2018届高考文科总复习课时跟踪检测试卷(10)对数与对数函数

课时跟踪检测(十) 对数与对数函数
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数f (x )＝
1
(log 2x )2－1
的定义域为( )
A.⎝⎛⎭
⎫0，1
2 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭
⎫0，1
2∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦
⎤0，1
2∪[2，＋∞) 解析：选C 由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
x >0，(log 2x )2
>1，
解得x >2或0<x <1
2
，故选C.
2．如果log 12
x <log 12
y <0，那么( )
A ．y <x <1
B ．x <y <1
C ．1<x <y
D ．1<y <x
解析：选D log 12
x <log 12
y <log 12
1，∴x >y >1.
3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12
x
D ．2x －
2
解析：选A 由题意知f (x )＝log a x ， ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .
4．(2015·安徽高考)lg 5
2＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 解析：lg 5
2＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 ＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－1
5．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______．
解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝
log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
答案：(－∞，－1) (－1，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标
1．函数f (x )＝log 12
(x 2－4)的单调递增区间为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)
解析：选D 因为y ＝log 12
t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即
求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．6
D ．－6
解析：选B ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即30＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (log 35)＝3log 35－1＝4，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝－4.
3．(2017·武汉调研)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )
解析：选B 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a >1，故函数y ＝log a |x |的图象如图所示．故选B.
4．(2017·金华模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝1
2，则f (－a )＝( )
A ．2
B ．－2 C.1
2
D ．－12
解析：选D ∵f (x )＝lg 1－x
1＋x
的定义域为－1<x <1，
∴f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x
1＋x ＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－1
2
.
5．(2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6
x －3的定义域为( )
A ．(2,3)
B ．(2,4]
C ．(2,3)∪(3,4]
D ．(－1,3)∪(3,6]
解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧
4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3
>0，得⎩⎪⎨⎪⎧
－4≤x ≤4，
x >2且x ≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选
C.
6．计算：lg 0.001＋ln e ＋2
21log 3
－＋＝________.
解析：原式＝lg 10－3
＋ln e 1
2
＋2log 232
＝－3＋12＋3
2＝－1.
答案：－1
7．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则
实数a 的取值范围是______．
解析：
问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1. 答案：(1，＋∞)
8．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．
解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－1
4， 当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝2
2时等号成立，
因此函数f (x )的最小值为－1
4.
答案：－1
4
9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12
x .
(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.
解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12
(－x )．
因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 12x ，x >0，
0，x ＝0，
log 1
2
(－x )，x <0.
(2)因为f (4)＝log 1
24＝－2，f (x )是偶函数，
所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．
10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3
2上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，
∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋x >0，
3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2(1＋x )(3－x ) ＝log 2[－(x －1)2＋4]，
∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3
2上的最大值是 f (1)＝log 24＝2.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤
12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎣⎡⎭⎫
13，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1
D.⎣⎡⎭⎫23，1
解析：选A 当0<a <1时， 函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数， 所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0， 即0<4
3－a <1，
解得13<a <43，故1
3
<a <1；
当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数， 所以log a (1－a )>0，
即1－a >1，解得a <0，此时无解． 综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1. 2．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .
(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；
(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，
得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，
令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；
②当t ∈(0,2]时，k <(3－4t )(3－t )t 恒成立，
即k <4t ＋9
t
－15，
因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝3
2时取等号，
所以4t ＋9
t
－15的最小值为－3.
综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)．。