高中数学新人教A版选修4-4 圆的极坐标方程

三简单曲线的极坐标方程 1．圆的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
(1)在极坐标系中，如果曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：
①建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点． ②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式． ③将列出的关系式整理、化简． ④证明所得方程就是曲线的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程
(1)圆心在C (a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos_θ. (2)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r .
(3)圆心在点⎝⎛⎭
⎫a ，π
2处且过极点的圆的方程为ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π)．
[例1] 求圆心在(00[思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程． [解] 在圆周上任取一点P (如图)，
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知：|CP |2＝|OP |2＋|OC |2－2|OP |·|OC |cos ∠COP ，
故其极坐标方程为r 2＝ρ20＋ρ2
－2ρρ0cos(θ－θ0)．
几种特殊情形下的圆的极坐标方程
当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2
－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r ，则其方程
为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ，若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．
1．求圆心为C ⎝
⎛⎭⎫2，π
4，半径为1的圆的极坐标方程．
解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，由余弦定理，得
|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2， 即ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4＋1＝0. 当O ，C ，M 三点共线时，点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫2±1，π
4也适合上式， 所以圆的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＋1＝0. 2．求圆心在A ⎝
⎛⎭⎫2，3π
2处并且过极点的圆的极坐标方程．
解：设M (ρ，θ)为圆上除O ，B 外的任意一点，连接OM ，MB ，则有|OB |＝4，|OM |＝ρ，
∠MOB ＝θ－
3π
2
，∠BMO ＝90°，从而△BOM 为直角三角形． ∴有|OM |＝|OB |cos ∠MOB 即ρ＝4cos ⎝
⎛⎭⎫θ－3π
2＝－4sin θ.
[例2] (1)ρ＝2a cos θ(a >0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.
[解] (1)两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x 2＋y 2＝2ax ，整理得(x －a )2＋y 2＝a 2， 它是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆．
(2)两边同时乘以ρ，得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，整理得⎝⎛⎭⎫x －922＋⎝⎛⎭
⎫y －9
2
2
＝812
. 它是以⎝⎛⎭⎫92，92为圆心，以922为半径的圆． (3)将ρ＝4两边平方，得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16. 它是以原点为圆心，以4为半径的圆．
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线．
两种坐标方程间进行互化时的注意点
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标
系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值． (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
3．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
解析：将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0， 得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ. 答案：ρ＝2cos θ
4．把下列直角坐标方程化为极坐标方程． (1)y ＝3x ；(2)x 2－y 2＝1.
解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x 得ρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝π
3
.
(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－y 2＝1， 得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化简，得ρ2＝
1
cos 2θ
. 5．把下列极坐标方程化为直角坐标方程． (1)ρ＝6cos θ； (2)ρ＝2cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π4. 解：(1)因为ρ＝6cos θ，所以ρ2＝6ρcos θ， 所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＝0.
(2)因为ρ＝2cos θcos π4＋2sin θsin π
4
＝2cos θ＋2sin θ， 所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.
所以化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝sin θ＋cos θ表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆
D ．抛物线
解析：选B 极坐标方程ρ＝sin θ＋cos θ即ρ2＝ρ·(sin θ＋cos θ)，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，配方得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12，表示的曲线是以⎝⎛⎭⎫12，12为圆心，2
2为半径的圆．故选B.
2．如图，极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4的图形是( )
解析：选C 圆ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4是由圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方程旋转π
4而得，圆心的极坐标为⎝⎛⎭
⎫1，π
4，故选C. 3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π2 B.⎝⎛⎭⎫1，－π
2 C ．(1,0)
D ．(1，π)
解析：选B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝
⎛⎭⎫1，－π
2.故选B. 4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π
3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π29
C.
1＋π2
9
D. 3
解析：选D 极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫2，π
3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)，极坐标系中的圆 ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的圆为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)．所求两点间的距离为(1－1)2＋(3－0)2＝ 3.故选D.
二、填空题
5．把圆的普通方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为________．
解析：圆的方程x 2＋(y －2)2＝4化为一般方程为x 2＋y 2－4y ＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得
ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ. 答案：ρ＝4sin θ
6．曲线C 的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ， 故x 2＋y 2＝3y ，即所求方程为x 2＋y 2－3y ＝0. 答案：x 2＋y 2－3y ＝0
7．在极坐标系中，若过点A (3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ，B 两点，则|AB |＝________.
解析：由题意知，直线方程为x ＝3， 曲线方程为(x －2)2＋y 2＝4， 将x ＝3代入圆的方程， 得y ＝±3，则|AB |＝2 3. 答案：2 3 三、解答题
8．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化． (1)x 2＋y 2＋2x ＝0； (2)ρ＝cos θ－2sin θ； (3)ρ2＝cos 2θ.
解：(1)∵x 2＋y 2＋2x ＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ＝0，∴ρ＝－2cos θ.
(2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝x －2y ，即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0. (3)∵ρ2＝cos 2θ，∴ρ4＝ρ2cos 2θ＝(ρcos θ)2 ∴(x 2＋y 2)2＝x 2，即x 2＋y 2＝x 或x 2＋y 2＝－x .
9．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求弦ON 的中点M 的轨迹方程． 解：法一(代入法)：设点M (ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．
因为点N 在圆ρ＝8cos θ上，所以ρ1＝8cos θ1.
因为点M 是ON 的中点，所以ρ1＝2ρ，θ1＝θ，所以2ρ＝8cos θ，所以ρ＝4cos θ.
所以点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ⎝⎛⎭
⎫点⎝⎛⎭⎫0，π2除外.
法二(定义法)：如图，圆C 的圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连接CM . 因为M 为弦ON 的中点，所以CM ⊥ON .
故M 在以OC 为直径的圆上，所以动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ⎝⎛⎭
⎫点⎝⎛⎭⎫0，π2除外. 10．若圆C 的方程是ρ＝2a sin θ，求： (1)关于极轴对称的圆的极坐标方程； (2)关于直线θ＝
3π
4
对称的圆的极坐标方程． 解：法一：设所求圆上任意一点M 的极坐标为(ρ，θ)． (1)点M (ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)， 代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin(－θ)， 即ρ＝－2a sin θ为所求． (2)点M (ρ，θ)关于直线θ＝3π
4
对称的点为⎝⎛⎭⎫ρ，3π2－θ，代入圆C 的方程ρ＝2a sin θ，得ρ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ，
即ρ＝－2a cos θ为所求．
法二：由圆的极坐标方程ρ＝2a sin θ得ρ2＝2ρa sin θ， 利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ＝x 2＋y 2， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ，
即x 2＋(y －a )2＝a 2，故圆心为C (0，a )，半径为|a |. (1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a )， 圆的方程为x 2＋(y ＋a )2＝a 2，
即x 2＋y 2＝－2ay ，所以ρ2＝－2ρa sin θ， 故ρ＝－2a sin θ为所求． (2)由θ＝3π
4得tan θ＝－1，
故直线θ＝
3π
4
的直角坐标方程为y ＝－x . 圆x 2＋(y －a )2＝a 2关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为(－y )2＋(－x －a )2＝a 2，即(x ＋a )2
＋y2＝a2，于是x2＋y2＝－2ax，所以ρ2＝－2ρa cos θ.
故此圆的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.。