理论力学动力学部分试题及答案

1物体自地球表面以速度眄铅直上抛.试求该物体返回地面时的速度巧・假定空气阻力
R=mkv2,其中k是比例常量，搜数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。

m是物体质V 是物体速度，重力加速度认为不变.
答:叮
解：阻力方向在上升与下降阶段不同（其方向与速度y相反），故
分段考虑
（1）上升阶段：
tn— - -tng一dt
通过坐标变换有加V字二-刃护-加£ ,积分得ax
vdv
（2）下落阶段:
(1)
g
2.静止中心0以引力F=k2mr吸弓I质量是m的质点M,其中k是比例常量，r=OM是
点M的矢径.运动开始时OMo=b,初速度时呵并与阪成
夹角求质点M的运动方程。

x = b cos 处 + —cosasin kt
k
y = —sinasin^
k
解：取坐标如图，质点M在任意位貳将fna = F 沿
x、y轴投彫，得
mx = 一F cos<p= -k2fnrcos （p= -Qmx
fny = 一Fsin cp= -k2fnr sin (p= -k^my
艮卩x+k2x = 0 , y+^2y = 0
徽分方程得通解为：x = s coskt+c2 sin kt
求导得x = -kc x sin kt + kc2 coskt , y = -kc3 sin kt + kc^ cos kt (2)
已知初始条件f=0 z 妒b z /o=0，x0 = v0 sin a ,
代入方程（1），（2）得
点M的运动方程为
v =—cosa
x = 2?cos Ar/ +
—k
cos ar sin kt -I sin asin kt y =c3 cos kt + c^ sin kt (1)
九=v0 sin a
3单摆M 的悬线长/,摆重G 支点B 具有水平向左的均加速度a.如将摆在&=0处静止 释
啟，试确定悬线的张力T （表示成&的函数）.
解：质点的相对徴分方程为 ma r = mg+f +
©
投影到法线方向
由式(2)得
T = Gsin3 + —acos0 + — v 2
g 0
T = G 3 sin + 3 — cos — 2 —
\ g S )
答・ T - G(3sin
3-cos^- 2-) g g
投影到切线方向
= T-Gsin^-0e cosB g !
(2)
由式（1）得 妙=gcos^-usin 0
分离变量并积分
|*V Xiv = \ f geos^10- [ asm Odd v 2 = 2"gsin &+ocos&-a 1
(3)
将式（3）代入上式
代入式（2）得
dt dt
积分得
4.水平面内弯成任意形状的细管以匀角速度G 绕点0转动.光滑小球M 在管內可自由 运动.
设初瞬时小球在吆处，OMo=©相对初速^v o =0,求小球相对速度大小冬与极径r
的关系。

答：齐=G 护-彳 解：取小球为研究对彖，动系固连细管，动系 以匀角速度0绕点o 转动，％、兔、色如图所示. 二吨 + M + 爲 + © + Q 其中Mg 与弘沿铅直方向自行平衡。

式（1）沿切线方向投影得 dt cos a (2)
由图中可知巧二£+竺・2且 dt r (1) dr
—=v r cos a dt 7
由⑴得
幺卩=倉 sin & — / cos &1 一 0 cos & + f sin 0)
5. 一重量为P 的重物A,沿与水平面成Q 角的棱柱的錚面下滑.棱柱沿水平面以加速度 a 向
右运动。

试求重物相对于棱柱的加速度和重物对棱柱斜面的压力，假定重物对棱柱斜面的 滑动摩擦系数为久.
答：a r = g»sin & - f cos&i-a (cos& + /sin •
=炉(COSQ + —sin a)
g
解：取A 为研究对象，动系固连棱柱。

ma = W + F” + F + 0.
w
沿 x 轴投影
—a, =jy S in&-QCOS&-F (1)
g
沿丿轴投影 0=轴一炉cos& — QeSin& (2) EV
(3)
/ \
由(2)得 纬=0cos& + Qsin & 二炉 cos& + ^sin&
I
£
丿
1 •在图示质重弹簧系统中，质星杲m的物块M可以沿光滑水平导杆运动.已知：10g, Ci=Cc=2N/irio求系统的固有频率。

设振幅是2cm,求M的最大加速度。

⑵ 运动分析：M沿水平导杆自由振动，取静平衡位置为坐标原点，x轴方向水平
向右。

（3）受力分析，重力与杆支持力平衡，受水平弹力斥、氏.
（4）列方程求解：物块在任意位置运动徴分方程.
其中爪6+巾=4 %
可见图示相当于两弹簧并联.由（1）式得物块M振动规律
x = AsiniR+a
其中固有圆频率-打岛Ts
/VI •（1）取物块M为研究对象.
wx = 一片一眄=一2] +c2 = -ex(1)
由式(2)得a喚= 0.02x202 =8^/2
2.弹簧的上端固定，下端悬挂两个质量相等的重物Mxs址，当系统处于静平衡时，弹簧被拉长6=4”.现在突然把底除去，求以后M的振动规律.
解：振动系统由重物皿和弹簧组成，在重物作用下，弹簧
的静伸长乞］=*$ = 2^«
取重物皿的静平衡位置为坐标原点0轴x铅直向下*
由ma = F ,投影x轴
fnx = tn x g 一片=G 5门+ x 丨=_
x+k2x = 0
其中
陥的振动方程x = 4sin)竝+ Q)
初始条件则
相角t=0, X Q =①一 Qi = 2cm , x0 = 0
j \2
A = Jx； + —= x. = 2ctn
『l上丿0
上X。

kx. 7T
a = arctg ------ = arctg ------ co =—
為為 2
Q 0
所以x = 2 sin =2 nos 22 \t.cm
=22Arad/s
3.质量m=2000kg的重物在吊索上以匀速v=5 m/s下降.由于吊索突然氓入滑轮的夹子内，其上端被卡住不动. 试求以后重物振动时吊索的最大拉力。

假定吊索上端被卡住以后，下端吊索的弹簧刚度系数c=3920
kN/m,又吊索质量不计.
解：取重物为研究对象，静平衡位苴为坐标原点0, x轴铅
直向下
mx = mg -c'6i -x«= -ex
x-k2x=0
其中"岛慝产"Sd/s
x = Asin 必+ 〃
因为运动初始条件产0, XF0 , x0 =v=5 m/
所以A = + ) = y a= arctg^- = 0
因为振动方程为x = -sin kt
k
吊索最大拉力「=ci3}+A\=mg+— = 2000x9.34- 3920xl°3x5= 462.6k^
k 44.2
4.在弹簧上悬挂质1 m=6kg的物块・当无阻力时，物块的振动周期是*0.4开s；而在有正比于速度一次方的阻力时，振动周期1\=0・5开s・现在把物块从静平衡位置下拉4cm,然后无初速度的释放，求以后物体的振动规律.
解：先求阻尼系数n・
因为丄企川即（書）彳竽）1
n2 = 4，-X — ] = 4,（ ---------------- -- y ------ ]亍=9 , n=3
[T2石2丿10・016亍0.25才丿
有阻尼自由振动规律是
x = +8
运动初始条件t=O时，x°=O・O4m ,爲=0
所以
所以“ 0.0%亠
(A 4
sin 4/ + arctg —
\ )
0.042 +
3x0.04
=0.05 刃
4 arctg
—
m = sin At arctg —
4x0.04、
3x0.04 丿
5.狂码M悬挂在弹簧CB上，弹簧的上端沿铅直方向作简谐运动，f = 2 sin 7Z cm （时间以S计，角度以rad计）・狂码质壘m=0.4kg,弹簧刚度系数c=39. 2N/JH.求M对固定坐标的强迫振动.
解：取弹簧上端不动时物块的平行位苴作为固定坐标轴系的原点，令Ox轴铅直向下。

在任意瞬时t物块m的坐标为x
弹簧变形量："二匕二◎
fnx = mg一（送 + x — f i
C35 = wg, 令k2 =—, 则上式为
m
x + k2x =上2厂sin pt这是无阻尼强迫振动标准微方程.
强迫振动部分为
k2r
X)- p _ 戸2 sin pt
其中e =
m 3 92
一98 , 円，y—2,代入上式0.4
得x2 =
98x2 ・「人.「
: --------- sin 7Z = 4 sin it cm 98"
答x=4sin7t cm 其中
6•质量呼20g的小物块，悬在刚度系数c=3.92 N/m的弾簧上，并受到干扰力
S=0.012sin(pt+J)^a线性阻力R=0.098v的作用，其中S、R以N计，七以s计，pt和J以工ad计，v以m/s计，试间圆频率p等于何值时强迫振动荻得最大振幅？该振幅是多少？
解：小物块的运动方程fnx = mg - F _ R +s
h _______________ 0.6
2皿2 _“22x2.45x7196-2.452 =0.00887 m = 0.887 cm 77/7Z/7/
其中
共振频率
-必+ 0.012sin + 8
x = 2nx + k i x = sin1 Fz + 5 •
u 98
:—= ---------- =2.45
2tn 2xw
0.012 0.012 Ar
= -- r- = U.6 vn20xlQ-3
kt 弓=J上2 _ 2, = J196-2x21452 = 13.6厂吆
共振振幅
7•质m=2kg的质点在恢复力和正弦形扰力作用下沿x轴运动•恢复力F.=- 8x N,扰力S,=0.4cost N.已知：当tR时，Xo=O,试求质点的运动观律。

解：质点运动徴分方程
其中
=mg _ ci6 +xi + 0.4cosf
x + k2x = h cos Pt(1)
f = 2 > Pi
/o J%X '1
M
T ms.
St
式(1)通解x = X] +乃=5 coskt + c2 sin 削 + ― cos pt
k + p
x =5 cos 2i +c sin 2t + —cosZ
1 2 15
x = -2c 1 sin 2t + 2C7 COS 2z~—sin t
1 2 15
把初始条件t=0 , xo=O, x0 =0带入上两式，得
故质点的运动规律
x = —icosz- cos2t• m
15
(4)
4
(3)
fl 2 2 — tnr +r m 12
a )2
1弹簧的刚度系数是C,其一端固连在铅直平面的圆环顶点0,另一端与可沿圆环滑动的
小套环A 相连.设小套环重G.弹簧的原长等于圆环的半径尢 力的功：
（1）套环由4到4；（2）套环由4到弟； （3）套环由厶到4；（4）套环由厶到
解・
3 1丄
（1） 附ppG ，W c =--cr 2 （2） W p =Gr.
吧T4府-
r -r 2 = cr 2U- y[2 *= -0.4<?r 2
■
(3) W p =Gr.叭二cJ 屈一ii= 04^2
(4) J7? = 0,眶=0
2•图（a ）、（b ）s （c ）中的各匀质物体分别绕定轴0转动，图（d ）中的匀质圆盘在水平上 滚动而不滑动。

设各物体的质星都是物体的角速度是0.杆子的长度杲几圆盘的半径杲 r ；试分别计算物体的动能.
卩加卜2 12丿
试求下列各情形中重力和弹性 解・
I •
(1)
(a)
3.质细杆AB 的质量是m,长度是扎啟在铅直平面內.杆的一端A 靠墙壁，另一端沿
地面运动。

已知当杆对水平面的倾角＜P=60°时B 端的速度为心，求杆在该瞬时动能•
解：匀质细杆作平面运动，卩为速度瞬心
2
If 1
+ -----
1
=一 tn
2
=—+—wvi 6 3 18 3 9
3
也可以用下面方法计算:
V 2 \
丿
护丿
4•长为/、质壘为m 的匀质杆以球校链0固定，并以匀角速度0绕铅直线转动，如图所 示.如杆与铅直线的夹角为O 求杆的动能.
5•托架ABC 缓慢地绕水平轴B 转动，当角4=15•时，托架停止转动，质m=6kg 的物 块D
开始沿斜面CB 下滑，下滑距离s=250mm 时压到刚度系数c=1.6N/m 的弹簧上。

已测得 弹簧最大变形A = 50/血•试求物块与斜面间的静摩擬因数和动摩擦因数.
答；/ = 0.268 广= 0.151 解：1、求静摩療系数.
当4=15。

时，物块开始下滑，所以
/ =/ga = Zgl5* = 0.268 2、求动摩擁系数.
取物块D 为研究对象，n=r 2=0.
W g =炖 gs+加 sin 15"
炉刃= -Fjs +加二一广・Ms + ；l 匸一/仏刘％1亍怡+加 W c 二-丄c 护,力“不作功.
2
由
耳-丁\ =苗
0- 0 =加g 〔s +加sin 15* 一/勿geos 15°(s +小一丄卍护
2
=0.151
答：T=-tnl 2a )2 sin 2 &
6
解：先计算杆对轴Z 的转动惯量.
J x = 丫芋(xsin 歼dx= tnl 2 sin 2
杆的动能
叫my 卜鼻兮
\(\
2(3 0.6吨丿 0.960
0.259 —
1600x0,05八
0.6x6x9・8 丿
6•滑轮的质星为Hl],半径为r,可绕光滑水平轴0转动，它对转轴的回转半径为Q.滑轮
上套着不可伸长的柔绳，绳的一端挂着质量为加2的重A,而另一端则用刚度为k的铅直弹簧BD系在固定点D•假设绳与滑轮之间无相对滑动，绳和弹簧的质壘忽略不计，试求物块A的运动微分方程。

答：（fn1— +^2）x+kx= 0
解：设滑轮顺时针转过的角度为休
系统的动能
了=*加0冴+孰尸够=*（加I务+他”够。

（1）
用徽分形式的动能定理dT = Xd t W（或机械能守恒定理）求解.
由式（1）可得幻=（勿—+炖2”曲0
又工NW = [w2g 一上〈爲+r<p)]r- d(p= kr1(pdq>
根据徴分形式的动能定理，得（冷刍~+加2）八如0= 一上尸2奴
W
化简后即得（巾—+w2）r2 $-0 = 一(2)
即：（加】p+%）步+恋=0。

=2
7•在曲柄滑杆机构中，曲柄0A 受常值转矩作用。

初瞬时机构处于静止且角（p=g 试 求曲柄
转过一整转时的角度.假设曲柄长r ，对轴0的转动惯壘是Z 。

；滑块A 的重量是5； 滑道杆的重量是滑块与滑槽间的摩嚓力可认为是常力并等于匸
中行程为s=2rx2=4r
初瞬时71=0
末瞬时，曲柄角速度为3,滑块力速度以
滑道速度 p=v^=VAsin % sin %
爲=— I^a )2 + — —r 202 + — — r 2a )2 sin 2
2 2 g 2 g
=1 l°g + + G 2r 2 sin $ ©
—\I.g + Gf + G 2r 2 sin 2 (p] = 2泌f - 4rF 2g
g\7^/[- 2Fr\ Z.g + G/+ Gjr 2 sin 2 <p
解：取整体为研究对彖，只有转矩M 和滑动摩嚓 力作功•曲柄转动一周，角位移为加，滑块在滑道
&已知轮子半径是r,对转轴0的转动惯量是Z”连杆AB 长人质量是旳，并可看成匀 质细杆；滑块A 质量是加2,可沿光滑直导轨滑动，滑块在最高位置（^=0°）受到徽小扰动 后，从静止开始运动。

求当滑块到达最底位苴时轮子的角速度。

各处的摩嚓不计。

解：取整体为研究对象，系统受理想约束，其反力不作功, 只有m ）g^ m 2g 作功，当滑块在最低位置时，A 是杆的瞬心。

1 — ra> ,
2
歸=0
—'Wjr 2 +3Z 。

•= 2忖叫 +加2 ' 6
V
3
2
1 0 1 0 +勺打0 +空初
25
于_ 1 2丄“ 1 ,。

=2
9.椭圆规机构由曲柄0A 、规尺BD 以及滑块D 组成。

已知曲柄长人质量是加］; 规尺长2d,质壘是2刃］,且两者■都可以看成匀质细杆；两滑块的质量都是加2・整个机构被 放:在水
平面上，并在曲柄上作用着常值转矩M 。

，试求曲柄怖角加速度，各处的摩麋不计。

答=* _________ 理2 ____
（3wj +4 加2 “2
解：取整体为研究对象，只有转矩作功.应用徽分 形式动能定理•
dT = dW
(1)
丫 =乙 + T BD + G + 兀 加招川0,
1 2 1
7^ = --2^(^) +- ------------------------------
■ ■ 1 2 1^2
T £=—tn 2(27cos (p- CD ), 為=—%(2?sin 0 g)
2 2
7= A/2^2(3W1+4W 2)
2
系统动能
B
代入式（1）得卜4加2)=
^0~T~
at
因为—=,
dt 「込
dt
(D
所以£-
元功
(3加1 +4 初
2”
d f W = M o dcp
Id图不机构中，直杆AB质里为m,楔块C的质墜为5，倾角为0。

当AB杆铅垂下降时，推动楔块水平运动，不计各处摩擬，求楔块C与AB杆的加速度.
丸mgtgd
fntg2 & + Wj intg2 0 + 加i
解：取整体为研究对象・任一瞬时
rp 1 2 丄］ 2
T=2^V A£ + 2W1Vc
由％二哄 +»得^A£=v+v r
V C = V AB C^&(1)
所以T=-mv^ + - w^^ctg 2& = 2(w + w i ct S '&)心
》E W = fngds
由dT=^d(W得，
(m + m^ctg19)匕肋・dv^ = mgds,两边同除以加得
mg
a "卫=2
m^myct^ &
式（1）在任何时刻都成立，对■式（1）求导得：a c = a^tg^d
11•在矿井提升设备中，鼓轮由两个固连在一起的滑轮组成，总质量是m,对转轴0的回 转半径是Q ・在半径是厂 1的滑轮上用钢绳悬挂质壘等于加］的平衡锤A,而在半径杲厂2的滑
轮
上用钢绳牵引小车B 沿斜面运动。

小车的质量是加2,斜面与水平
面的倾角杲4。

已知在鼓轮 上作用着转矩城，求小车上运动的加速度和两根钢绳的拉力•
峪+(加门一加2勺sm r x
答：a= --------- j -------- j -------- 5—厂2 乙=加1@__小，
mp +廻q +加2厂2
解：1、由动能定理求小车加速度。

取整体为研究对
象，应用微分形式定理. 丁 二*%X +£(旳Q2)Q2 +g ◎迸
二dW = Modq )+ m\gds\ -tn 2gds 2 sin a
考虑到亍彳,如誓*，代入式⑴得
孚(加2 + 加勺+ 加1 与)=^-(― 4-^g —+w 2g$in a) dt
r ： r ： dt s r 2
(2)取小车为研究对■象。

tn 2a = T £ - w 2gsin a
钢绳的质量和摩撩都不计. dT=T dW (1)
由于 dv 2 ds Q
---- =a 9 dt dt
所以 dv 2 M 。

+ (彩辺一 ”仍 sin <x)g
Q = -------- = ---------------- J ----------- J ----------- 5 ------ ®
dt mp +加1° +加2勺
2、应用质点运动徴分方程求绳的拉力■
(1)取A 为研究对象。

m x a x = “g - T A
乙二初_初pi =初Jg -—a)
T 3 = fn 2 (g sin a + a)
F mig
A TT
T£ = w2u+w2gsin a = w2 (^ + g sin a)
12•匀质轮A的半径m质崑是可在倾角为&的固定斜面上纯滚动•匀质轮B的半
一“gsin & 3W T+m2（沿斜而向上）
径是尸2,质壘罡刃2・水平刚度系数是c.假设系统从弹簧未变形的泣直静止释放，绳与轮B 不打滑，绳的倾斜段与斜面平行，不计绳重和轴承摩瞭；求轮心C沿斜面向下运动的锻大距离以及这瞒时轮心C的加速度.
（沿斜面向上）
3w1+m2
解：取整体为研究对象.
1、求向下运动最大距离j •
71-0.下滑到最大距离时乃・0,
所以鸟丸.
只有弹力和重力作功£炉=皿停
吹• sin & + ^<7'02 -
由T2-T^ZW•得0-0 = W1g^
2加］gsin
3
1、求轮心C的加遠度处
设轮心C沿斜面向下运动的距离为so
珀=0， =^iVc 2
所以£ =如戒 + ~T+'7m3r2 ' ~T
3 2 1 2
=玄刃叫+严％，
£炉=枕］gs sin 0—s
2
/ C
才° %】+ •= ®gs sin & 一㊁s
视s为变重，两边对时间t求导
—• aj 3炖i +fn2• = ®g sin & •匕一cs
2
社=2切呻&-0 将$ =丝竺空代入亀
3m x +m2c
13•物体A质量处挂在不可伸长的绳索上；绳索跨过定滑轮已另一端系在滚子C的轴上，滚子C沿固定水平面滚动而不滑动。

已知滑轮B和滚子C是相同的匀质圆盘，半径都是r,质量都是加2・假设系统在开始处于静止，试求物块A在下降高度h时的速度和加速度.
绳索的质重以及滚动摩阻和轴承摩撩都不计.
3叫gh叫
答：y = - ---- , a = ---------- --- g
叫 + 2加 2
+ 2%
解：取整体为研究对象.
71=0
1
=- •Wj +2加2 »对式（1）两边求导得fl 2、
由
得1 2
—(彩］+ 2m2”= >
2
2 2%0?
V = --------------------
w1 + 2 叫
(1) 9护+丄
2 1 2
v =
2叫gh
m x + 2 加
12
2 尸1+尸2 3M°(p 2fn + 9枕］
14.外啮合的行星齿轮机构放在水平面內，在曲柄0A 上作用着常值转矩来带动齿
轮1沿定齿轮2滚动而不滑动•已知齿轮1和2分别具的质童初］和初2,并可看成半径是卩和 厂2曲匀质圆盘；曲柄貝有质量m,并可看成匀质细杆•已知机构由静止开始运动，试求曲柄
的角速度和转角卩之间的关系.摩擦不计。

答:”丄申：
解：取整体为研究对象•
= ^-ir l+r 2 卩T®+2加
在水平面重力与支承力不作功，有
2/ \
——込 +勺「9加1+2加i= 姙卩
由运功学得知 v A = ^r 1+r 2^
7； =0
15•小球具有质量加=0.2畑，在位置A 时弹簧被压缩乂二15mm.小球从位置A 无初速 地释枚后沿光滑轨道ABCD 运动。

已知厂二150炖刃,求弹簧刚度系数的容许最小值。

答：c = 366N//
解：1.先求小球能沿執道ABCD 运动时在C 点的最小速度々•
在C 点写出小球的动力学方程 小球不脱离轨道的条件杲反力F H >0,即
2.再应用机械能守恒定理求解。

取弹簧不变形位萱为弹性力场的零点位叠，取A 点为重力场的零点位置・
7^ = 0 ，乙护；匚=如记，^=^gx3r
由
乙+乙=7；+耳 得 0 + —c42 = —mv^ +tngx.3r 2 2 c=366^/
在FH 的极限情况下，有住=
F N
-./Z/Z
1•已知条件和动能定理题1相同，试分别计算各物体的动童。

(b) K 二枷。

=0
2.试求下列各物体系的动量：
⑴物体直和B 各重匕和勺，G A >G»滑轮:重G,并可看作半径为r 的匀质圆盘. 不计绳索的质量，试求物体A 的速度是v 时整个系统的动壘.
⑵正方形框架ABCD 的质量杲加I ，边长为人以角速度©绕定轴转动；而匀质圆盘的 质童是血2,半径是门以角速度劭绕重合于框架的对角线BD 的中心轴转动•试求这物体系 的动亜
方向为垂直框架平面，顺着G 】前进方向。

(c) K^mvc^rnY 0)，
(d) K=mvc=mr 0)
V- —v = —•Gy! 一 G B )方向向下。

g g
加I +加2
(a)
⑹
解
3•物体A和B的质壘分别是和血2,借一绕过滑轮C的不可伸长的绳索相连，这两个
物体可沿直角三棱柱的光滑斜面滑动，而三棱柱的底面DE则放:在光滑水平面上•试求当物体A落下高度h=lOcm时，三棱柱沿水平面的位移.设三棱柱的质星初=4血1 = 16加2，绳索和滑轮的质重都不计.初瞬时系统处于静止.
答：向右移动3.77m
解：取整个系统为研究对象.系统的外力只有铅直方向的重力m lg s m2g s mg和法向反力N.又因系统在初瞬时处于静止，故整个系统的质心在水平方向x的位置守恒，即yd 三棱柱移动前系统质心的橫坐标
_ "X] + 刃2^2 +fnx
工加+fn2 +w
设三棱柱沿水平面的位移杲s,则移动后系统质心的横坐标
W J U J一方cot 30" +s,+ w2| x2一一-——sin 30°+s\ ” I
+ 旳x+sl
sin 3CT ____________________ 丿
加]+加2 +加
由;rc-xb得三棱柱沿水平面向右的位移
s =辰宀=逅空X1O = 3.7九畑
fn y+m^+tn 4=1 + 16
4.图示机构中，鼓轮A 质壘为加I ，转轴0为其质心.重物B 的质星为加2,重物C 的质
壘为血纣斜面光滑，倾角为已知B 物的加速度为0求轴承0处的约束反力•
R
答： N°x =加 3—a cos 8+ OT 3gcos^sin 6
尸
N 。

》=（wj +® +F ）£-Fgcos2 & +加3 — asm O-vn^a
r
由质心运动定理
m z a c cos 0 = N 。

* 一 "sin 8 fn 3a c sin
= N 0y 一 （加】+w 2 +w 3）g + Ncos&
R
N QX =企—a cos^ = w 3gcos^sin & r
N» =（加i +w 2 +加3）一 w 3gcos 2 &一加3 — asm O-m 2a
解；取系统为研究对熟
，所以
a
c = ~a
其中N =吗gcos&
解得
仍可猖勺相同的鉛杲.
£ 兮=0,
N 2
= mrCp- mg $in 职
Ew 0(F) = 0,
Z“+ mrlfr - mgrm <P= 0,
目卩
r®= — stn
3r
磁 臥上三式分别与式<1)、(2).(4)相同.
也可以在点0上加懊性力QA-ma,和—叱■<•以及矩为-/矗的惯性力瞰图d ）.
5匀质圆盘將歳呆HV 半径罡r,可集通过辺躱0盘且題直于盘而的水平轴转动.设圆盘 从铢;5位負无初速地开怡处a 0转功,试求当13盘中心C 和轴0的连线经过水平位 轴承G 的总反力的大小. 备 No =乎住
w-i 设园盘的中c 、c ‘吕紬o 的连线吕辂垂线成任奄角匿少. 盘宙旻的外力和浙心的加逵度如图<b ）.
由质心运动定理，有 加：== M + mgcos<p (1)
tna^ = -AZj + wgssi （p
由积分形式的动絶定理，有
(2) -!冲'-0» wg^l-cos^'
2 rq^ = ；g ・l_co 诃 把上时两端对时间I 求号.痔 2申字号沏畔.
0= = — stn 0
di % 也可庄微分形式的动能定理衣出0・通过枳分得e ・ 当©二弓时・把式（3）和⑷分别代入式（】）和⑵，為 N 】=-wg ・ Wj=wg-|wg=|wg. 邑反力N 的大小为 N = J N ；+N ；=
乎
W-I 可由刚你定轴移动懲分方«Z^=Ew/F ）求e 和0
(* 二 mgrsin <p —$tn
因九手字字二竽.枳分有
dt dq> d<p
stn
<pi(p
N
、=柯& -加g cos
6•匀质曲柄0A 重q,长“受力偶作用以角度。

转动，并带动总重的滑槽、连杆和 活塞B 作水
平往复运动.已知机构在铅直面內，在活塞上作用着水平常力F.试求作用在曲 柄0上的最大水平分力.滑块质量和摩擦都不计.
答^ % 冬0 + 202)
2g
解一：取整个系统糊究对象•受力如图a 所示. 将质心运动定理的方程投彫到水平轴x 上,可得
陵厂N 厂F
(1)
其中
_ 工 wx _ Gf0.5rco$ a>l) I Gfb I r co
® = VW = 6+6
['G 、+ 2G 2 旷 COS ar + 2G 2b]
故 心二一 —~~
G + 26 s' cos ax
(2)
2' Gi + G Q I
尿,=工冰=-(Gpi + G^aj c”" = 一 (QT x 彳 + °2 x r<2>2)
购
靶式(2)或式(3)代入式(l),得
当cosuH —1时，作用在曲柄轴0上的最大水平力
代入式；(6),可得作用在曲柄轴0上的水平力
F t = F-—i
G 1 + 2G^cosa )t 9
2g
结果与式(4)相同.
'Gi +2G 2 cosst 2g
(3)
rco
1 2g (4)
解二：用动重定理求解.有
-ro )
2 q + 2(?2 kin aXo
其中质点系的动重X 在轴X 上的投彫
因为勺=㊁厂0,
v A = 灯sina 故
7.匀质杆0A 长2儿重P,绕通过0端的水平轴在竖直水平面內转动.设杆0A 转动到
与水平成卩角时，其角速度与角加速度分别为。

及C 试求该瞬时杆0端的反力.
pi
答：Ng = - — (c? cos0+Esin
N 。

,=
S
解：应用质心运动定理，=
一 ma ； cos (p- ma} sin <p=
ma ； sin cp-ma} cos cp =
一 P
解得
N 。

* =- —(<z>2 cos<p+£sin ◎
g Pl 2 .
N 。

》=P ----- @ sin0-£cos 的
S
1.已知条件和动能定理题1相同，试分别计算各物体对通过点0并与图面
垂直的轴的动
(b)
量矩.设图d 中圆盘和水平面的接触点杲点0-
顺时针
解：(a) (d)
H c +k r = -tnr^ ^mrw-r = -mr A a )
2
H° = l c a )= (-wr 2 +wr 2)(z>2 = —tnr 2a )
3
2
+wr 2)<2>2 = —mr 2a )
2
逆时针
顺时针
P + —((2)2 sin ecos (p) g
2.轮子的质童m=100kg,半径r=lm,可以看成匀质圆盘.当轮子以转速n=120rpm绕定轴C转动时，在杆A点垂直地施加常力P,经过10秒轮子導止.设轮与闸块间的动摩擦因数广= 0.1,试求力P的大小.轴承摩隙和闸块的厚度都忽略不计。

答：P=270^
解：取OA为研究对象
二叫=0 1.5町一3.5P=0 (1)
再取轮子为研究对象,1工=-Fr⑵
即4字二-啊r , 「血"孚⑺ dt仏l c”
积分得,禺"隽⑶
式(3)代入式(1),芥考虑G) =— , l c = —fnr2得
30 2
戸「15 —3” 严—3xl00xFx7rx：20
3.5 JYt 7 2fh 30 7x2x0.1x1x10x30
3.鼓轮的质量® =1800上g,半径厂=0.25加，对转轴0的转动惯量Z 。

= 85.3炀加彳。

现在鼓轮上作用驱动转矩M 。

= 743上“杯 来提升质量加2 = 2700畑的物体儿 试求物体 A 上升的加速虧 绳索的拉力以及轴承0的反力.绳索的质量和轴承的摩嚓都忽略不计. 答：a=0.80m/s 2, T=28.6kN, F 0 = 46.3kN' 解：(1)、求物体A 上升的加速度。

取系统为研究对象，受力如图，应用质点系动壘矩定理 at 2^•= l 0a> +w 2vr , 2他'总、=M 。

一佗gr
1^0) +m^r^= -fn^gr
dt
dv
—=a dt
nil dv M 。

- m 2gr 7.43xl03
- 2700 x9.8x0.25 AO
则 a =不= ------------- = ------ nTo ------------------------- = 0 8
dt 二 + 加2 尸 —+ 2700 X 0.25
r 2 0.25
由于 v = ro )
⑵、求绳索的拉力。

取A 为研究对象
fn 2a = T-fn 2g
mig
T = m^a+g}= 2700x(9.8 + 0.8匕 28£kN
(3)、求轴承C 的反力.
由质心运动定理
F 。

- m 、g - w 2g =刃pi +尬2 = m 2a
F 0 =炖］g + %名 + 加2。

= +叫a + g | = 46.2上"
4.物体D被装在转动惯重测定器的水平轴AB上，该轴上还固连着半径是r的鼓轮E；缠在鼓轮上细绳的下端挂着质量为M的物体C.已知物体C被无初速地絳浹后，经过时间£秒落下的距离是h；试求被测物体对转轴的转动惯量。

已知轴AB连同鼓轮对自身轴线的转动惯
量是Z。

物体D的质心在轴线AB ±,摩湊和空气阻力都忽略不计。

解：对整个系统应用动量矩定理，设被测物体对转轴Z的转动惯量为力^h. = TM z(F] as —z
H z+ ^M^F^Mgr
£ +Z + Mr2 'f= Mgr ,
Mgr
S I. +1+Mr(1)
因为£是常量，且6)o・0,
所以0二+反2,且有人“卩，代入(1)式得
2h
2g 2g 3Gr 3r
5•勻质轮子半径是r,堇壁是G,在水平面上滚动而不滑动，不计滚阻・试间在下列两种 情况F,轮心、C
的加速度是否相等？接触点A 的滑动摩撩力是否相等？（G 轮上作用一个 顺钟向的常值力偶，其力偶矩
是％； （b ）轮心C 上作用一个水平向右的常力，其大小
P = % •答：在这两种情况下轮心C 的加速度相等，a c = ^9滑动摩擦力分别是 r 3r
2M 0 Mo V
解：匀质轮子作平而运动，应用刚体平面运动徴分方程.
<a ）〕屁=据。

（1）
2a =F
CX
C
(2)
其中
1 G
2 r » 2g
式（2）代入（1）得
1 G
2 r
= 2 g
G G G 2姙 F o = —etc =—互= ------------ g = -------
g g g 36 吕 3r (b) J c e = F b r
⑴
耳5 = P-% (2)
由式⑴得F, = —r 2^丄, 代入式(2)得 2g r r 2g
G n G M. G g 2g r 2g
g
2A/
g
3G 2 A/
6.匀质圆盘半径杲r,在铅直面内沿水平直线轨道运龙。

假设初瞬时圆盘貝有水平向右
的平动速度、1・已知鬲盘与轨道间的静滑动摩撩因数是了・试求圆盘开始沿轨道作无滑动的滚动所需的时间＜1,以及此后盘心c的速度。

答r二上」匕］=-v0 9向右）3允3解：圆盘得受力情况和坐标如图•应用平面运动徽分方程得
式（3）积分后得 = ，（其中^ = 0 ）（4）
r
圆盘只滚不滑的条件为衫=询、把（2）、（4）式代入得
6 _ 加］=2fg\ ,
圆盘开始沿轨道作无滑动的滚动所需的时间为勿=丄35g
代入（2）式得此后盘心C速度％］ =v^ =v.-fg•丄 =（向右）
35g 3
(7)
7•匀质滚子质童是IVL 半径杲r,对中心轴的回转半径是Q.滚子轴颈的半径是仓，轴颈 上绕
着绳子，绳端作用着与水平面成角Q 的常力P,设滚子沿水平面作无滑动的滚动；试求 滚子质心的加速度，以及保证滚动而不滑动的条件.
解: 根据刚体平面运动徴分方程，得
= P cos a - F.
(1)
0 = N- Mg + Psin a,
(2)
'£•= Fr -P©。

(3) 又 J =re (4)
把式（1）和式（4）代入代入式（3）,可得加速度
Pr （r cosa-r 0 •
滾而不滑的條件是，
F< JN.
由式（1）得
把式（2）和（7）代入式（6），得滾而不滑的條件杲
F PIP 2 cosa + rr 0 •
J n ---- = ----------------------- X --- Z —
N （观一 psin 8（0+尸2）
(5)
(6)
… R
P MCOSQ -：
P 2 cos a + rr Q
P 2+r 2
&匀质杆AB 长人质壘是杆的一端系在绳索BD 上，另一端搁在光滑水平面上.当 绳沿铅直而杆静止时杆对水平面的倾角＜P=45\现在绳索突然断掉，求在刚断后的瞬时杆端
2
為的约束反力.答：N 沪土驱
解一二杆AB 作平面运动，可用刚体平面运动徴分方程求解. 取坐标轴Oxy 如图，有
(1) (2)
儿=£ sm (p,
亢=#0cos0 九=?©cos0— b stn ©I (3)
D
B
r A
当t=D 时，0=0,故月= *0cose ，辔虑式(2)的®有
../ ( 62^cos (p\ 3AT-cos 2
代入式(1),得A 端的约束反力
xr Mg Mg 2
N A = T -T ~— = —T = ^Mg
l + 3cos (p 1 丄 3 5
1 +
2
解二 设杆的角加速度£为顺时针方向，坐标系勿如图，耳
胚门=0, 初二常数二0,故小T 产常数
= N R - Mg,
(计2卜嗚心即"竺册
由式 ⑷ 知，质心C 的加速度比与轴平行，取A 为基点，W
(5)
因初角速度是零, 代入式(5),得 故A 端的约束反力
故a^ = ACxa )2 = 0,加速度关系如图c,有 x 1
a Q = -a c = cos©= —Ecoscp
2 6Ncos 0|_ _ 3Ncos? (p ~Ml -丿__ M 1_
2
9•匀质鬲柱的质量是加半径是人求当这區1柱沿半径是心的圆槽滚动而不滑动时圆槽对凰柱的
法向反力和摩擦力，并求保证圆枉不滑所需的最小滑动摩嚓因数假设开始时0C 。

线对铅直线 所成偏角％二60-,且圆柱彼无初速地释放•
答：N A = -Mg(7cos<p- 4cos) ,F A = i AZgsin cp 、 0.577
解：圆柱作平面运动.其质心沿半径等于(")的圆弧运动；受力如图所示。

质心加逮度投彩 到质心轨迹的法线和切线方向得
(3)式中0)和对质心力矩以顺时针为正，但0、0、0以逆时针为正.
副柱滚而不滑，A 为速度瞬心，有匕=可一厂0二尸G (4)
y* — r
式(4)代入(3)得 上刃尸2( —)0=-巧尸,即上加遇■尸0=-乞
2 r 2
把上式与(2)式相加，消去以得
(5)
sin 如 ©
式(5)、(5)分别代入⑴、(2)得
F N = iwg'7cos <p-4cos (p e )> F A
为了保证滚而不滑 F A §F“ >即/>^- = -~竺纟——
7 cos 0-4 cos 铐
显然，©越大，则所要求的/也越大•为了保证运动全过程中圆柱不滑动，上式中©应取 最大值夠。

从而/王
£增耗
代入©=60・则得 />^ = 0.577
则园柱的平面运动徽分方程为
m^r x 一小疔=F”-mg cos cp
m^r x 一 r 、e= F A - wgsin (p
(2；
注意:
积分得
& _ 4g<cos<p- cos^,)
(6)
1
=-wgsin (p
$=丹&・么」=-/Mg
10•勻IBE 睢粹的&雷燉m,在且申部绕有细胃，岁於上MB 直宦不动.现在把EB 拄粹虫邸止
舷・试求下珞禹度h 时.质心的遇废、加违0E 以及想矣的疸力S
・
紀死代入t <1）得投力
*-«用谜定理易一若二乙炉承刃和〜其中歸-o ・而
代入得
应电达朗怕臣現i£B b ）,加價性力。

—枫範矩为一沧的傲性力曲丘・H
应电物力TSS758® c).妹一tflcS 位楞&切2・tflfiE«
F+0' <>・0・肖
签，Y 严护硕・a r = -g 價f 刚忡平而运幼徽分方徨 ma t = wg -
(1>
耙式<2h <3）代入式（1> # «HQ <®
叫=住-号叫.
*4
勺="・
再解魁对园注鞘束.朋束力S 盲为主幼力•购 园住向下?）平幼虚位修&有
*mg - ma < - s 缶
=0
:嘉
1
代入需
（4〉得
•T 三:
(4>
Z/j =厶 e =(扌皿，+ w 3^ —
ft
£楙▲（力工0
■啊-网gy I 尹尸
S + ma i -吨=0
MS. • -wg
・0・刑
01
11 •管子做成半径是r 的铅直圆环，对圆环直径的转动惯量杲Z,
以角速度绕定轴自由转 动•在管子内最高点A 敢一质壘是m 的
小球.由于微小扰动使小球离开点A 而沿管下落，试
求当小球到达点B 和C 时，圆环的角速度以及小球的绝对速度•摩探不计.
V
B =
% = 0，匕二2肠
解：取整个系统为研究对象。

系统对轴Z 的动量矩守恒，即
la ）= Ia ）B +fnr 2a ）B （1）
小球到达点B 时圆环的角速度
03=才+初厂2 0
当小球由A 运动到B 的过程中，对整个系统应用动能定理，有
丄曲— 丄 Ze? = mgr （2）
2 2
把旳的值代入式（2）,求得小球到达点B 时小球的绝对速度
Z (2Z +加厂 2j • Z+wr 2 F
用同样的方法写出方程（1）和（2）,可以求得小球到达点C 时的对应值
2旷+沧心+驾） （Z+朋）
因为该系统的所有外力对转轴Z 的矩都等于零，故
2mgr -la?
(7+wrV
^2gr +rT。