高三数学圆锥曲线试题

高三数学圆锥曲线试题

1.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，P是椭圆上一点，且

面积的最大值等于2．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点M(0，2)作直线与直线垂直，试判断直线与椭圆的位置关系5

(3)直线y=2上是否存在点Q，使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点Q的

坐标；若不存在，说明理由。

【答案】(1) ;(2)相切；(3) 存在，.

【解析】(1)通过椭圆性质列出的方程，其中离心率,分析图形知道当点P在短轴端点时，面积取得最大值，所以,椭圆中,从而建立关于的方程，解出

;即得到椭圆的标准方程(2)列出过定点直线的方程，其与直线垂直，求出其斜率，联

立椭圆方程，得出，写出关系；(3)对于存在性的问题，要先假设存在，先设存在这样的点，,结合图形知道要先讨论,当时，明显切线不垂直，当时，先设切线

，与椭圆方程联立，利用，得出关于斜率的方程，利用两根之积公式，解出点坐标.即值.此题为较难题型，分类讨论时要全面.

试题解析：(1)因为点在椭圆上，所以

因此当时，面积最大，且最大值为

又离心率为即

由于，解得

所求椭圆方程为.

(2)由(1)知,

直线的斜率等于，直线的方程，

由消去，整理得，

直线与椭圆相切.

(3)假设直线上存在点满足题意，设，显然当时，从点所引的两条切线不垂直.

当时，设过点向椭圆所引的切线的斜率为，则的方程为

由消去，整理得：

所以， *

设两条切线的斜率分别为，显然，是方程的两根，故：

解得：，点坐标为或

因此，直线上存在两点和满足题意.

【考点】1.椭圆的性质与标准方程；2.直线垂直的判断；3.存在性问题的求解;4.直线与椭圆的位

置关系的判断.

2.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交

于不同的两点、，以线段为直径作圆.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出

弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.

试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分

（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，

又圆与轴相切，故点的坐标为，

不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分

代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分

所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分

因为圆心到直线的距离 14分

故圆被直线截得的线段长为 16分

【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理

3.已知曲线C

1的极坐标方程为ρcos（θ－）＝－1，曲线C

2

的极坐标方程为ρ＝2cos（θ－

）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C

2

的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C

2上的动点M到曲线C

1

的距离的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）先化简，再利用，代入即可得；（Ⅱ）先化简得的直角坐标方程为，再求的圆心到直线的距离，所以动点到曲线的距离的最大值为.

试题解析：（Ⅰ），

即，可得，

故的直角坐标方程为. （5分）

（Ⅱ）的直角坐标方程为，

由（Ⅰ）知曲线是以为圆心的圆，且圆心到直线的距离，

所以动点到曲线的距离的最大值为. （10分）

【考点】1.极坐标方程；2.点到直线的距离公式.

4. 离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则 ( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】解：设椭圆方程为（a 1＞b 1＞0），双曲线方程为

（a ＞0，b ＞0）

它们一个公共的焦点为F （c ，0）

∵椭圆长轴端点A 到双曲线的渐近线bx ﹣ay=0的距离|AC|== 椭圆短轴轴端点B 到双曲线的渐近线bx ﹣ay=0的距离|BD|==

椭圆焦点F 到双曲线的渐近线bx ﹣ay=0的距离|FG|==b

∴

=

•b ，可得a 2b

=b 2ca 1

因此，===﹣•=﹣=﹣

=﹣e 1故选：D

【考点】共焦点的椭圆与双曲线

点评：本题给出共焦点的椭圆与双曲线，在已知点到直线的距离成等比数列情况下化简关于离心率的分式的值，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题． 5. 记椭圆

围成的区域（含边界）为Ωn （n=1，2，…），当点（x ，y ）分别在Ω1，

Ω2，…上时，x+y 的最大值分别是M 1，M 2，…，则M n =（ ）

A ．0

B ．

C ．2

D ．2

【答案】D 【解析】把椭圆得，

椭圆的参数方程为：（θ为参数），

∴x+y=2cosθ+

sinθ，

∴（x+y）

max

==．

∴M

n

==2．

【考点】数列的极限；椭圆的简单性质

点评：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用

6.如图，已知双曲线C

1：，曲线C

2

：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直

线与C

1，C

2

都有公共点，则称P为“C

1

﹣C

2

型点“

（1）在正确证明C

1的左焦点是“C

1

﹣C

2

型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样

的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线y=kx与C

2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C

1

﹣C

2

型点”；

（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C

1﹣C

2

型点”

【答案】（1）或，其中（2）见解析（3）见解析【解析】C

1

的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．

（2）证明：因为直线y=kx与C

2

有公共点，

所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．

若原点是“C

1﹣C

2

型点”，则存在过原点的直线与C

1

、C

2

都有公共点．

考虑过原点与C

2

有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．

显然直线x=0与C

1

无公共点．

如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．

所以直线y=kx（|k|＞1）与C

1

也无公共点．

因此原点不是“C

1﹣C

2

型点”．

（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C

1，C

2

都有公共点，

显然l不与x轴垂直，

故可设l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，

从而过Q且以k为斜率的直线l与C

2

无公共点，矛盾，所以|k|＞1．

因为l与C

1

由公共点，所以方程组有实数解，

得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．

因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，

因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，

即b2≥2k2﹣1．

因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，

所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．