数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计

北师大版数学九年级下册第二章第2节
《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计
陕西师范大学附属中学马翠
一、教材分析
二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。

本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。

该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。

二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。

对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。

从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。

因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。

二、学情分析
学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。

学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。

学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。

该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。

三、设计思路
本节课的设计思路是教师发挥引导学生在“画”二次函数图象的过程中的作用，在对函数性质的探究中，引导学生遵循特殊到一般的探究方式，即在同一坐标系中画出多个函数图
象，归纳一类函数的性质，通过自己的“数学实验”，通过归纳与概括，提炼二次函数的图象性质。

描点法画二次函数图象重点在于引导学生对函数图象进行分析推理，建立图象推理与解析式的解读之间的密切联系，归纳二次函数的性质。

使用HP Prime图形计算器的函数功能可以快速准确地画出多个函数图象，且利用变换功能，能够直观平移函数图象，为学生的实验探究提供了有力的支持。

图形计算器的使用节省了绘图时间，使学生有机会放慢节奏进行思考与交流。

这正是实验课程标准中，关于“把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，……使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索的数形活动中去”的过程。

在此基础上，结合教师几何画板的动态演示，进一步充分感知图象性质。

因此，将描点法作图、HP Prime图形计算器实验与几何画板演示多元结合，可以充分体现教师主导作用与学生主体地位，有效提高教学效果。

四、教学目标
1、经历探索二次函数y=ax2与y=ax2+c图象的画法和性质的过程，获得利用图象研究函数图象的经验，体会特殊与一般、分类讨论的数学思想。

2、能用描点法画出二次函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3、将描点法作图、图形计算器数学实验、几何画板演示相结合，建立二次函数表达式与图象之间的联系，理解表达式中a、c対图象的影响，体会数形结合思想。

五、教学重点、难点
教学重点：经历探索二次函数y=ax2与y=ax2+c图象的画法和性质的过程
教学难点：理解表达式中a、c対图象的影响
六、教学过程
（一）创设情境，温故知新
（二）活动交流，探究性质
对称轴、顶点坐标都相同；不同之处是它的图象在y=x2的图象的内侧.
2.改变a值，探究y=ax2的图象特点
利用图形计算器，在同一直角坐标系中画出不同a值的y=ax2的图象，观察图象，比较异同，思考原因，总结共性.
汇报流程：1、a（由大到小）取了哪些值？）2、这些图象有哪些相同点和不同点？3、请对不同点给出合理解释.
对于不同点引导学生从图形计算器的Num数值、Plot图象、Symb 解析式三方面观察思考原因，建立列表、图象、解析式之间的关系。

3.几何画板动态演示a对图象的影响。

4.归纳y=ax2的图象特点小组活动，利用HP
Prime图形计算器探究a
对函数图象的影响
至少三位学生发言
（有学生只对a＞0探
究，有学生只对a＜0探
究，也有学生a取正负
均有，选择典型发言）
学生观看
师生共同归纳
通过学生自己动手的
数学实验，充分利用图形计
算器的Num数值、Plot图
象、Symb解析式三个功能，
建立数形之间的联系，有助
于全员参与，深度思考。

探究过程中，注意提醒
学生分类讨论，归纳共性，
锻炼学生有条理的归纳与
说理。

教师通过几何画板动
态演示，将静态多个图象进
行动态统一，使学生在自己
动手实验的基础上，更一般
化的感受a对图象的影响。

总结共性，提炼性质，
水到渠成。

教师主导组织学生主体活动设计说明活动2：探究函数y=ax2+c的图
象
问题4：下面该研究什么类型的函数图象？
1.画函数y=2x2+1的图象，你是怎样画的？
利用esinote软件和希沃授课助手将学生所画图形拍照到一体机上进行观察。

2. 改变y=2x2+c中的c值，猜测图象如何变化，利用图形计算器验证自己的想法，比较异同，思考原因，总结共性.
利用HP Prime图形计算器的变换功能进一步感受两函数之间的平移。

3.几何画板动态演示a对图象的影响。

4.思考y=ax2+c与y=ax2的图象有什么关系？
归纳y=ax2+c的图象特点
思考、回答
动手作图、展示
（可列表作图，也
可直接平移关键点）
小组活动，利用HP
Prime图形计算器探究c
对函数图象的影响
学生观看
师生共同归纳
感受由简单特殊到复
杂一般探究问题的思路。

学生已经会用描点法
画二次函数图象，在此过程
中，启发学生挖掘表达式、
表格和图象中的隐含信息。

同时鼓励学生用多种方式
画出图象，为下面讨论做好
铺垫。

通过学生自己动手的
数学实验，充分利用图形计
算器的Num数值、Plot图
象、Symb解析式三个功能，
建立数形之间的联系，有助
于全员参与，深度思考。

探究过程中，注意提醒
学生分类讨论，归纳共性，
锻炼学生有条理的归纳与
说理。

教师通过几何画板动
态演示，将静态多个图象进
行动态统一，使学生在自己
动手实验的基础上，更一般
化的感受c对图象的影响。

总结共性，提炼性质，
水到渠成。

（三）学以致用，巩固新知
设计说明：
第1题通过三组题目巩固a对图象的影响，第一组a为正数，第二组a为负数，第三组为y=ax2+c类型，感受a、c的不同影响。

第2题通过四组题目，难度拾阶而上，主要感受y=±ax2图象间关系、巩固c对图象的影响。

第一组直观判别y=±ax2图象间关系，第二组与第三组分别向下、上平移，第三组将平移与x轴对称相结合，充分感受a、c対图象的综合影响。

第3、4题，感受由形定数，将二次函数与一次函数、反比例函数相结合，进一步巩固本节课所学。

鼓励多种方法。

本题利用HP Prime图形计算器的投票功能，直观看到学生作答统计，进一步提高课堂效率。

（四）小结提升，感悟新知
本节课我们探究了哪些类型的二次函数的图象？是如何探究的？你有什么收获？
（五）延伸研究，运用新知
设计说明：前两题进一步巩固新知，第3题鼓励学生用图形计算器对左右平移进行初步探究为下节课作铺垫。

七、板书设计
八、教学反思
本节课是一节数形结合、探索理解性的典型数学新授课。

1、知识主线与思想方法主线并行于课堂。

本节课的知识主线是：二次函数定义——探究图象性质——运用图象性质，整堂课采用“引导猜测、观察、动手操作实践、总结归纳”的教学流程，沿着“借助信息技术，突出数学直观，强调数形结合，发展思维能力”的思路展开。

本节课的思想方法线是：猜想特殊函数——类比一般函数——观察与归纳——抽象概括，整节课的教学过程围绕着核心概念和思想方法展开，知识“形成与发展过程”与思想方法两线交织融合，让学生在潜移默化中掌握本节课的核心概念和数学思想方法。

2、信息技术为数学课堂注入新生命。

利用Esinoete一体机、希沃授课助手、HP Prime图形计算器、HP Connectivity Kit、几何画板等信息技术，可以提供良好的数学实验环境，有助于培养学生了解数学知识形成与发展的过程，经历数学研究过程。

它的优势主要体现在快捷的计算功能、丰富的图象呈现，大数据的处理能力，为抽象的数学思维提供直观的思维背景，使静态的数学结构表现为动态的、
过程，使数学内容直观化、具体化，提供交互式的学习和研究环境。

从课堂上看，充分利用现代信息技术也能够增强数学学习的兴趣，提高教学效率和质量。

3、尊重学生，耐心等待，关注学生的主体地位
本节课的教学设计与教学目标协调一致，充分做到以学生的发展为本，符合学生的思维规律，课堂的进程是在学生思维的延续中顺利进行，整堂课在知识形成过程中既有学生的观察与思考，又有学生的操作与表述，既有小组的合作交流，又有学生的自主探究，还有教师恰当的点拨，相辅相成。