(word完整版)2017年高考理科数学新课标全国3卷逐题解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）
理科数学
（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合{}
22
(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 【答案】B
【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，
故A B I 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B I 元素的个数为2，故选B.
2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．12
B 2
C 2
D ．2
【答案】C
【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2
z -+=
===+++-，则22112z =+ C.
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
2014年 2015年 2016年
根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.
4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）
A ．-80
B ．-40
C ．40
D ．80 【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为
()()()()2
3
3
2
233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.
5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5
y ，且与椭圆
22
1123
x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22
143
x y -=
【答案】B
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =，则5
b a =
又∵椭圆22
1123
x y +
=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22
145
x y -
=，故选B.
6．设函数π
()cos()3
f x x =+，则下列结论错误的是（）
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图像关于直线8π
3
x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6
x =
D ．()f x 在π
(,π)2
单调递减
【答案】D
【解析】函数()πcos 3f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，
如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上先递减后递增，D 选项错误，故选D.
π23π53
-π36πg x y O 7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
S M
初始状态
0 100 1 第1次循环结束
100 10- 2 第2次循环结束
90 1 3 此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A ．π
B ．3π4
C ．π２
D ．π
4
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2
2
1312r ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，
则圆柱体体积2
3ππ4
V r h ==，故选B.
9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）
A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8 【答案】A
【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为. 则2
3
26a a a =⋅，即()()()2
11125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-
∴()616565
61622422
S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.
10．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径
的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（） A
B
C
D ．13
【答案】A
【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离等于半径，
∴d a
== 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =
∵222
b a
c =-，可得()
2223a a c =-，即2223
c a =
∴c e a == A
11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）
A ．1-２
B ．13
C ．12
D ．1
【答案】C
【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：
221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )
4442(e e )
2(e e )
x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++
∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =，
即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，
解得1
2
a =．
12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+的最大值为（） A ．3 B
． C
D ．2
【答案】A
【解析】由题意，画出右图．
设BD 与C e 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为轴正半轴， AB 为轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．
∴BD = ∵BD 切C e 于点E ． ∴CE ⊥BD ．
∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．
1
2||||
22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C e
． ∵P 在C e 上．
∴P 点的轨迹方程为
224
(2)(1)5x y -+-=
． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足
的参数方程如下：
0021x y θθ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y =u u u r ，(0,1)AB =u u u r ，(2,0)AD =u u u r
． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=u u u r u u u r u u u r
∴0112x μθ=
=+
，01y λθ==． 两式相加得：
112)2sin()3λμθθ
θϕθϕ+=+=+=++≤
(其中sin ϕ=，cos ϕ=
) 当且仅当π
2π2
k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．
()A O D
x
y B
P g
C
E
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪
+-⎨⎪⎩
x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．
【答案】1-
【解析】由题，画出可行域如图：
目标函数为34z x y =-，则直线344
z
y x =
-纵截距越大，值越小． 由图可知：在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．
14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________． 【答案】8-
【解析】{}n a Q 为等比数列，设公比为．
121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即112
1113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，
②
①
得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3
341128a a q ∴==⨯-=-．
15．设函数1,0,()2,0,
+⎧=⎨>⎩x
x x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【解析】()1,02 ,0
+⎧=⎨>⎩Q x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛
⎫->- ⎪⎝⎭
由图象变换可画出12y f x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：
1
)
2
-)
由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
.
16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与
，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与成60︒角时，AB 与成30︒角； ②当直线AB 与成60︒角时，AB 与成60︒角； ③直线AB 与所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与所成角的最大值为60︒．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③
【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，
斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．
以C 为坐标原点，以CD u u u r 为轴正方向，CB u u u r
为轴正方向， CA u u u r
为轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，
直线的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r
． B 点起始坐标为(0,1,0)，
直线的方向单位向量(1,0,0)b =r
，||1b =r ． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．
那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r ，||2AB '=u u u r
． 设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2
α∈，
则
(cos ,sin ,1)(0,1,0)22
cos |sin |[0,]a AB θθαθ--⋅==∈'
r u u u r
． 故ππ
[,]42α∈，所以③正确，④错误．
设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2
β∈，
cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2
|cos |AB b
b AB b AB βθθθ'⋅='
-⋅='=
u u u r r r u u u r
r u u u r .
当AB 'u u u r 与夹角为60︒时，即π3α=，
12
sin 2cos 2cos 2322
πθα====
． ∵22cos sin 1θθ+=，
∴|cos |θ．
∴1
cos |cos |2βθ=．
∵π
[0,]2
β∈．
∴π
=3
β，此时AB 'u u u r 与夹角为60︒．
∴②正确，①错误．
三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考
题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）
ABC ∆
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．
【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
即()π
π3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，
∴ππ3A +=，得2π
3
A =
.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵1
2,cos 2
a b A ===-代入并整理得
()2
125c +=，故4c =.
（2）∵2,4AC BC AB ===，
由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，
则cos AC CD C =⋅，得CD =
由勾股定理AD =又2π3A =
，则2πππ
326DAB ∠=
-=， 1π
sin 26
ABD
S AD AB =⋅⋅△
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶
6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；
如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量可取200,300,500
()2161
2003035P X +===⨯
()362
3003035P X ===⨯
()25742
5003035
P X ++===⨯.
⑵①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.
②当200300n <≤时：()()41
22002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555
n n n -+=+= 此时max 520Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，
()()()()12220022002300230022555
Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025
n -=
此时520Y <.
④当500n ≥时，易知一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时，取到最大值为520.
19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．
ABD CBD ??，AB BD =．
（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；
（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．
【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ∆Q 为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =
AB BC BD BD
ABD DBC
=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点
D
A B C E
D A B C E
O
∴DO AC ⊥
令AB a =，则AB AC BC BD a ====
易得：2OD =
，OB = ∴222
OD OB BD +=
由勾股定理的逆定理可得2
DOB π
∠=
即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC
⊥⎧⎪⊥⎪⎪
=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩I 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面
由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点
以O 为原点，OA u u u r 为轴正方向，OB u u u r
为轴正方向，OD u u u r
为轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r
，
则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r
，解得1n =u u r 22
00AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r
，解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为，易知为锐角，
则1212
cos n n n n θ⋅==⋅u u r u u r u
u r u u r
20．（12分）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线交C 于A ，B 两点，圆M 是以线
段AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线与圆M 的方程．
【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
联立：222
y x
x my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，
2416m ∆=+恒大于，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+uu r uu u r
12(2)(2)my my =++
21212(1)2()4m y y m y y =++++
24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥u u r u u u r
，即O 在圆M 上．
⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r
1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=
21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=
化简得2210m m --=解得1
2
m =-或
①当1
2m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，
120122y y y +==-，0019224
x y =-+=，
半径||r OQ =则圆229185
:()()4216
M x y -++=
②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，
12
012
y y y +==，0023x y =+=，
半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=
21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．
（1）若()0f x ≥，求的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数，2111
(1)(1)(1)22
2n
m +
+鬃?<，求m 的最小值． 【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >
则()1a x a
f x x x
-'=-=，且(1)0f =
当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，
不满足题意； 当0a >时，
当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．
①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意
综上所述1a =．
⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤
则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立
∴11
ln(1)22
k k
+
<，*k ∈N 一方面：221111111
ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)
n n n ++++++<+++=-<，
即2111
(1)(1)...(1)e 222
n +++<．
另一方面：223111111135
(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>
当3n ≥时，2111
(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈
∵*m ∈N ，2111
(1)(1)...(1)222
n m +++<，
∴m 的最小值为．
22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为,
,x t y kt =2+⎧⎨=⎩
（t 为参数），直线l 2的参数方程为
,,x m m
y k =-2+⎧⎪
⎨=⎪⎩
（m 为参数），设与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+0，M 为与C 的交点，求M 的极径． 【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
()1:2l y k x =- ……①
()21
:2l y x k
=+ ……②
①②消可得：224x y -=
即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程
3:0l x y +-= ……③ 联立曲线C
和2
2
4x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩
解得x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩
解得ρ=即M
．
23．选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；
（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．
【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪
=--<<⎨⎪⎩
x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：
①当1-x ≤时显然不满足题意；
②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；
③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.
⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2
-+f x x x m ≥，
令()()2
g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.
而()22
23,1
31,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩
x x x g x x x x x x x ≤≥.
①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；
②当12x -<<时，()2
max
3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫
==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2
max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上，()max 54g x =
⎡⎤⎣⎦，故5
4
m ≤.。