2021年九年级中考一轮复习数学练习专题二：方程与不等式——二元一次方程组

2021年中考一轮复习数学练习
专题二 方程与不等式——二元一次方程组
一、 选择题 （每题 3 分 ，共计30分 ） 1. 下列式子属于二元一次方程的有( ) A.x +y =8
B.xy −y =10
C.3a 2−b =7
D.1
x +y =3
2. 已知2x −y =1，用含x 的代数式表示y 正确的是( ) A.y =2x +1
B.x =
y+12
C.y =1−2x
D.y =2x −1
3. 已知{x =2，y =m 是二元一次方程5x +3y =1的一组解，则m 的值是( )
A.3
B.−3
C.11
3
D.−11
3
4. 某次考试之后，张老师决定购买一些笔记本和钢笔奖励给获得优秀成绩的同学，经商场调查发现，买3本笔记本和2只钢笔需要花费48元，买2本笔记本和3只钢笔需要花费52元，若设一本笔记本需要x 元，一只钢笔需要y 元，则可列出方程为( ) A.{3x +2y =52，2x +3y =48 B.{3x +2y =48，2x +3y =52 C.{3x +2y =48，2y +3x =52
D.{
2x +3y =48，
3x +3y =52
5. 下列方程组是二元一次方程组的是( ) A.{x +y =1，z +x =6 B.{x +y =3，xy =12 C.{x +y =6，1x +y =4
D.{
x =y +13，
−2x =y +13
6. 方程组{x −y =k +2，
x +3y =k
的解适合方程x +y =3，则k 值为( )
A.2
B.−2
C.1
D.−1
7. 用代入法解方程组{
2s +t =3，①3s −5t =6，②
下面四个选项中正确的是( )
A.由②得t =
3s+65
，再代入①
B.由①得t =3−2s ，再代入②
C.由②得s =6−5t 3，再代入①
D.由①得s =
3+t 2
，再代入②
8. 三个二元一次方程2x +5y −6=0，3x −2y −9=0，y =kx −9有公共解的条件是k =( ) A.4
B.3
C.2
D.1
9. 用铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，设用x 张制盒身，y 张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中符合题意的是( ) A.{x +y =36，y =2x
B.{x +y =36，25x =2×40y
C.{x +y =36，25x =40y 2
D.{
x +y =36，
2x 25
=y
40
10. 同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶中抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地，若甲、乙两车都能顺利返回A 地，则B 地最远可距离A 地( ) A.120km
B.140km
C.160km
D.180km
二、 填空题 （每题 3 分 ，共计12分 ）
11. 已知实数x ，y ，z ，满足x +y +z =0，3x −y −2z =0，则x ：y ：z =________.
12. 方程组{ax +by =4，
bx +ay =5的解是{x =2，y =1，
则a +b =________.
13. 为准备母亲节礼物，同学们委托小明用其支付宝余额团购鲜花或礼
盒．每束鲜花的售价相同，每份礼盒的售价也相同．若团购15束鲜花和18份礼盒，余额差80元；若团购18束鲜花和15份礼盒，余额剩70元．若团购19束鲜花和14份礼盒，则支付宝余额剩________元．
14. 某商场在11月中旬对甲、乙、丙三种型号的电视机进行促销．其中，甲型号电视机直接按成本价1280元的基础上获利25%定价；乙型号电视机在原销售价2199元的基础上先让利199元，再按八五折优惠；丙型号电视机直
接在原销售价2399元上减499元；活动结束后，三种型号电视机总销售额为20600元，若在此次促销活动中，甲、乙、丙三种型号的电视机至少卖出其中两种型号，则三种型号的电视机共有________种销售方案． 三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，共计78分 ） 15.(8分) 解方程组： (1){x +y =5，2x +y =8；
(2){x 3+y 2=52，5x +6y =35.
16.(8分) 若关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =3,
mx +ny =8
与方程组
{
x −y =1,
mx −ny =4
有相同的解．
(1)求这个相同的解； (2)求m −n 的值．
17. （8分） 甲、乙两人同解方程组{ax +by =2,①
cx −3y =4.②
甲因看错c 的值解得方程组解为{x =1,y =1,乙求得正确的解为{x =2,
y =−2,
求a ，b ，c 的值．
18.(9分) 小明准备完成题目：解方程组{x −y =4，▫x +y =−8，
发现系数“▫”印刷不
清楚.
(1)他把“▫”猜成3，请你解此时的方程组{x−y=4，
3x+y=−8.
(2)张老师说：“你在(1)中猜错了”，我看到该题的正确答案里有结论：x，y 互为相反数．依此说法，问原题中的“▫”是多少？
19. （9分）已知在△ABC中，三边长满足2a+b=2c，a+c=2b，且它的周长为24，求该三角形的三边长.
20.(9分) 一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，进行加工后销售；粗加工后销售每吨可获利1000元，精加工后销售每吨获利2000元；已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
(1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
(2)如果先进行精加工，然后进行粗加工．
①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？
21.(9分) 某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．商场用50000元共购进A型号手机10部，B 型号手机20部．
(1)求A，B两种型号的手机每部进价各是多少元？
(2)为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A，B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．请问该商场怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
22.(9分) 我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x−2)=0，通过解方程x=0和x2+x−2=0，可得方程x3+x2−2x=0的解.
应用：(1)方程x3+x2−2x=0的解是x1=0，x2=________，
x3=________；
知识迁移：(2)用转化的思想求方程√2x+3=x的解；
知识拓展：(3)试写出{x2−4y2=0,
x+y=1的解（不必写出过程）.
23.(9分) 问题：有甲、乙、丙三种商品，①购甲3件、乙5件、丙7件共需490元钱；②购甲4件、乙7件、丙10件共需690元钱；③购甲2件，乙3件，丙1件共需170元钱．求购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元？
小明说：“可以根据3个条件列出三元一次方程组，分别求出购甲、乙、丙一件需多少钱，再相加即可求得答案．”
小丽经过一番思考后，说：“本题可以去掉条件③，只用①②两个条件，仍能求出答案．”针对小丽的发言，同学们进行了热烈地讨论．
（1）请你按小明的思路解决问题．
（2）小丽的说法正确吗？如果正确，请完成解答过程；如果不正确，请说明理由．
（3）请根据上述解决问题中积累的经验，解决下面的问题：学校购买四种教学用具A、B、C、D，第一次购A教具1件、B教具3件、C教具4件、D教具5件共花2018元；第二次购A教具1件、B教具5件、C教具7件、D教具9件共花3036元．求购A教具5件、B教具3件、C教具2件、D教具1件共需多少元？
参考答案
一、选择题
1.
A
【解答】
解：A，符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故正确；B，最高项的次数为2，不是二元一次方程，故错误；
C，最高项的次数为2，不是二元一次方程，故错误；
D，不是整式方程，所以不是二元一次方程，故错误.
故选A.
2.D
【解答】
解：移项，得−y=1−2x，
系数化1，得y=2x−1．
故选D.
3.B
【解答】
解：将x=2,y=m代入方程可得：5×2+3m=1，
解得：m=−3.
故选B.
4.B
【解答】
解：由买3本笔记本和2只钢笔需要花费48元，得
方程3x+2y=48；
由买2本笔记本和3只钢笔需要花费52元，得
方程2x+3y=52；
综上所述，得方程组{3x+2y=48，2x+3y=52.
故选B．5.D
【解答】
解：A ，方程组中含有3个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故A 错误； B ，方程组中最高次数是二，不符合二元一次方程组的定义，故B 错误； C ，方程组中分母含有未知数，不符合二元一次方程组的定义，故C 错误； D ，方程组符合二元一次方程组的定义，故D 正确. 故选D . 6.A 【解答】
解：{
x −y =k +2，①x +3y =k ，②
①+②得，2x +2y =2k +2， ∴ x +y =k +1，
∴ {x −y =k +2，x +3y =k 的解适合方程x +y =3，
∴ k +1=3， 解得k =2. 故选A . 7.B 【解答】
解：用代入法解方程组{
2s +t =3，①3s −5t =6，②
由①得：t =3−2s ，再代入②； 由①得：s =3−t 2，再代入②； 由②得：t =3s−6
5
，再代入①； 由②得：s =5t+63
，再代入①．
故选B ． 8.B 【解答】
解：由题意得：{2x +5y −6=0
3x −2y −9=0y =kx −9，
①×3−②×2得y =0，
代入①得x=3，
把x，y代入③，
得：3k−9=0，
解得k=3．
故选B．
9.C
【解答】
解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意得：{x+y=36，25x=40y
2
.
故选C.
10.B
【解答】
解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB=xkm，AC=ykm，根据题意得：
{2x+2y=210×2，
x−y+x=210，
，
解得：{x=140，y=70.
∴ B地最远可距离A地是140km．故选B.
二、填空题
11.1：(−5):4
【解答】
解：联立{x+y+z=0，①3x−y−2z=0，②
①+②可得：4x−z=0，即z=4x.
把z=4x代入①可得：y=−5x，
∴ x：y：z=x：(−5x)：4x=1：(−5)：4.
故答案为：1：(−5)：4.
12.3
【解答】
解：将x=2，y=1代入方程组得：{2a+b=4①，2b+a=5②，
①+②得：3a+3b=9，
∴ a+b=3.
故答案为：3.
13.120
【解答】
解：设团购鲜花的单价为x元/束，团购礼盒的单价为y元/份，支付宝余额原有a元，
依题意，得{15x+18y=a+80①，18x+15y=a−70②，
(①−②)÷3，得：y−x=50，
∴19x+14y=15x+18y−4(y−x)=a+80−200=a−120.
∴若团购19束鲜花和14份礼盒，则支付宝余额剩120元.
故答案为：120.
14.五
【解答】
②当z＝1时，y＝14−3z＝11，x＝12−y−z＝12−11−1＝0，符合题
意（1）③当z＝2时，y＝14−3z＝8，x＝12−y−z＝12−8−2＝2，符
合题意（2）④当z＝3时，y＝14−3z＝5，x＝12−y−z＝12−5−3＝4，符合题意（3）⑤当z＝4时，y＝14−3z＝2，x＝12−y−z＝12−2−4
＝6，符合题意．
（2）当k＝1时，x+y+z＝11，y+3z＝30
∴ y＝30−3z，
∴ 0≤30−3z≤12，
解得：6≤z≤10，
当z＝6时，y＝30−3z＝12，x＝11−y−z＝11−12−6＝−7<0，舍去（4）当z＝7时，y＝30−3z＝9，x＝11−y−z＝11−9−7＝−5<0，舍去（5）当z＝8时，y＝30−3z＝6，x＝11−y−z＝11−6−8＝−3<0，舍去（6）当z＝9时，y＝30−3z＝3，x＝11−y−z＝11−3−9＝−1<0，舍去（7）当z＝10时，y＝30−3z＝0，x＝11−y−z＝11−10−0＝1，
符合题意．
综上所述：共有{x =0y =11z =1 ，{x =2y =8z =2 ，{x =4y =5z =3 ，{x =6y =2z =4 ，{x =1
y =0z =10
五种方案．
故答案为：五．
三、 解答题
15.
解：(1)令方程组为{x +y =5①，
2x +y =8②，
②−①，得x =3，
将x =3代入①，得3+y =5，
解得y =2，
∴方程组的解为{x =3，y =2.
(2)原方程组整理得，{2x +3y =15①，
5x +6y =35②，
①×2，得4x +6y =30 ③，
②−③，得x =5，
将x =5代入①，得2×5+3y =15，
解得y =53，
∴原方程组的解为 {
x =5，y =33.
16.
解：(1)∴ 关于x ，y 的二元一次方程组{
x +y =3,mx +ny =8 与方程组{
x −y =1,mx −ny =4
有相同的解， ∴ {x +y =3,x −y =1,
解得{x =2,y =1,
∴ 这个相同的解为{x =2,y =1. (2)∴ 关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =3,mx +ny =8 与方程组{x −y =1,mx −ny =4
有相同的解{
x =2,y =1.
∴ {2m +n =8,2m −n =4,
解得{m =3,n =2,
∴ m −n =3−2=1． 17.
解：乙的解是正确的，所以把{
x =2,y =−2代入原方程组的②式， 得2c +6=4，解得：c =−1.
把{x =2，y =−2
代入原方程组的①式，得2a −2b =2，③ 把{x =1，y =1
代入原方程组的①式，得a +b =2，④ ③+④×2得，4a =6解得a =32.
把a =32代入④解得b =12.
18.
解：(1){x −y =4，①3x +y =−8，② 令①+②，得4x =−4，即x =−1，
将x =−1代入①，得y =−5.
所以方程组的解为{x =−1，y =−5.
(2)∵该题标准答案的结果x ，y 是一对相反数，
∴x +y =0，
将x =−y 代入x −y =4，
解得y =−2，
∴x =2，
将x =2，y =−2代入▫x +y =−8，
解得▫=−3.
19.
解：由题知{2a +b =2c①
a +c =2b②a +
b +
c =24③
把②代入③得
2b +b =24，
解得：b =8.
把b =8代入①③得
{2a −2c =−8，a +c =16.
解这个方程组得
{a =6，c =10.
所以a =6，b =8，c =10.
20.
解：(1)设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工，
根据题意得{x +y =12,5x +15y =140,
解得{x =4,y =8.
答：应安排4天精加工，8天粗加工．
(2)①精加工m 吨，则粗加工(140−m)吨，
根据题意得W =2000m +1000(140−m )
=1000m +14000.
②∴ 要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，
∴ m 5+140−m 15≤10 ，
解得m ≤5 ，
∴ 0<m ≤5.
∴ 在一次函数W =1000m +14000中，k =1000>0，
∴ W 随m 的增大而增大，
∴ 当m =5时，W 最大=1000×5+140000=145000，
∴ 精加工天数为5÷5=1，
粗加工天数为(140−5)÷15=9，
∴ 安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元． 21.
解：(1)设A ，B 两种型号的手机每部进价各是x 元、y 元，
根据题意得： {x =y +500，10x +20y =50000，
解得： {x =2000，y =1500.
答：A ，B 两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元 .
(2)设A 种型号的手机购进a 部，则B 种型号的手机购进(40−a )部，
根据题意得： {2000a +1500(40−a )≤75000，a ≥2(40−a)，
解得：803≤a ≤30 .
设A 种型号的手机购进a 部时，获得的利润为w 元．
根据题意，得w =500a +600(40−a )=−100a +24000，
∵−100<0 ，
∴ w 随a 的增大而减小.
∵a 为正整数，
∴ 当a =27时，能获得最大利润．
此时w =−100×27+24000=21300（元）．
因此，购进A 种型号的手机27部，购进B 种型号的手机13部时，获利最大． 答：购进A 种型号的手机27部，购进B 种型号的手机13部时获利最大，最大利润为21300元．
22.
【解答】
解：(1)解方程x 2+x −2=0，
(x −1)(x +2)=0，
解得x 2=1，x 3=−2.
故答案为：1；−2.
(2)∴ √2x +3=x ，
∴方程两边同时平方可得2x +3=x 2，即x 2−2x −3=0,
∴ (x +1)(x −3)=0,
则x +1=0或x −3=0，
解得x 1=−1，x 2=3.
当x 1=−1时，原方程不成立，
∴x =3.
(3){x 2−4y 2=0①,x +y =1②，
由②得y =1−x ，
代入①得：x 2−4(1−x)2=0,
化简得：−3x 2+8x −4=0，即(x −2)(3x −2)=0，
解得：x =2或x =23，
故y =−1或y =13.
即所求方程组的解为：{x 1=2，
y 1=−1，{x 2=23，y 2=13. 23.
解:设购买一件甲种商品需要x 元，购买一件乙种商品需要y 元，购买一件丙种商品需要z 元，
根据题意得：{3x +5y +7z =490
4x +7y +10z =6902x +3y +z =170
， 解得：{x =20
y =30z =40
，
∴ x +y +z ＝90．
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．
小丽的说法正确．
设购买一件甲种商品需要x 元，购买一件乙种商品需要y 元，购买一件丙种商品需要z 元，
根据题意得：{3x +5y +7z =4904x +7y +10z =690
， 方程①×3−方程②×2，得：x +y +z ＝90．
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需90元．
设购买一套A 教具需要a 元，购买一套B 教具需要b 元，购买一套C 教具需要c 元，购买一套D 教具需要d 元，
根据题意得：{a +3b +4c +5d =2018a +5b +7c +9d =3036
， 方程组可变形为：{(a +b +c +d)+(2b +3c +4d)=2018(a +b +c +d)+2(2b +3c +4d)=3036
， 设a +b +c +d ＝m ，2b +3c +4d ＝n ，
则原方程组可变形为：{m +n =2018m +2n =3036
， 解得：{m =1000n =1018
， ∴ 5a +3b +2c +d ＝5(a +b +c +d)−(2b +3c +4d)＝5m −n ＝3982． 答：购A 教具5件、B 教具3件、C 教具2件、D 教具1件共需3982元．。