2025版高考数学全程一轮复习第七章立体几何与空间向量第二节空间点直线平面之间的位置关系课件

角度二 异面直线所成的角
例3 [2024·河北邯郸模拟]如图，在圆柱O′O中，AB，A′B′分别为圆O， 圆O′的直径，C为A෢B上靠近A的三等分点，C′为A෣ ′B′上靠近A′的三等分
点，且AO＝AA′＝OO′＝2，则异面直线AC′与OC夹角的正切值为( )
A．
2 4
C．
7 7
B．2 2 D． 7
2．(教材改编)下列命题中正确的是( ) A．过三点确定一个平面 B．四边形是平面图形 C．三条直线两两相交则确定一个平面 D．两个相交平面把空间分成四个区域
答案：D
解析：对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误； 对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误； 对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误； 对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确．
相交
__a_∩_α_＝_A__
直线与平面
平行
___a_∥_α___
在平面内
___a_⊂_α___
公共点 __1__个
__0__个 _无__数_个
平面与平面
平行 相交
___α_∥_β___ __0__个 __α_∩_β_＝__l _ _无__数_个
5.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 _相__等_或__互__补__．
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
答案：D
解析：已知直线c与d是异面直线，直线a与直线b分别与两 条直线c与直线d相交于点A，B，C，D，根据题意可得当点D 与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条 直线异面，所以直线a，b的位置关系是异面或相交．故选D.
第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.平面的基本事实 基本事实1：过_不__在_一__条__直__线_上___的三个点，有且只有一个平面． 当三个点共线时，过这三点的平面有无数个 基本事实2：如果一条直线上的__两_个__点___在一个平面内，那么这条直 线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只 有___一_条____过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线__平__行____．
2．基本事实的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条__相__交___直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条__平__行___直线，有且只有一个平面． 3．空间中直线与直线的位置关系
相交
平行
任何
4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言
3．在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、 H四点，若EF∩GH＝P，则点P( )
A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上
答案：B
解析：如图，∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH ＝ P ， ∴P∈ 平 面 ABC ， P∈ 平 面 ACD ， 又 平 面 ABC∩ 平 面 ACD＝AC，∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．故选B.
夯实基础 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线．( × ) (2)两两平行的三条直线可以确定三个平面．( × ) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条 直线．( × ) (4)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( × )
题后师说
空间两直线位置关系的判定方法
巩固训练2 (多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，则下列说法正确的是( ) A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C．EF与AB是异面直线 D．EF与CD 是异面直线
答案：AB
解析：展开图还原为几何体后，如图，AB 与CD是异面直线，GH与CD相交，EF与AB 是相交直线，EF与CD 是平行直线，所以A、 B正确，C、D错误．故选AB.
题型三 空间几何体的截面问题
例4 [2024·河南新乡模拟]如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1
中 ， E 是 棱 CC1 的 中 点 ， 过 A ， D1 ， E 三 点 的 截 面 把 正 方 体 ABCD-
A1B1C1D1分成两部分，则该截面的周长为( )
A．3 2＋2 5
B．2 2 + 5＋3
答案：D
解析：分别取D1C1，D1D，AD的中点H，M，N，连接 GH，HM，MN，∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分 别 是 AB ， BB1 ， B1C1 的 中 点 ， ∴HG∥EN ， HM∥EF ， FG∥MN，∴六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面 图，∴过这三点的截面图的形状是六边形．故选D.
【问题2】 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定．它们可能异面，可能相交，也可能平行．
关键能力·题型剖析 题型一 基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中 点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点．
C．b⊂α
D．b∥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ或b与α相交
答案：D
解析：因为a，b是两条相交直线，所以a，b确定一个平面β，若β∥α，则b∥α， 若β与α相交，则b与α相交．故选D.
5
．
(
易
错
)
如
果
OA∥O1A1
，
OB∥O1B1
，
∠
AOB
＝
π 3
，
则
∠A1O1B1
＝
________．
答案：π或2π
33
解∴当析直：线∵OOAA∥，OO1AA11，，OOBB，∥OOB11B中1，方向都相同或都相反时，∠A1O1B1＝π3， 当直线OA，OA1，OB，OB1中方向有一条不同，一条相反时，∠A1O1B1＝23π.
1．四棱锥P-ABCD如图所示，则直线PC( ) A.与直线AD平行 B．与直线AD相交 C．与直线BD平行 D．与直线BD是异面直线
答案：D
解析：根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线， 可以判断直线PC与直线AD、直线BD是异面直线．故选D.
2．两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关 系是( )
答案：D
题后师说
求异面直线所成角的步骤
巩固训练3
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝CC1＝3，则异面直线
AD1与BD所成角的余弦值为( )
A．1256
B．－1256
C．3102
D．－3102
答案：C
解 析 ： 连 接 DC1 ， BC1 ， 根 据 长 方 体 的 性 质 可 知 AD1∥BC1，所以∠DBC1是异面直线AD1与BD所成角 (或其补角)，在△BDC1中，BD＝DC1＝5，BC1＝3 2， 由余弦定理得cos ∠DBC1＝225×+51×83−225＝3102.故选C.
题后师说
共面、共线、共点问题的证明方法
巩固训练1 如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上， 点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．
证明：因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l 上，
所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为α，所以l⊂α， 因为C∈l，所以C∈α，所以A，B，C，D∈α， 所以AD⊂α，BD⊂α，CD⊂α， 即直线AD，BD，CD在同一平面内．
3．(教材改编)三个平面最多把空间分成________部分，最少能把空 间分成________部分．
答案：8 4 解析：三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分 成4部分，最多分成8部分．
4．(易错)已知两条相交直线a，b，a∥平面α，b与α的位置关系是
()
A．b∥α B．b与α相交
课堂互动探究案
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础 上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
2．了解四个基本事实和一个定理，并能用定理解决问题．
问题思考·夯实技能 【问题1】 “有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者 之间有何区别与联系？
提示：“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的，都包括“存在” 和“唯一”两个方面．但“共面”的意思是“在同一个平面内”，只强调了“存 在性”，不含“唯一性”．所以“共面”与前两者是不同的．
题型二 空间两直线的位置关系
角度一 空间两直线位置关系的判断
例2 已知异面直线a、b分别在平面α、β内，α∩β＝c，那么c与a、b
的关系为( )
A．与a、b都相交
B．至少与a、b之一相交
C．至多与a、b之一相交 D．只能与a、b之一相交
答案：B
解析：对于A，a∥c，b∩c＝M，且M∉a，此时满足题意，同理b∥c，a∩c＝N， 且N∉b，也满足题意，此时A不成立；对于C，c与a、b都不相交，则c与a、b都平 行，所以a、b平行，与异面矛盾，故C不正确；对于D，c可以与a、b都相交，交 点为不同点即可，故D不正确．综上所述，c至少与a、b之一相交，选项B是正确 的．故选B.
4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1， P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角为________．
答案：π
3
C．29
D．2 2＋2 5＋2
答案：A
题后师说
作截面应遵循的三个原则 (1)在同一平面上的两点可引直线； (2)凡是相交的直线都要画出它们的交点； (3)凡是相交的平面都要画出它们的交线．
巩固训练4 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1 的中点，则过这三点的截面图的形状是( ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线 a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角 (或夹角)． (当2)异取面值直范线围所：成(0角，为π2].π时，称两条异面直线互相垂直
2
【常用结论】 1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是 异面直线． 2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．