线性代数1同济大学第五版课件3-3

3 (1 )

1 r3 r2 0 ~ 0
1
1 3

0
3 （ 1 )( 3 )
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( 1 )当 0 且 3时 , R ( A ) R ( B ) 3 , 方程组有唯一解 ;
x 1 b 11 x r 1 b 1 , n r x n d 1 x b x b r ,n r x n d r r r1 r 1 x r 1 x r 1 xn xn
5 x 2 x3 x4 , 1 3 4 x2 2 x3 x4 , 3
( x 3 , x 4 可任意取值
).
令 x 3 c 1 , x 4 c 2，把它写成通常的参数
x1 x2 x 3 x4 2 c1 5 3 c2 , 4 3 c2 ,
无穷多个解
其中 c 1 , , c n r 为任意实数，故方程有
证毕
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把上式的含有 的通解．
n r 个参数的解，称为原线
性方程组
小结 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
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例２ 求解非齐次线性方程组
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1, 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 2, 2 x x 2 x 2 x 3. 1 2 3 4
解
1 B 3 2
对增广矩阵B进行初等行变换，
c R
解二
因系数阵A为方阵,由克拉默法则知方程组 有唯一 解的充分必要条件是 A 0
1 1 1 1 1 1
r1 r 2 r 3
1 A 1 1
1 (3 ) 1 1
1 1 1
1 1 1

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r 2 r1 r 3 r1
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二、线性方程组的解法
例1 求解齐次线性方程组
x1 2 x 2 2 x 3 x4 0 2 x1 x 2 2 x 3 2 x4 0 x x 4x 3x 0 1 2 3 4 .
解
对系数矩阵
A 施行初等行变换：
1 A 2 1
0 1 0
1 1 0
1 2 0
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x1 x 3 1 x2 x3 2 x3 x3
x1 1 1 , 通解为 x 2 c 1 2 x 1 0 3
0 0 0 1 1
a1 a2 a3 a4 a5
a2 a3 a4 5 ai i1 a1
R A RB
1 1 0
1 0
ai
i1
5
0
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方程组有解的充要条件
是
ai
i 1
解证 对增广矩阵 B 进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
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1 0 B 0 0 1
1 0 0 ~ 0 0
1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0
0 0
0 0 1 1 0
0 0 0
x1 x2 x n
d1 d2 dn
（ iii ) 若 R ( A ) R ( B ) r n , 则 d r 1 0 , 此时方程有 r 个有效方程，从而有 n r 个自由变量 x r 1 , , x n
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对应的方程组为
1 r1 2 r2 0 0
0 1 0
2 2 0
5 3 4 3 0
即得与原方程组同解的方程组
5 x 2 x3 x4 0, 1 3 4 x2 2 x3 x4 0, 3
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由此即得
1 4 4 3 6 6 1 7 7 1 1 1
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1 0 ~ r2 ( 4 ) 0
r3 r2
1 1 0
3 3 2 0
1 7 4 0
1 4. 0 1
r1 r 2
~
1 0 0
0 1 0
1 (3 ) 0 0
1
1 0 (3 )
2


0

;
( 1 ) 当 0 且 3时 , 方程组有唯一解
2 1 1 3 5 2 1 Байду номын сангаас 2 1 2 3
r 2 3 r1 1 r 3 2 r1
0 0
2 5 5
3 4 4
1 0 0
1 1 1
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1 r3 r 2 0 0
2 5 0
3 4 0
1 0 0
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例４
证明方程组
x1 x 2 x3 x 4 x5
x 2 a1 x3 a2 x4 a3 x5 a4 x1 a 5 有解的充要条件
是 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 0 .在有解的情况下， 求出它的一切解．
第三节
线性方程组的解
一、线性方程组有解的判定条件
二、线性方程组的解法
三、小结，思考题
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一、线性方程组有解的判定条件
问题：
如何利用系数矩阵A 和增广矩阵 B 的秩， 讨论线性方程组 Ax b 的解 ?
定理 3 n 元线性方程组 Ax = b
(i) 无解的充要条件是 R(A) < R(A，b) ; (ii) 有唯一解的充要条件是 R(A) = R(A，b) = n ; (iii) 有无穷多解的充要条件是 R(A) = R(A，b) < n .
令自由变量 x r 1 c 1 , , x n c n r
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方程组的解为
x1 b 11 b xr r1 c c 1 nr x r 1 1 xn 0 b1 ,n r d 1 b r ,n r d r 0 0 1 0
~
1 1 2
显然， R ( A ) 2 , R ( B ) 3 ,
故方程组无解．
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例３ 求解非齐次方程组的通解
解
1 B 3 1
对增广矩阵B进行初等变换
1 1 5 3 3 9 1 4 8 1 1 r 2 3 r1 4 ~ 0 0 r 3 r1 0
( 2 )当 0时 , R ( A ) 1 , R ( B ) 2 , 方程组无解 ;
( 3 )当 3时 , R ( A ) R ( B ) 2 , 方程组有无穷多个解 .
1 r B ~ 0 0
1 3 0
2 3 0
3 1 r 6 ~ 0 0 0
形式
2c1 c1 , c2 ,

5 x1 2 3 x2 2 4 . c1 c2 x 1 3 3 0 0 x4 1
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（ i ） 若 R ( A ) R ( B ), 则 d r 1 1，于是第 r 1 行对应 矛盾方程 0 1，所以方程无解。
( ii ) 若 R ( A ) R ( B ) r n , 则 d r 1 0 且 b ij 不出现 ,
此时有唯一解
x 5为任意实数 .
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例５ 设有线性方程组
(1 ) x 1 x 2 x 3 0 x 1 (1 ) x 2 x 3 3 x x (1 ) x 2 3 1
问 取何值时 , 此方程组 ( 1 ) 有唯一解 ; ( 2 ) 无解 ; ( 3 ) 有无穷多个解 ? 并在有无穷多解时求其 通解 .
解一
对增广矩阵
B ( A , b ) 作初等行变换，
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1 B 1 1
1 1 1
1 1 1
0 3
1 0 ~ r 3 ( 1 ) r1 0
r1 r 3 r 2 r1
1
1 (2 )
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证
只需证明充分性条件.
设 R ( A ) r , 不妨设 B ( A , b )的行最简形为
1 0 0 ˆ B 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 b 11 b 21 br1 0 0 0 b1 ,n r b 2 ,n r b r ,n r 0 0 0 d1 d2 dr d r 1 0 0
5 4 1 4
所以方程组的通解为
x4

x1 3 2 3 4 5 4 x2 3 2 7 4 1 4 其中 c , c 任意 . 1 2 c1 1 c 2 0 0 . x3 x4 0 1 0
3 2 3 2 0
3 4 7 4 0
5 4 1 4 0
由于 R A R B 2 ,
故方程组有解，且有
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x1 x2 x3 x4

3 2 3 2
x3 x3 x3
3 4 7 4
x4 x4
2 1 1
2 2 4
1 1 r2 2 r1 2 0 r3 r1 3 0
2 3 3
2 6 6
机动
1 4 4
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1 r3 r2 0 r2 ( 3 ) 0
2 1 0
2 2 0
1 4 3 0
5
0.
由于原方程组等价于方程组 由此得通解：
x1 x2 x3 x4
x 2 a1 x3 a2 x4 a3 x5 a4
x1 a1 a 2 a 3 a 4 x 5 x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5 x4 a4 x5