傅立叶变换

信号：我们人类得到的从自己感知中得到消息，并通过大脑分析得出我们要的信息。

而其中消息的传递就需要信号，信号可以是图像、声音还有其他感觉，但是所有信号都是以波的形式在介质中传播。

而机械中的消息则是通过电信号的形式而传播。

最基本的波：正弦波，因为只有一个周期；而理论证明所有的波，都可以用正弦波叠加而成。

我们把这种周期性的波的周期倒数称为频率，这样我们就可以不用在时间上分析波的形态而可以在频率上做研究来分析波的性质。

而不同的信号形式把分解成正弦波的方法不同。

模拟频率f ：每秒经历多少个周期，单位Hz ，即1/s ；周期：经过2*pi 需多长时间，单位s 。

模拟角频率Ω：每秒经历多少弧度，单位rad/s ； 数字频率w ：每个采样点间隔之间的弧度，单位rad ；周期：经过2*pi 需多少个点，单位1。

关系：Ω=2pi*f ；w = Ω*T = 2π/N 。

（T 为采样间隔时间,N 为一个周期的采样点） 各种函数的关系
FS （离散非周期函数）通过Ω = 2πf 将时域信号联系到频域中，它是研究连续周期信号
在n Ω角频率处的分量的大小（频谱） FT （连续非周期函数）通过Ω = 2πf 将时域信号联系到频域中，它是研究连续非周期
信号在各个角频率处的分量的大小（频谱）的密度函数
（因为离散信号是连续信号的取样而成，这导致频谱周期性搬移，所以离散信号的频谱是周 期函数，如果信号时周期信号，因为这相当于我们把一个周期内信号进行搬移，也就是我 们在频域中进行采样，所以频谱是离散的）
DFS （离散周期函数） 通过w = Ω*T （T 为采样间隔时间），它是研究离散周期信号，
在nw 数字角频率处的分量的大小（频谱）(周期：s ω=2π/T)
DTFT （连续周期函数）通过w = Ω*T （T 为采样间隔时间），它是研究离散非周期信号，
在各个数字角频率处的分量的大小（频谱）的密度函数(周期：
s ω=2π/T)
（为了方便计算机运算，引入运算DFT ）
DFT （离散函数） 通过在DFS 中取主值区间，我们会在下面详细介绍DFT 及FFT 因为这
是我们实际处理的工具
周期信号的傅里叶级数（FS ） 三角形式： 设 是一个周期为 的波,在一定条件下可以把它写成
()f t T ()()01
cos 2n n n A f t A n t φ∞==+Ω+∑
01
cos sin 2
n n n A a n t b n t
∞==
+Ω+Ω∑
其中 是 阶谐波, 角频率 （Ω为
离散时的角频率形式） 我们称上式右端的级数是由 所确定的傅里叶级数 指数形式：
系数Fn 称复傅里叶系数
（以证明只要周期信号满足狄里赫利(Dirichlet)条件，就可以分解成傅里叶级数）
从上面两个公式，我们可以得出其中的信号的频谱和周期信号的功率
（Parseval 等式 ， 其中我们也可以得出频
率的幅度大小决定信号的功率，这就给我们提供研究信号功率的方法，n F 称为频谱图） 非周期信号的傅里叶变换（FT ）
为了研究非周期信号的频谱特性，我们引入了傅里叶变换
()()d j t F j f t e t +∞
-Ω-∞
Ω=
⎰
()1()d 2π
j t
f t F j e +∞Ω-∞ΩΩ=
⎰
()F j Ω是频谱密度函数 （Ω为连续时的角频率形式） （从上面公式可以得出，信号的能量谱2
()()F j ξΩ=Ω）
（上面都是讲的是连续的信号，信号离散也是我们用计算机处理的唯一方法，必须对信号进行采样变成离散的，只要满足采样定理2s m f f >，就能从离散的信号恢复出原来的信号，我们对离散信号的分析和处理也会对原来的连续信号有作用。

） 周期序列傅里叶级数（DFS ）
周期序列记为f N (k )，N 为周期，数字角频率为2N
πω=
1
j 0
()()e N n k N N k F n f k ω--==∑
1
j 0
1()()e N n k
N N n f k F n N ω-==∑
习惯上，记()
2/j N N W e π-=
性质：
()cos cos sin n n n n A n t a n t b n t φΩ+=Ω+Ωn ()f t 2T
π
Ω=⎰-Ω=22
d )cos()(2T
T
n t t n t f T a ⎰
-Ω=22d )sin()(2T T n t t n t f T b e )(j t n n n F t f Ω∞
-∞=∑=
d e )(12
2
j ⎰-Ω-=T T t n n t t f T F ∑
∑⎰
∞
-∞
=∞==+=n n n n T F A A dt t f T 2122002||21)2()(1
共轭对称性
{}()*
e 1DFS Re ()[()()]2
N N N f k F k F k F N k ==+-⎡⎤⎣⎦ (){}()*
o 1DFS Im [()()]2
N N N j f n F k F k F N k ⎡⎤==--⎣⎦ 周期卷积
若()()()N N N F k X k Y k = 则[]1
()()()()N N N N
N m f n IDFS F k x
m y n m -===
-∑
（与周期连续信号的傅里叶级数比较，可得此时的频谱函数()N F n 是个周期函数，周期为N ） 非周期序列的离散傅里叶变换(DTFT)
2j j j (e )lim
()e
()e n
k k N
N N k N k F f k f k πθ
θ∞
--→∞
=<>
=-∞
==
∑
∑
j j 1
()(e )e d 2k f k F πθθπ
θπ
-=
⎰
（这里由于j (e )F θ是周期为2 π的连续函数，无法用计算机实现运算，所以就有有限长序
列的离散傅里叶变换，使用周期化的方法，利用周期序列的傅里叶级数的概念，得到离散的的频谱）
（我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上）
离散傅里叶变换（DFT ） 离散傅里叶变换（DFT ），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT ）频域的采样。

在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。

即使对有限长的离散信号作DFT ，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。

1
()[()](), k=0, 1, , N-1 N kn N
n X k DFT x n x n W -===∑ 2j
N
N W e
π-=
10
1x()[()](), k=0, 1, , N-1
N kn
N n n IDFT X k X k W N --===∑
（N 是我们做周期延拓用的周期，也是对信号的采样点数而x(n)中不一定还有N 个点，X(k)有限长序列隐含着周期性。

） 1、 矩阵表达形式：
(0)(0)(1)(1),(1)(1)x X x X x N X N ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
x X =N X W x 111242(1)
(1)2(1)
(1)(1)11
1
1
111
N N
N
N N N N N
N N N N N
N N W W W W W W W W W -----⨯-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
N W
2、 性质：
（有限长序列x (n )的循环移位定义为：f (n )=x ((n +m ))N R N (n) ：f (n )实际上可看作序列 x (n )排列 在一个N 等分圆周上，并顺时针旋转 m 位） a) 共轭对称性
DFT[x *(n )]*(())()N N X N k R k =-
*1
()[()][()()]2e r X k DFT x n DFT x n x n ==
+ *1[()()]2
X k X N k =+-（*()()e e X k X N k =-具有共轭对称性，称 为X(k)的共轭偶对称分量。

）
*01
()[()][()()]2i X k DFT jx n DFT x n x n ==
- *1
[()()]2
X k X N K =--（X 0(k)= - X *0(N-k) 具有共轭反对称特性，
称其为X(k)的共轭奇对称分量。

）
（对于纯实数序列 x （n ），即x （n ）=x r （n ），X （k ）只有共轭偶对称部分，即X （k ）=X e （k ），表明实数序列的DFT 满足共轭对称性，利用这一特性，只要知道一半数目的 X （k ）， 就可得到另一半的 X （k ），这一特点在DFT 运算中可以加以利用，以提高运算效率。

FFT 的方法） b) 循环卷积
若 F （k ）=X （k ）Y （k ） 则1
()[()]()(())
()N N
N m f n IDFT F k x m y n m R n -===
-∑
（实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x (n )通过系统 h (n ) ，其输出就是线性卷积 y (n ) = x (n ) * h (n )。

而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT ）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。

） c) 线性卷积
x (n )、 y (n )周期延拓后的周期卷积，是x (n ) 、 y (n )线性卷积的周期延拓，周期为L 。

d) 选频性（滤波作用）
当输入频率为qω0时，变换X （K ）的N 个值中只有 X （q ）=N ，其余皆为零，如果输入信号为若干个不同频率的信号的组合，经离散傅里叶变换后，不同的k 上，X （k ）将有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。

（实际上DFT 也可看作是对序列DTFT 的采样，采样间隔为： ωN =2π/N 。

）
（DFT 是先对信号采样做DTFT （即对信号的频谱按照周期为2π/T 做周期延拓），再对在数字角频率区间 [0，2π] 上对信号频谱进行N 点等间隔采样；我们通常规定DFT 的频率分辨率为 /s f N ，这里的N 是指信号x (n )的有效长度，而不是补零的长度。

） 3、 利用DFT 计算连续信号的频谱
4、 参数选择
a) 采样频率max 2s f f ≥⨯
b) 根据频率分辩率f ∆，确定所需DFT 的长度 /s N f f =∆ c) 确定相应模拟信号的时间长度τ/s N f NT == 快速离散傅里叶变换（FFT ） 1、 FFT 算法的基本思想
a) 2j
nk nk N
N
w
e
π-=是一个周期函数，它的周期性和对称性
即、()()n N k k N n nk
N N N
w w w ---== (/2)k N k
N N
w w +=- b) 把长度为N 点的大点数的DFT 运算依次分解为若干个小点数的DFT 。

2、 FFT 方法
a) 时间抽取法
()()(),
0,1,,
12k
N N X k G k W H k k =+=-
()()(),0,1,12
2
k
N N N
X k G k W H k k +
=-=-
其中
()/210
2
(2)N rk N r G k x r W
-==∑
()/21
2
(21)N rk N r H k x r W
-==
+∑
N=23=8 的例子
b) 频率抽取法
/21
/2
(2)()N nr N n X r a n W
-==
∑
/21
2
/2
(21)()N nr N n X r b n W
-=+=
∑
其中
a (n)=x (n)+x (n+N/2)
b (n)=[x (n)-x (n+N/2)]w n N N=23=8 的例子
3、 FFT 应用
a) 线性卷积
算法
a.计算X(k)=FFT[x(n)]
b. 求H(k)=FFT[h(n)]
c. 求Y(k)=H(k)X(k) k=0～L-1
d. 求y(n)=IFFT[Y(k)] n=0～L-1
图像中的傅里叶变换
1、概念
图像函数
一个空间的二维函数,图像值在空间上的差异或变化构成复杂的波形,根据信号处理理论,可以分解为具有不同振幅、空间频率和相位的简振函数的线性叠加。

空间频率
又称波数(wavenumber)。

其定义是图像函数在单位长度上重复变化的次数。

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f 的谱。

从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。

从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。

换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。

由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。

为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。

傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。

一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。

这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。

对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。

将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰
数字图像的二维DFT变换后所得结果的频率成分的分别示意图如下所示：
MATLAB 程序
1、fft fft2 fftshift
2、dft
function X=dft(xn,N)
xn((1+length(xn)):N)=0;
X=zeros(1,N);
for k=0:N-1;
for n=0:N-1;
X(k+1)=X(k+1)+xn(n+1)*exp(-j*2*pi*n*k/N);
end
end
遗留问题。