信号与系统第三章PPT课件
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③ 在任何单个周期内，只有有限个第一类间断点， 且在间断点上的函数值为有限值。
.
它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的 信号都能满足Dirichlet条件，因而用傅里叶级数表 示周期信号具有相当的普遍适用性。
几个不满足Dirichlet条件的信号
.
三.Gibbs现象 满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
.
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运
动
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示
1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
.
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ) ,若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
利用齐次性与可加性，有
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
.
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
.
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
第k次谐波 e jk 0t 的周期为
.
T0
2 0
2 Tk k 0
成谐波关系的复指数信号之和
x(t) akejk0t k
傅里叶级数表示
信号周期为
T 2 0
傅里叶级数系数
.
例1：
x(t)cos0t
1ej0t 2
1ej0t 2
该信号中，有两个谐波分量，a 1 分量的加权因子。
1 2
为相应
对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为
ak
1 T
x(t)ejk0tdt
T
a0
1 T
x(t)dt
T
a 0 是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。
.
三.频谱（Spectral）的概念
信号集 k ( t ) 中的每一个信号，除了成谐波关系
外，每个信号随时间 t 的变化规律都是一样的，
差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间 的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。 因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度， 用线段的位置表示相应的频率
.
分量e j 0 t 可表示为
1
0
cos0t
1(ej0t 2
ej0t)
1
1
2
2
0 0
0
因此，当把周期信号 x ( t ) 表示为傅里叶级数
x(t) akejk0t时，就可以将 x ( t ) 表示为 k
这样绘出的图 称为频谱图
.
频谱图其实就是将 a k 随频率的分布表示出来，
即 关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研
.
1822年 傅立叶 “热的分析理论” 中提出并证明周期函数的正弦
级数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础
1829年 P.L狄里赫利 周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件
19-20世纪 两种傅立叶分析方法--连续与离散
1965年 Cooley & Tukey (IBM) 发明FFT 算法
.
2T1 1 T0 8
T 1 不变 T 0 时
.
2T1 1 T0 2 2T1 1 T0 4
2T1 1 T0 8
.
例2： x(t)co s 0 t2co s3 0 t
1[ej0tej0t]ej30tej30t 2
在该信号中，有四个谐波分量，即 k1,3,
时对应的谐波分量。
连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多 个复指数谐波分量的线性组合?
.
二.连续时间傅里叶级数的系数确定
如果周期信号 x ( t ) 可以表示为傅里叶级数
.
系统对某一输入信号的响应：一个常数×输入信号
y(t)H(s)est
系统的特征值
系统的特征函数
y(n)H(z)zn
.
❖ 系统的特征值
H(s) h(t)estdt
H(z) h(n)zn
k
y ( t) e s ( t ) h () d e s t h () e s d H ( s ) e s t
何收敛于x ( t ) 的。特别当 x ( t ) 具有间断点时，在间 断点附近，如何收敛于x ( t ) ?
.
N 1
N 7
.
N 3 N 19
N 100
.
Gibbs现象表明： 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间 断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅 度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的 增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使
a0
1 T0
T1 1dt2T1
T1
T0
.
其中
Sa(x) sin x x
1 Sa(x)
x
0
根据
a
k
可绘出 x ( t )
的频谱图。2 T 1
.
T0
称为占空比
ak2 T T 01sin k k 0T 0 1T12 T T 01Sa(k0T)
T 0 不变T 1 时
.
2T1 1 T0 2
2T1 1 T0 4
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
y (n ) zn kh (k ) zn h (k )z k H (z)zn
k
k
结论：复指数函数是一切LTI系统的特征函数 .
离散时间LTI系统的单位脉冲响应 时不变性
[n]
LTI
[n k]
齐次性
x[k][nk]
LTI
可加性
x[k][n k]
LTI
k
h[n ] h[n k]
.
Dirichlet条件：
①在任何周期内信号绝对可积，即 x(t) dt T0 a kT 1 0T 0x(t)ejk 0 t d tT 1 0T 0x(t)d t 因此，信号绝对可积就保证了 a k 的存在。
② 在任何单个周期内，只有有限个极值点，且极 值为有限值。（最大值和最小值数目有限）
a2a21 2， 2＝ 4， － 2＝4－
.
例2：对称周期方波信号
x (t)1t Nhomakorabea确定T0
T0
的傅里叶级数系数。
a k T 1 0 T T 1 1 e jk 0 td t jk 1 0 T 0e jk 0 tT 1 T 1 2 s k in k 0 T 0 0 T 1
2TT 01sin k k 0T0 1T12TT 01Sa(k0T)
y (n ) zn kh (k ) zn h (k )z k H (z)zn
k
k
易求LTI系统对复指数信号的响应
这说明 e s t 和 z n 符合对单元信号的第一项要求 .
特征函数与特征值
❖ 如果系统对某一输入信号的响应只是该输入信号 乘以一个常数，则称该输入信号是这个系统的特征 函数，该常数称为与该信号有关(相对应)的特征值
一. 连续时间傅里叶级数 回顾：连续复指数信号的周期
对一个复指数信号e jt ，要成为具有周期为T 0 的周
期信号的必要条件：
ejT0 1
定义 有
2k T0
0
2 T0
(k0,1,2)
k0 .
成谐波关系的复指数信号
基波频率
k(t)ejk0t , k0,1,2
成谐波关系的复指数信号集合
基波周期为
从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足：
➢本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 ➢具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
傅立叶分析方法：
➢出发点：将信号表示成一组基本信号的线性组合； ➢基本信号为复指数信号； ➢信号表示为连续时间和离散时间的傅立叶级数与傅立叶变换。
.
3.1 历史的回顾 （A Historical Perspective）
x(t) akejk0t k
则有
x(t)ejn0t
aej(kn)0t k
k
对两边同时在一个周期内积分，有
0 T 0x(t)ejn0tdtak
e dt T 0 j(kn)0t
0
k
.
T0 0
x(t)ejn0tdtanT0
即
1
an
T0
T0 x(t)ejn0tdt
0
在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
❖ 考查LTI系统对复指数信号 e s t 和 z n 的响应
e st
h (t)
y (t) z n
h (n )
y (n )
由时域分析方法有，
y ( t) e s ( t ) h () d e s t h () e s d H ( s ) e s t
ak ak 或 ak* ak
.
——傅里叶级数的三角函数表示式 .
——傅里叶级数的另一种三角函数形式
.
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性 问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里 叶级数。
一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似
对任何周期信号 代入左式都可
.
傅立叶 1768-1830 (Fourier, Jean Baptiste Joseph) 法国数学家、物理学家
•最早使用定积分符号 •改进符号法则、根数判别方法 •傅立叶级数创始人
➢1807 《热的传播》 ➢1822 《热的分析理论》 ➢傅立叶级数、分析等理论
.
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
2 j
2 j 2
2
a 0 1 ， a 1 1 2 1 j 1 1 2j， a 1 1 2 1 j 1 1 2j
a 2 1 2 ej 44 2 (1 j)， a 2 1 2 e . j 44 2 (1 j)， a k 0 ，k 其
a 0 1 ， 0 0 ； a 1 a 12 5 ， 1 ＝ ar1 2 ， c－ t1 ＝ g ar1 2 ctg
ak
1 T
x(t)ejk0tdt
T
求得傅里叶系数 。某些情况下， 左式的积分可能不收敛，即求得的
无穷大 。
.
x(t) akejk0t k
求得的全部 都是有限值，代入左 式所得的无限项级数也可能不收敛 于。
二. 傅里叶级数的收敛
傅里叶级数收敛的两层含义：
① a k 是否存在?
② 级数是否收敛于 ?
第3章 周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Periodic Signals
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质
.
3.0 引言 Introduction
时域分析方法的基础： 信号在时域的分解；LTI系统：满足线性、时不变性
x ( t ) y ( t ) a 1 H ( s 1 ) e s 1 t a 2 H ( s 2 ) e s 2 t a 3 H ( s 3 ) e s 3 t
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n) akZkn
k .
y(t) akH(sk)eskt
k
y(n) akH(Zk)Zkn
究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示
信号的方法称为频域表示法。
四.傅里叶级数的其它形式
若x ( t ) 是实信号,则有 x(t)x(t)，于是
x ( t) k a k e jk 0 t * k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t
它所占有的能量减少。
.
例1：周x (t期) 信1 号sin t 2 c o t s co 2 ts () 3 3 34
试确定 的傅里叶级数系数。
解： 由题 的基波周期为
x ( t) 1 1 ( 1 2 1 j( 1 e j ) 3 e tj 3 te ( j 1 3 t ) 1 ( e )e j 3 t j 3 t e (j 1 3 t e ) j 4 ) 1 2 e j 2 e 3 tj( 2 3 ( t 1 4 e ) j 4 e ) e j (2 j3 2 3 t t 4 )
.
它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。相当广泛的 信号都能满足Dirichlet条件，因而用傅里叶级数表 示周期信号具有相当的普遍适用性。
几个不满足Dirichlet条件的信号
.
三.Gibbs现象 满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数是如
• “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
.
傅立叶分析方法的历史
古巴比伦人 “三角函数和” 描述周期性过程、预测天体运
动
1748年 欧拉 振动弦的形状是振荡模的线性组合
1753年 D·伯努利 弦的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示
1759年 拉格朗日 不能用三角级数来表示具有间断点的函数
x[k]h[nk]
x[k]h[n k]
k
.
对时域的任何一个信号 x ( t ) 或者 x ( n ) ,若能将其
表示为下列形式： x(t) a 1 es1 t a 2 es2 t a 3 es3 t
由于 es1t H(s1)es1t
es2t H(s2)es2t
es3t H(s3)es3t
利用齐次性与可加性，有
k
例： y(t)x(t3) ❖ 系统输入为 x(t) ej2t
系统 H(s) ? y(t) ?
H(s) h(t)estdt
❖ 系统输入为 x(t)cos(4t)cos(7t)
系统 y(t) ?
.
*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 线性组合来表示？
.
3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
第k次谐波 e jk 0t 的周期为
.
T0
2 0
2 Tk k 0
成谐波关系的复指数信号之和
x(t) akejk0t k
傅里叶级数表示
信号周期为
T 2 0
傅里叶级数系数
.
例1：
x(t)cos0t
1ej0t 2
1ej0t 2
该信号中，有两个谐波分量，a 1 分量的加权因子。
1 2
为相应
对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为
ak
1 T
x(t)ejk0tdt
T
a0
1 T
x(t)dt
T
a 0 是信号在一个周期的平均值，通常称直流分量。
.
三.频谱（Spectral）的概念
信号集 k ( t ) 中的每一个信号，除了成谐波关系
外，每个信号随时间 t 的变化规律都是一样的，
差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间 的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。 因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度， 用线段的位置表示相应的频率
.
分量e j 0 t 可表示为
1
0
cos0t
1(ej0t 2
ej0t)
1
1
2
2
0 0
0
因此，当把周期信号 x ( t ) 表示为傅里叶级数
x(t) akejk0t时，就可以将 x ( t ) 表示为 k
这样绘出的图 称为频谱图
.
频谱图其实就是将 a k 随频率的分布表示出来，
即 关系。由于信号的频谱完全代表了信号，研
.
1822年 傅立叶 “热的分析理论” 中提出并证明周期函数的正弦
级数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础
1829年 P.L狄里赫利 周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件
19-20世纪 两种傅立叶分析方法--连续与离散
1965年 Cooley & Tukey (IBM) 发明FFT 算法
.
2T1 1 T0 8
T 1 不变 T 0 时
.
2T1 1 T0 2 2T1 1 T0 4
2T1 1 T0 8
.
例2： x(t)co s 0 t2co s3 0 t
1[ej0tej0t]ej30tej30t 2
在该信号中，有四个谐波分量，即 k1,3,
时对应的谐波分量。
连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多 个复指数谐波分量的线性组合?
.
二.连续时间傅里叶级数的系数确定
如果周期信号 x ( t ) 可以表示为傅里叶级数
.
系统对某一输入信号的响应：一个常数×输入信号
y(t)H(s)est
系统的特征值
系统的特征函数
y(n)H(z)zn
.
❖ 系统的特征值
H(s) h(t)estdt
H(z) h(n)zn
k
y ( t) e s ( t ) h () d e s t h () e s d H ( s ) e s t
何收敛于x ( t ) 的。特别当 x ( t ) 具有间断点时，在间 断点附近，如何收敛于x ( t ) ?
.
N 1
N 7
.
N 3 N 19
N 100
.
Gibbs现象表明： 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间 断点附近会不可避免的出现振荡和超量。超量的幅 度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的 增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使
a0
1 T0
T1 1dt2T1
T1
T0
.
其中
Sa(x) sin x x
1 Sa(x)
x
0
根据
a
k
可绘出 x ( t )
的频谱图。2 T 1
.
T0
称为占空比
ak2 T T 01sin k k 0T 0 1T12 T T 01Sa(k0T)
T 0 不变T 1 时
.
2T1 1 T0 2
2T1 1 T0 4
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人 不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为之献 出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在科学的 领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我 们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长 的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对， 也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法 在许多领域已发挥了巨大的作用。
y (n ) zn kh (k ) zn h (k )z k H (z)zn
k
k
结论：复指数函数是一切LTI系统的特征函数 .
离散时间LTI系统的单位脉冲响应 时不变性
[n]
LTI
[n k]
齐次性
x[k][nk]
LTI
可加性
x[k][n k]
LTI
k
h[n ] h[n k]
.
Dirichlet条件：
①在任何周期内信号绝对可积，即 x(t) dt T0 a kT 1 0T 0x(t)ejk 0 t d tT 1 0T 0x(t)d t 因此，信号绝对可积就保证了 a k 的存在。
② 在任何单个周期内，只有有限个极值点，且极 值为有限值。（最大值和最小值数目有限）
a2a21 2， 2＝ 4， － 2＝4－
.
例2：对称周期方波信号
x (t)1t Nhomakorabea确定T0
T0
的傅里叶级数系数。
a k T 1 0 T T 1 1 e jk 0 td t jk 1 0 T 0e jk 0 tT 1 T 1 2 s k in k 0 T 0 0 T 1
2TT 01sin k k 0T0 1T12TT 01Sa(k0T)
y (n ) zn kh (k ) zn h (k )z k H (z)zn
k
k
易求LTI系统对复指数信号的响应
这说明 e s t 和 z n 符合对单元信号的第一项要求 .
特征函数与特征值
❖ 如果系统对某一输入信号的响应只是该输入信号 乘以一个常数，则称该输入信号是这个系统的特征 函数，该常数称为与该信号有关(相对应)的特征值
一. 连续时间傅里叶级数 回顾：连续复指数信号的周期
对一个复指数信号e jt ，要成为具有周期为T 0 的周
期信号的必要条件：
ejT0 1
定义 有
2k T0
0
2 T0
(k0,1,2)
k0 .
成谐波关系的复指数信号
基波频率
k(t)ejk0t , k0,1,2
成谐波关系的复指数信号集合
基波周期为
从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满足：
➢本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 ➢具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。
傅立叶分析方法：
➢出发点：将信号表示成一组基本信号的线性组合； ➢基本信号为复指数信号； ➢信号表示为连续时间和离散时间的傅立叶级数与傅立叶变换。
.
3.1 历史的回顾 （A Historical Perspective）
x(t) akejk0t k
则有
x(t)ejn0t
aej(kn)0t k
k
对两边同时在一个周期内积分，有
0 T 0x(t)ejn0tdtak
e dt T 0 j(kn)0t
0
k
.
T0 0
x(t)ejn0tdtanT0
即
1
an
T0
T0 x(t)ejn0tdt
0
在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可，
3.2 LTI系统对复指数信号的响应
❖ 考查LTI系统对复指数信号 e s t 和 z n 的响应
e st
h (t)
y (t) z n
h (n )
y (n )
由时域分析方法有，
y ( t) e s ( t ) h () d e s t h () e s d H ( s ) e s t
ak ak 或 ak* ak
.
——傅里叶级数的三角函数表示式 .
——傅里叶级数的另一种三角函数形式
.
3.4 连续时间傅里叶级数的收敛
这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性 问题，即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里 叶级数。
一. 傅里叶级数是对信号的最佳近似
对任何周期信号 代入左式都可
.
傅立叶 1768-1830 (Fourier, Jean Baptiste Joseph) 法国数学家、物理学家
•最早使用定积分符号 •改进符号法则、根数判别方法 •傅立叶级数创始人
➢1807 《热的传播》 ➢1822 《热的分析理论》 ➢傅立叶级数、分析等理论
.
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点
2 j
2 j 2
2
a 0 1 ， a 1 1 2 1 j 1 1 2j， a 1 1 2 1 j 1 1 2j
a 2 1 2 ej 44 2 (1 j)， a 2 1 2 e . j 44 2 (1 j)， a k 0 ，k 其
a 0 1 ， 0 0 ； a 1 a 12 5 ， 1 ＝ ar1 2 ， c－ t1 ＝ g ar1 2 ctg
ak
1 T
x(t)ejk0tdt
T
求得傅里叶系数 。某些情况下， 左式的积分可能不收敛，即求得的
无穷大 。
.
x(t) akejk0t k
求得的全部 都是有限值，代入左 式所得的无限项级数也可能不收敛 于。
二. 傅里叶级数的收敛
傅里叶级数收敛的两层含义：
① a k 是否存在?
② 级数是否收敛于 ?
第3章 周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Periodic Signals
Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 Ⅲ. 傅立叶级数的性质
.
3.0 引言 Introduction
时域分析方法的基础： 信号在时域的分解；LTI系统：满足线性、时不变性
x ( t ) y ( t ) a 1 H ( s 1 ) e s 1 t a 2 H ( s 2 ) e s 2 t a 3 H ( s 3 ) e s 3 t
即： x(t) akeskt
k
同理： x(n) akZkn
k .
y(t) akH(sk)eskt
k
y(n) akH(Zk)Zkn
究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示
信号的方法称为频域表示法。
四.傅里叶级数的其它形式
若x ( t ) 是实信号,则有 x(t)x(t)，于是
x ( t) k a k e jk 0 t * k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t k a k e jk 0 t
它所占有的能量减少。
.
例1：周x (t期) 信1 号sin t 2 c o t s co 2 ts () 3 3 34
试确定 的傅里叶级数系数。
解： 由题 的基波周期为
x ( t) 1 1 ( 1 2 1 j( 1 e j ) 3 e tj 3 te ( j 1 3 t ) 1 ( e )e j 3 t j 3 t e (j 1 3 t e ) j 4 ) 1 2 e j 2 e 3 tj( 2 3 ( t 1 4 e ) j 4 e ) e j (2 j3 2 3 t t 4 )