平面汇交力系

B
A
C
P
a
a
匀速起吊重P的预制梁如图所示，如果要求绳索AB、BC的拉力不超过0.6P，问a 角应在什么范围内？
思考题：
而如将力F沿正交的x、y坐标轴方向分解（图b），则所得分力Fx 、F y 的大小与力F在相应轴上的投影Fx、Fy的绝对值相等。但是当Ox、Oy两轴不正交时，则没有这个关系。
图b
力在坐标轴上的投影
y
x
O
B
A
a
b
F
F
x
F
y
Fx
Fy
b1
a1
式中cosa 和cosb 称为力F 的方向余弦。
∑Fx=0 ， ∑Fy=0
x
O
y
FRx
FR y
FR
F1
F2
Fn
A
B
C
60
45
。
。
（a）
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB、BC杆的内力。
例 题 2- 3
y
x
B
mg
FCB
30
。
FAB
45
。
(b)
注意:
力的投影是代数量，而力的分量是矢量；投影无ห้องสมุดไป่ตู้谓作用点，而分力作用在原力的作用点。
2. 合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
O
x
y
F1
F2
FR
a
b
c
A
B
C
3. 合成
x
O
y
FRx
FR y
FR
F1
F2
Fn
4. 平衡
x
O
y
FRx
FR y
FR
F1
F2
Fn
而 （∑Fx） +（∑Fy） = 0
FR=F1+F2+F3 FR=F1+F2+…+Fn
一、平面汇交力系合成与平衡几何法
F2
F3
F4
F1
F1
F2
F3
F4
2. 平衡
平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零，即
(1) FR=0 ;
(2) 在几何法中，合力为零即为力多边形自行封闭。
F1
F2
FR
F3
3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的作用线相交于一点，则三个力的作用线必汇交于同一点，而且共面。
O
P
FT
FN
x
y
注意：
如图所示，重物P=20 kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
A
B
D
C
P
例 题 2- 4
列平衡方程
解方程得杆AB和BC所受的力:
联立上述两方程，解得：
y
x
B
mg
FCB
30
。
FAB
45
。
(b)
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与原假定的方向相反。
A
B
C
60
45
。
。
（a）
y
x
B
mg
FCB
30
。
FAB
45
。
(b)
30
。
O
P
画简支梁的受力图
F
A
B
2m
3m
C
F
C
B
FRA
FRB
A
例 题 2- 1
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束力。梁的自重不计。
A
60º
F
B
30º
a
a
C
图 a
E
F
FB
FA
60º
(a)
O
P
FT
FN
x
y
∑Fx=0, FT-P ·sin30 =0
。
(c)
可求得FT
为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个未知力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中
(b) 这样建立坐标 系FT 和FN相互耦合
解：取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的大小，画受力图。
x
y
B
FAB
F2
F1
FBC
A
B
D
C
P
显然，F1=F2=P
求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：
（1）弄清题意，明确已知量和待求量； （2）恰当选取研究对象，明确所研究的物体； （3）正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力，二 力构件，三力汇交平衡）； （4）合理选取坐标系，列平衡方程求解； （5）对结果进行必要的分析和讨论。
第三章 力系简化的基础知识
F2
F1
Fn
o
平面汇交力系的定义：
各力的作用线在同一平面且相交于一点的力系。如图所示。
本章研究的两个问题：
平面汇交力系的合成(简化)和平面汇交力系的平衡。
几何法和解析法。
研究方法：
§2-1 平面汇交力系合成与平衡条件
F1
F2
F3
FR
F1
F2
F3
o
1. 力系的合成
2
2
则 ∑Fx=0 ， ∑Fy=0
由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零，即 FR= 0
x
O
y
FRx
FR y
FR
F1
F2
Fn
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影之代数和均等于零。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
∑Fx= 0, -FCB cos30 + FABcos45 =0
。
。
∑Fy= 0, -mg+FCB sin30 +FABsin45 =0
。
。
FAB=880 N， FCB=71.8 N。
解：取铰B为研究对象，其上作用有三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力）及AB杆的约束力FAB（设为压力），坐标轴如图b所示，列出平衡方程
y
x
O
A
B
a
b
y
x
O
B
A
a
b
F
F
x
F
y
Fx
Fy
b1
a1
图
a
平行光线照射
下物体的影子
图b
力在坐标轴上的投影
由图b知，若已知力F 的大小F 和其与x轴、y轴的夹角为a、b， 则
图b
力在坐标轴上的投影
y
x
O
B
A
a
b
F
F
x
F
y
Fx
Fy
b1
a1
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。当a、b为锐角时，Fx、Fy均为正值；当a、b为钝角时，Fx、Fy为负值。故力在坐标轴上的投影是个代数量。
30º
H
K
解：1. 取梁AB作为研究对象。
FA = F cos30=17.3 kN FB = F sin30=10 kN
2. 画出受力图。
3. 作出相应的力三角形。
FB
FA
D
C
60º
30º
F
B
A
4. 由力多边形解出：
二、 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影