武汉理工理论力学第二章平面力系
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M O ( Fn ) M O ( Ft ) M O ( Fr ) D ( Fn cos ) 0 75.2N m 2
h
Ft Fn cos
Fr Fn sin
§2-4
平面力偶
一、力偶(Couple)与力偶矩(Moment of a Couple)
i 1
4
i 1 4
合力大小:
FR
2 2 FR FRx FRy ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2
θ
1.292 1.122 1.71kN
合力方向:
arctan
FRy FRx
arctan
1.12 41 1.29
(第象限）
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
FR
n 由上节知： R F1 F2 Fn Fi F
根据合矢量投影定理 n FRx F1x F2 x Fnx Fix
i 1
二、平面汇交力系合成的解析法 已知： 1 ， 2 ，3 ， Fn 求：合力 FR F F F
1 M F d 2 F d 2ABC 2 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂 的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为 正，反之为负。
力偶矩的单位：N· m。
§2-4
平面力偶
（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来
平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素
n
F R Fi
i 1
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
二、平面汇交力系平衡的几何法 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。即
Fi 0
n i 1
在平衡时，力多边形最后一力的终点与第一力的起点 重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。
于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系
xF sin yF cos
上式为平面内力矩的解析表达式。
合力 FR 对坐标原点之矩的解析表达式
i 1 n M O ( FR ) ( xi Fyi yi Fxi )
§2-3
平面力对点之矩的概念及计算
例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆 直径D=160mm，压力角α=20º 。求啮合力Fn对 于轮心O之矩。 解： （1）应用力矩计算公式 D M O ( F n ) Fn h Fn cos 2 0.16 1000 cos 20 N m 75.2N m 2 （2）应用合力矩定理
FD FA F AD DC CA
arctan
DC 2634 AD
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式 力在轴上的投影:Fx和Fy为代数量 Fx F cos Fy F cos 、 为 F 与坐标轴正向的夹角 力 F 沿轴分解: Fx 和 Fy 为矢量
解：1.取滑轮B为研究对象 2.画研究对象的受力图 3.列平衡方程 Fx 0 FBA F1 sin 30 F2 sin 60 0
F
y
0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
4.解方程 FBC 1.366 P 27.32kN FBA 0.366P 7.321kN FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同， 即杆BC受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际 方向相反，即杆AB也受压力。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
ห้องสมุดไป่ตู้
推广:设平面汇交力系包含n个力,以 FR 表示合力矢，则有 n FR F1 F2 Fn Fi
i 1
结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向 等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。 特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，若 沿直线的某一指向为正，相反为负，该力系合力的大小与 方向决定于各分力的代数和，即
按照力系中各力的作用线是否相交、平行来分， 力系可分为： 汇交力系(Concurrent Forces)
平行力系(Parallel Forces) 任意力系(General Force System)
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面 内且汇交于一点的力系。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法 已知：平面汇交力系 F ，2 ，3 ，4 F F 1 F
F2 F1
FR
F3
F2 FR1 FR2 F1 FR
求：合力 FR
F4
F4 F2
FR
F3
F4
F1
F3
力多边形 FR1 F1 F2 作力多边形时,不必画 FR 2 FR1 F3 F1 F2 F3 出 FR1 、 R 2 F FR FR2 F4 F1 F2 F3 F4 可任意变换各分力矢的次序
理论力学
第二章 平面力系
2013年8月19日
第二章
§2-1
平面力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
§2-2
§2-3 §2-4
平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面力对点之矩的概念及计算 平面力偶系
§2-5
平面任意力系合成与平衡
力系的划分
按照力系中各力的作用线是否在同一平面来分， 力系可分为： 平面力系（Coplanar Forces） 空间力系(Forces in Space)
平面汇交力系合成与平衡的解析法 先取活塞杆DB为研究对象 解： Fx 0 FBA cos FBC cos 0
0 FBA sin FBC sin F 0 解得 FBA FBC F 11.35kN 2 sin 再取压块C为研究对象
y
F
解得 F F cos F cot Fl 11.25kN Cx
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，用解析法求合力。 解： 取坐标系Axy。
FRx Fix F1 cos30 F 2 cos60 F3 cos45 F4 cos 45 1.29kN
FRy Fiy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F 4 sin 45 1.12kN
的力多边形自形封闭，这是平衡的几何条件。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
例：门式刚架，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架 自重。求支座 A、D 的约束力。
FD a F b
解法一： 1.取刚架为研究对象 2.画受力图 3.按比例作力三角形 4.量得
FD 10kN
FA 22.5kN
26.5
上式适用于任何有合力存在的力系。
§2-3
平面力对点之矩的概念及计算
力矩的解析表达式 已知力 F ，作用点A（x,y）及夹角θ。
力 F 对坐标原点O之矩
M O ( F ) M O ( Fy ) M O ( Fx )
或
M O ( F ) xFy yFx
称为平面汇交力系的平衡方程。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
F1 F2 P 20kN
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示的压榨机中，杆AB和BC的长度相等，自重不计。 A、B、C处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸内的总压力为 F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压块C对工件与地面的压力， 以及AB杆所受的力。
§2-1
FRy F1 y F2 y Fny Fiy
i 1
2 2 FR FRx FRy ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2
i 1 n
F Fix cos(, j) FRy Fiy Rx FR cos( FR , i ) FR FR FR FR
1、力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力 组成 的力系。 记作 (F ， ）, F d 称为力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面。
§2-4 2、力偶矩 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向
平面力偶
力偶矩 记为 M ( F ， ） F 简记为M。
§2-3
平面力对点之矩的概念及计算
二、合力矩定理(Theorem of Moment of Resultant Force) 与力矩的解析表达式
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点
之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
n M O ( FR ) M O ( Fi ) i 1
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
例：门式刚架，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架 自重。求支座 A、D 的约束力。
1.取刚架为研究对象 AD 8m DC 4m CA 4 5m 解法二： F 2.画受力图 FA CA 22.4kN AD 3.作力三角形 F FD DC 10kN 4.由几何关系得 AD
Fx Fx i
F Fx i Fy j
Fy Fy j
称为力的解析表达式 如已知投影Fx和Fy，则力 F 的大小和方向余弦为
F Fx2 Fy2
F cos( F , i) x F
Fy cos( F , j ) F
三、平面汇交力系平衡的解析法
FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 0
该力系平衡的必要和充分条件是: 该力系的合力FR 等于零。
欲使上式成立，必须同时满足
F
ix
0
F
iy
0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
F F
ix
iy
0 0
力偶在任意坐标轴上的 投影为零
§2-4
平面力偶
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为 MO ( F ， ） F ,则 M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F )
F ( x d ) F x Fd
'
M Fd
MO (F , F ) M
F FCy FCB sin 1.5kN 2
2 sin 2
2h
F 0 F 0
x
FCx FCB cos 0
y
FCB sin FCy 0
§2-3
平面力对点之矩的概念及计算
一、力对点之矩（力矩） (Moment of Force about a Point) 点O：矩心 距离h:力臂 力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积， 其正负按下法确定： 力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力 F 对于点O的矩以 MO (F ) 表示，即 M O ( F ) Fh 2 AOAB 显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它 对矩心的力矩等于零。 力矩的单位常用 N· 或 kN· 。 m m
h
Ft Fn cos
Fr Fn sin
§2-4
平面力偶
一、力偶(Couple)与力偶矩(Moment of a Couple)
i 1
4
i 1 4
合力大小:
FR
2 2 FR FRx FRy ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2
θ
1.292 1.122 1.71kN
合力方向:
arctan
FRy FRx
arctan
1.12 41 1.29
(第象限）
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
FR
n 由上节知： R F1 F2 Fn Fi F
根据合矢量投影定理 n FRx F1x F2 x Fnx Fix
i 1
二、平面汇交力系合成的解析法 已知： 1 ， 2 ，3 ， Fn 求：合力 FR F F F
1 M F d 2 F d 2ABC 2 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力偶臂 的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为 正，反之为负。
力偶矩的单位：N· m。
§2-4
平面力偶
（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来
平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素
n
F R Fi
i 1
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
二、平面汇交力系平衡的几何法 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的合力等于零。即
Fi 0
n i 1
在平衡时，力多边形最后一力的终点与第一力的起点 重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。
于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系
xF sin yF cos
上式为平面内力矩的解析表达式。
合力 FR 对坐标原点之矩的解析表达式
i 1 n M O ( FR ) ( xi Fyi yi Fxi )
§2-3
平面力对点之矩的概念及计算
例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆 直径D=160mm，压力角α=20º 。求啮合力Fn对 于轮心O之矩。 解： （1）应用力矩计算公式 D M O ( F n ) Fn h Fn cos 2 0.16 1000 cos 20 N m 75.2N m 2 （2）应用合力矩定理
FD FA F AD DC CA
arctan
DC 2634 AD
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式 力在轴上的投影:Fx和Fy为代数量 Fx F cos Fy F cos 、 为 F 与坐标轴正向的夹角 力 F 沿轴分解: Fx 和 Fy 为矢量
解：1.取滑轮B为研究对象 2.画研究对象的受力图 3.列平衡方程 Fx 0 FBA F1 sin 30 F2 sin 60 0
F
y
0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
4.解方程 FBC 1.366 P 27.32kN FBA 0.366P 7.321kN FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同， 即杆BC受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际 方向相反，即杆AB也受压力。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
ห้องสมุดไป่ตู้
推广:设平面汇交力系包含n个力,以 FR 表示合力矢，则有 n FR F1 F2 Fn Fi
i 1
结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向 等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。 特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，若 沿直线的某一指向为正，相反为负，该力系合力的大小与 方向决定于各分力的代数和，即
按照力系中各力的作用线是否相交、平行来分， 力系可分为： 汇交力系(Concurrent Forces)
平行力系(Parallel Forces) 任意力系(General Force System)
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面 内且汇交于一点的力系。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法 已知：平面汇交力系 F ，2 ，3 ，4 F F 1 F
F2 F1
FR
F3
F2 FR1 FR2 F1 FR
求：合力 FR
F4
F4 F2
FR
F3
F4
F1
F3
力多边形 FR1 F1 F2 作力多边形时,不必画 FR 2 FR1 F3 F1 F2 F3 出 FR1 、 R 2 F FR FR2 F4 F1 F2 F3 F4 可任意变换各分力矢的次序
理论力学
第二章 平面力系
2013年8月19日
第二章
§2-1
平面力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
§2-2
§2-3 §2-4
平面汇交力系合成与平衡的解析法
平面力对点之矩的概念及计算 平面力偶系
§2-5
平面任意力系合成与平衡
力系的划分
按照力系中各力的作用线是否在同一平面来分， 力系可分为： 平面力系（Coplanar Forces） 空间力系(Forces in Space)
平面汇交力系合成与平衡的解析法 先取活塞杆DB为研究对象 解： Fx 0 FBA cos FBC cos 0
0 FBA sin FBC sin F 0 解得 FBA FBC F 11.35kN 2 sin 再取压块C为研究对象
y
F
解得 F F cos F cot Fl 11.25kN Cx
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，用解析法求合力。 解： 取坐标系Axy。
FRx Fix F1 cos30 F 2 cos60 F3 cos45 F4 cos 45 1.29kN
FRy Fiy F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F 4 sin 45 1.12kN
的力多边形自形封闭，这是平衡的几何条件。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
例：门式刚架，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架 自重。求支座 A、D 的约束力。
FD a F b
解法一： 1.取刚架为研究对象 2.画受力图 3.按比例作力三角形 4.量得
FD 10kN
FA 22.5kN
26.5
上式适用于任何有合力存在的力系。
§2-3
平面力对点之矩的概念及计算
力矩的解析表达式 已知力 F ，作用点A（x,y）及夹角θ。
力 F 对坐标原点O之矩
M O ( F ) M O ( Fy ) M O ( Fx )
或
M O ( F ) xFy yFx
称为平面汇交力系的平衡方程。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
F1 F2 P 20kN
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示的压榨机中，杆AB和BC的长度相等，自重不计。 A、B、C处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸内的总压力为 F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压块C对工件与地面的压力， 以及AB杆所受的力。
§2-1
FRy F1 y F2 y Fny Fiy
i 1
2 2 FR FRx FRy ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2
i 1 n
F Fix cos(, j) FRy Fiy Rx FR cos( FR , i ) FR FR FR FR
1、力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力 组成 的力系。 记作 (F ， ）, F d 称为力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面。
§2-4 2、力偶矩 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向
平面力偶
力偶矩 记为 M ( F ， ） F 简记为M。
§2-3
平面力对点之矩的概念及计算
二、合力矩定理(Theorem of Moment of Resultant Force) 与力矩的解析表达式
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点
之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
n M O ( FR ) M O ( Fi ) i 1
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
例：门式刚架，在B点受一水平力F=20kN，不计刚架 自重。求支座 A、D 的约束力。
1.取刚架为研究对象 AD 8m DC 4m CA 4 5m 解法二： F 2.画受力图 FA CA 22.4kN AD 3.作力三角形 F FD DC 10kN 4.由几何关系得 AD
Fx Fx i
F Fx i Fy j
Fy Fy j
称为力的解析表达式 如已知投影Fx和Fy，则力 F 的大小和方向余弦为
F Fx2 Fy2
F cos( F , i) x F
Fy cos( F , j ) F
三、平面汇交力系平衡的解析法
FR ( Fix ) 2 ( Fiy ) 2 0
该力系平衡的必要和充分条件是: 该力系的合力FR 等于零。
欲使上式成立，必须同时满足
F
ix
0
F
iy
0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
F F
ix
iy
0 0
力偶在任意坐标轴上的 投影为零
§2-4
平面力偶
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为 MO ( F ， ） F ,则 M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F )
F ( x d ) F x Fd
'
M Fd
MO (F , F ) M
F FCy FCB sin 1.5kN 2
2 sin 2
2h
F 0 F 0
x
FCx FCB cos 0
y
FCB sin FCy 0
§2-3
平面力对点之矩的概念及计算
一、力对点之矩（力矩） (Moment of Force about a Point) 点O：矩心 距离h:力臂 力对点之矩是一个代数量， 它的绝对值等于力的大小与力 臂的乘积， 其正负按下法确定： 力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力 F 对于点O的矩以 MO (F ) 表示，即 M O ( F ) Fh 2 AOAB 显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它 对矩心的力矩等于零。 力矩的单位常用 N· 或 kN· 。 m m