成在A的B等C函中边数，△关点A系BOC是的中中图，心象点，大点致OP是是从(中点心▲A出，发)点，P沿从着点等A边出三发角，形沿的边着顺时针方向运动一周，则△APO的面积y与点P运动 等边三角形的边顺时针方向运动一周，则△APO 的面积 y 与点 P 运动
2
N2
解得 x1 2 2 7, x2 2 2 7
N2(2 2 7,6), N3(2 2 7,6)
M M
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N3
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变式训练
y 如图抛物线
（﹣6，0），与y轴交于点C．
ax与2x轴交b于x 点A6（(2a，0）和0)点B
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，P为对称轴上一动点，当P运动到什么位置，以C、D、P为顶点的△CDP为等腰三角
谢谢！！
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汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
形。请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
(3) G为对称轴上一动点, 当G运动到什么位置时， 以 B,C,G为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出所有符合条件的点G
的坐标.
D
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小结
动点型问题是指图形中存在一个或多个动点， 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.题型多样，就 其存在性问题就有存在直角三角形、等腰三角形、相似三角形、平行四边形、面积问题和最值问题等。解决这类 问题的关键是动中求静，找寻变化过程中始终保持不变的量，以及问题中始终保持不变的等量关系。此类问题涉 及的主要数学思想有：分类讨论思想、函数思想、方程思想、数形结合思想和转化思想.
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反思
上面问题通过点的运动构成一种函数关系，生成一种函数图像，将几何图形与函数图像有机地融合在一起， 体现了数形结合的思想.
解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看” 、“定” 、“选” (1)“看” 就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段 ，何点(时刻)是特殊点(时刻)，这是准确解答的前提和关键 (2)“定” 就确定出动点在不同路段的函数的种类，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自 变量的值 (3)“选” 就是根据函数的种类和自变量的取值范围， 选择准确的函数图像或答案，多用排除法。
的路程 x 之间形成的函数关系的图象大致是( )
A．
B．
C．
D．
选：D
10题图
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真题回顾
y 例1 如图抛物线
（﹣6，0），与y轴交于点C．
ax2
b与xx轴交6于(点aA（20，)0）和点B
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足AQ+QC最小时，求Q点的坐标；
。动点产生的等腰三角形要进行分类讨论，在讨论过程中要做到不
重不漏，解决等腰三角形问题时，注意与三角形的性质联系，特别 是“三线合一”。图形面积的计算，正确认识图形是解题的关键。
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE=PD，则可求△BOE的面积；可证 得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求 五边形OECQF的面积．
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变式训练
y 如图抛物线
（﹣6，0），与y轴交于点C．
ax与2x轴交b于x 点A6（(2a，0）和0)点B
(1)M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由
已求出抛物线的解析式为
1 y x2 2x 6
函数思想和转化思想。
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真题回顾
E F
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真题回顾 E
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真题回顾 例2 （2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿AD方向匀 速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运 动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
人教版义务教育教科书《数学》
九年级下册 27章中考数学专题动 点型问题
中考数学专题
动点型问题
专题 动点型问题 方法指导 真题回顾 自主练习
方法指导
所谓“动点型问题”是指图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这 类问题的关键是充分发挥空间想象的能力，“动”中求“静”，化“动”为“静”，灵活运用有关数学知识，如平移 、旋转、对称和运动过程中的面积变化关系等,寻找确定的关系式来解决问题.
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自主练习 1. （2016•广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P 运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（ ）
C
A
B
C
D
【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况。分别考虑分P在AB、BC、 CD、AD上时，与面积有关的量底和高两个量哪个变，哪个不变。就可确 定函数的种类 ，得出答案。
注意：动点产生的等腰三角形一般要进行分类， 在分类讨论的过程中要做到不重不漏。
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真题回顾
例2 （2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿AD方向匀 速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运 动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：