材料力学第五版第三章分解
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3)计算应力：AC段横截面边缘处
外 AC IT P 1D 27.91 5 1 9 8 0 9 0.01 3 5.5 7 MPa
CB段横截面内、外边缘处切应力分别为：
内 CBITP2
d 199
2 6.38108
0.0131.2MPa
外 CBITP2
D 199 2 6.38108
0.01546.8MPa
P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩
图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M 1 ( 9 .5 1 5 3 3 5 0 ) N 0 0 m 1 0 0 .9 1 5 3 N 0 m 1 .9 k 5 m N M 2 M 3 ( 9 . 5 1 3 5 1 3 0 ) N 5 0 m 4 0 0 . 7 1 3 8 N 0 m 4 . 7 k 8 m N M 4 ( 9 .5 1 5 3 3 2 0 ) N 0 0 m 0 0 6 .3 1 7 3 N 0 m 6 .3 k 7 m N
第二节 薄壁圆筒的扭转
2 实验后： ① 圆周线不变
② 纵向线变成螺旋线
3 结果： ① 圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截 面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不 变，满足平面假设。
② 各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度γ
③ 所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形
例 画出图示杆的扭矩图
4kN·mⅠ 6kN·mⅡ 8kN·mⅢ 6kN·m
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
2m 2m 1m 3m
6kN·m
4kN·m
2kN·m
解：
Ⅰ—Ⅰ截面
m0
T1 4 0 T14kNm
Ⅱ—Ⅱ截面
m0
T2640
T22kNm
Ⅲ—Ⅲ截面
m0
T3 6 0 T3 6kNm
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
M x 0 , M A T 1 0 ,T 1 M A 3N 0 m 00 M x 0 , M A M B T 2 0 , T 2 M A M B 1 N 2 m 00
•扭矩图( Torsion torque graph)
当轴上同时作用有几个外力偶矩时，各截面上的扭矩是不同的， 为了确定最大扭矩的所在位置，以便找出危险截面，在工程实际中 常用一个图形来表示各横截面上的扭矩沿轴线随横截面位置变化的 规律，这种图形称为扭矩图。
扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力 偶矩可通过传动功和转数来换算
若传动轴的传动功率为P，每分钟转数为n
Me
9550P(Nm) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
P
Me
7024 (Nm) n
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
2、扭矩( Torsion torque )
4.78 6.37
15.
4.78
9
思考题： 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图并找出危险 截面。
解：①计算外力偶矩
M 195P n 5 10 953 5 50 0 01 0 05.9 m (k)N M 2 M 3 95 P n 2 5 90 5 1 35 5 0 4 .0 7 0 0 (8 k m N) M 4 95 P n 4 5 90 5 3 250 0 6 0 .3 0 0(7 k m N)
2.将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点
3.用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受 力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画
4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上标出数值和正负号
附例：一传动轴如图，转速 n300rmin；主动轮输
入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：
纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而
无正应力作用
四、剪切虎克定律
单元体ab边的倾角γ称为切
y
´
a
b
应变，切应变是单元体直角的该 dy
变量，实验表明，在弹性范围内，
´
x
切应力与且应变成正比，即：
c
d
t
G
z
dx
G：剪切弹性模量
第二节 薄壁圆筒的扭转
剪切弹性模量G、与弹性模量E和泊松比μ一样， 都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料， 这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系：
66.7MPa[]70MPa
故轴满足强度条件
如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴，并使其与钢管 有同样的强度（即两者的最大应力相同），则由
d D
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
三、圆轴扭转时的强度条件
max
T Wt
[ ]
一轴AB传递的功率为Pk=7.5kW，转速n=360r/min。轴的AC 段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=3cm，d=2cm， 试计算AC段横截面边缘处的切应力和CB段横截面上外边缘和 内边缘处的切应力。
第三章 扭转
§ 3-1 工程实际中的扭 转问题
§ 3-1 工程实际中的扭转问题
汽车传动轴
§ 3-1 工程实际中的扭转问 题
汽车方向盘
第一节 扭转的概念
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，也称为剪应变或切应变
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直 于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产 生相对转动。 两力偶大小相等，转向相反
T
T
m ax
实心圆截面切应力分布图
m ax
空心圆截面切应力分布图
T 最大切应力在外圆处 IP
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
5 最大切应力
令： Wt
IP max
max
T max
IP
称为抗扭截面系数
单位：m 3
实心圆截面： 空心圆截面：
max
T Wt
Wt
D3 16
W t 1 D 63(1D d4 4)1 D 63(14)
第二节 薄壁圆筒的扭转
二、薄壁筒切应力
薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有 正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚 分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线方向与扭矩转 向一致
AdAr0 T
r0A d A r02 r0t T T
T T 2r02 t 2A0t
A0为平均半径所作圆的面积
②求扭矩（扭矩按正方向设）
T 1 M 2 4 .7k8 N m
T 2 M 2 M 3 ( 4 . 7 4 . 7 8 ) 8 9 . 5 k 6 m N
T 3M 46.3k 7N m
③绘制扭矩图
T 9.56 kN m max
BC段为危险截面。
2 试绘制扭矩图，说明图中轴上3个轮子如何布置比较合理？
G E
2(1 )
§3-3 扭转时的内力
1、外力偶矩( Torsion couple )的计算
电机传递扭矩 转动机器
匀速转速—n转/分钟
输出功率—Pk千瓦
m
求外力偶矩m
解:
《出发点 —— 计算一分钟的功 W 》
从电机看 WP k(千瓦 6（ ） 0 秒 ）
从扭矩看
P k(10牛 00顿 /秒 米 ） 6（ 0 秒） Wm(牛顿米 （ ）弧度 ）
m(牛顿米 2） n（弧度）
两式得扭矩
m620n0N00955P nk0(牛顿米）
m
可以看出，轴所承受的力偶矩与传递的功率 成正比，与轴的转速成反比。因此，在传递同 样的功率时，低速轴所受的力偶矩比高速轴大。 所以在一个传动系统中，低速轴的直径要比高 速轴的直径粗一些
第3节 扭转的内力——扭矩与扭矩图
变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动，任意 两横截面间产生相对的角位移（扭转角）
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都 是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
第二节 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验
1 实验前： ① 绘制纵向线，圆周线
② 两端施加一对外力偶Me
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
例题1 已知空心圆截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm，求 最大、最小切应力。
解：
max
T Wt
16
T D 3 (1
d D
4 4
)
m ax m in
16 1000
4
3 [1
1 2
4
]
84.9M
Pa
T
m inm axD d 8 4 .9 1 24 2 .4 5 M P a
杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面 平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩
•扭矩的符号确定：
采用右手螺旋法则，如果以右手四指表示扭 矩的转向，则拇指指向截面离开截面时的扭矩 为正；反之，拇指指向截面时则扭矩为负。
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
注意：当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一 般而言，各段截面上的扭矩是不同的，必须分段 求出，其一般步骤为：“假截留半，内力代换， 内外平衡”。例：
解：把3个轮子可能的布置情况都画出 来，然后分别画出其扭矩图，比较哪种布 置时Tmax为最小，则哪种布置就合理。
1.5kN·m 0.5kN·m
0.5kN·m 1kN·m
1.5kN·m 1kN·m
1kN·m 0.5kN·m
0.5kN·m 1.5kN·m
1kN·m 1.5kN·m
第3节 扭转的内力——扭矩与扭矩图
第二节 薄壁圆筒的扭转
三、切应力互等定理 y
´
a
b
dy
x
´
c
d
mz 0
z
(td y )d x '(td x )d y '
t dx
切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，
切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两
平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交
线
第二节 薄壁圆筒的扭转
解：(1)计算扭矩 轴所受的外力偶矩为：
m 95P k5 9 057 .5 5 0 19 N m 9 n 360
各截面上的扭矩均为：
Tm 1N 9m 9
(2)计算极惯性矩：AC段与CB段分别
为 IP13 D 42 3.13 43 247.9c5m 4
IP 2 3D 2 4 d 4 3 3 .12 3 4 横坐标平 行于轴的轴线，表示横截面的位置， 纵坐标表示扭矩的代数值，然后将 各横截面的扭矩按代数值标注于坐 标上，即得此轴的扭矩图。
由图可以看出：在集中力偶的作用面，扭矩发生突变，其突变值 等于集中力偶值的大小。
第3节 扭转的内力——扭矩与扭矩图
扭矩图的画法步骤：
1.画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线
2. 计算各段的扭矩 BC段内：T 1 M 2 4 .7k 8N m
CA段内：T 2 M 2 M 3 9.k 5N m 6(负) AD段内：T 3M 46.3k 7N m
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
一、等直圆杆扭转实验观察
1 横截面变形后仍为平面，满足平面截面假设 2 轴向无伸缩，横截面上没有正应力 3 纵向线变形后仍为平行线
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
二、等直圆杆扭转横截面上的切应力O1
O2
O1
O2
A B
B’
D
C
C’
dx
a
b
d
b’ c
d
A
B
c’
B’
D
C
C’
dx
1 变形的几何条件 横截面上b点的切应变 bb' d
dx dx
d 单位长度扭转角
dx
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
2 物理条件（剪切胡克定律）
横截面上b点的切应变： G
GG
3 静力条件
T AdA AG2dA
τdA b dA
ρ
G A2dAGIP
IP
2dA 称为截面对圆心的极惯性矩
A
O2 T
T IP
T G IP
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
4 极惯性矩
I P
2dA
A
D
2 2 2 d 0
O
D4
32
D
环形截面：
IP
(D4
32
d4)
d D
极惯性矩单位：m4
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点 切应力τ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂 直于圆的半径，且与扭矩的转向一致
已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T=1930N.m，传动 轴用外径D=89mm，壁厚δ=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢， 其许用应力[τ]=70MPa。校核此轴的强度。
解：（1）计算抗扭截面系数
W t 0 .2 D 3 1 4 2 c9 3m
（2）强度校核
max
T
Wt
1930 29106
外 AC IT P 1D 27.91 5 1 9 8 0 9 0.01 3 5.5 7 MPa
CB段横截面内、外边缘处切应力分别为：
内 CBITP2
d 199
2 6.38108
0.0131.2MPa
外 CBITP2
D 199 2 6.38108
0.01546.8MPa
P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩
图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
M 1 ( 9 .5 1 5 3 3 5 0 ) N 0 0 m 1 0 0 .9 1 5 3 N 0 m 1 .9 k 5 m N M 2 M 3 ( 9 . 5 1 3 5 1 3 0 ) N 5 0 m 4 0 0 . 7 1 3 8 N 0 m 4 . 7 k 8 m N M 4 ( 9 .5 1 5 3 3 2 0 ) N 0 0 m 0 0 6 .3 1 7 3 N 0 m 6 .3 k 7 m N
第二节 薄壁圆筒的扭转
2 实验后： ① 圆周线不变
② 纵向线变成螺旋线
3 结果： ① 圆筒表面的各圆周线形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截 面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不 变，满足平面假设。
② 各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度γ
③ 所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形
例 画出图示杆的扭矩图
4kN·mⅠ 6kN·mⅡ 8kN·mⅢ 6kN·m
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
2m 2m 1m 3m
6kN·m
4kN·m
2kN·m
解：
Ⅰ—Ⅰ截面
m0
T1 4 0 T14kNm
Ⅱ—Ⅱ截面
m0
T2640
T22kNm
Ⅲ—Ⅲ截面
m0
T3 6 0 T3 6kNm
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
M x 0 , M A T 1 0 ,T 1 M A 3N 0 m 00 M x 0 , M A M B T 2 0 , T 2 M A M B 1 N 2 m 00
•扭矩图( Torsion torque graph)
当轴上同时作用有几个外力偶矩时，各截面上的扭矩是不同的， 为了确定最大扭矩的所在位置，以便找出危险截面，在工程实际中 常用一个图形来表示各横截面上的扭矩沿轴线随横截面位置变化的 规律，这种图形称为扭矩图。
扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力 偶矩可通过传动功和转数来换算
若传动轴的传动功率为P，每分钟转数为n
Me
9550P(Nm) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
P
Me
7024 (Nm) n
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
2、扭矩( Torsion torque )
4.78 6.37
15.
4.78
9
思考题： 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图并找出危险 截面。
解：①计算外力偶矩
M 195P n 5 10 953 5 50 0 01 0 05.9 m (k)N M 2 M 3 95 P n 2 5 90 5 1 35 5 0 4 .0 7 0 0 (8 k m N) M 4 95 P n 4 5 90 5 3 250 0 6 0 .3 0 0(7 k m N)
2.将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点
3.用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受 力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画
4.按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上标出数值和正负号
附例：一传动轴如图，转速 n300rmin；主动轮输
入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：
纯剪应力状态：单元体上四个侧面上只有切应力，而
无正应力作用
四、剪切虎克定律
单元体ab边的倾角γ称为切
y
´
a
b
应变，切应变是单元体直角的该 dy
变量，实验表明，在弹性范围内，
´
x
切应力与且应变成正比，即：
c
d
t
G
z
dx
G：剪切弹性模量
第二节 薄壁圆筒的扭转
剪切弹性模量G、与弹性模量E和泊松比μ一样， 都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料， 这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系：
66.7MPa[]70MPa
故轴满足强度条件
如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴，并使其与钢管 有同样的强度（即两者的最大应力相同），则由
d D
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
三、圆轴扭转时的强度条件
max
T Wt
[ ]
一轴AB传递的功率为Pk=7.5kW，转速n=360r/min。轴的AC 段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=3cm，d=2cm， 试计算AC段横截面边缘处的切应力和CB段横截面上外边缘和 内边缘处的切应力。
第三章 扭转
§ 3-1 工程实际中的扭 转问题
§ 3-1 工程实际中的扭转问题
汽车传动轴
§ 3-1 工程实际中的扭转问 题
汽车方向盘
第一节 扭转的概念
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，也称为剪应变或切应变
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直 于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产 生相对转动。 两力偶大小相等，转向相反
T
T
m ax
实心圆截面切应力分布图
m ax
空心圆截面切应力分布图
T 最大切应力在外圆处 IP
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
5 最大切应力
令： Wt
IP max
max
T max
IP
称为抗扭截面系数
单位：m 3
实心圆截面： 空心圆截面：
max
T Wt
Wt
D3 16
W t 1 D 63(1D d4 4)1 D 63(14)
第二节 薄壁圆筒的扭转
二、薄壁筒切应力
薄壁圆筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有 正应力，只有切应力；因筒壁很薄，切应力沿薄壁厚 分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线方向与扭矩转 向一致
AdAr0 T
r0A d A r02 r0t T T
T T 2r02 t 2A0t
A0为平均半径所作圆的面积
②求扭矩（扭矩按正方向设）
T 1 M 2 4 .7k8 N m
T 2 M 2 M 3 ( 4 . 7 4 . 7 8 ) 8 9 . 5 k 6 m N
T 3M 46.3k 7N m
③绘制扭矩图
T 9.56 kN m max
BC段为危险截面。
2 试绘制扭矩图，说明图中轴上3个轮子如何布置比较合理？
G E
2(1 )
§3-3 扭转时的内力
1、外力偶矩( Torsion couple )的计算
电机传递扭矩 转动机器
匀速转速—n转/分钟
输出功率—Pk千瓦
m
求外力偶矩m
解:
《出发点 —— 计算一分钟的功 W 》
从电机看 WP k(千瓦 6（ ） 0 秒 ）
从扭矩看
P k(10牛 00顿 /秒 米 ） 6（ 0 秒） Wm(牛顿米 （ ）弧度 ）
m(牛顿米 2） n（弧度）
两式得扭矩
m620n0N00955P nk0(牛顿米）
m
可以看出，轴所承受的力偶矩与传递的功率 成正比，与轴的转速成反比。因此，在传递同 样的功率时，低速轴所受的力偶矩比高速轴大。 所以在一个传动系统中，低速轴的直径要比高 速轴的直径粗一些
第3节 扭转的内力——扭矩与扭矩图
变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动，任意 两横截面间产生相对的角位移（扭转角）
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都 是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
第二节 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一、实验
1 实验前： ① 绘制纵向线，圆周线
② 两端施加一对外力偶Me
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
例题1 已知空心圆截面的扭矩T=1kN·m，D=40mm，d=20mm，求 最大、最小切应力。
解：
max
T Wt
16
T D 3 (1
d D
4 4
)
m ax m in
16 1000
4
3 [1
1 2
4
]
84.9M
Pa
T
m inm axD d 8 4 .9 1 24 2 .4 5 M P a
杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面 平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩
•扭矩的符号确定：
采用右手螺旋法则，如果以右手四指表示扭 矩的转向，则拇指指向截面离开截面时的扭矩 为正；反之，拇指指向截面时则扭矩为负。
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
注意：当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一 般而言，各段截面上的扭矩是不同的，必须分段 求出，其一般步骤为：“假截留半，内力代换， 内外平衡”。例：
解：把3个轮子可能的布置情况都画出 来，然后分别画出其扭矩图，比较哪种布 置时Tmax为最小，则哪种布置就合理。
1.5kN·m 0.5kN·m
0.5kN·m 1kN·m
1.5kN·m 1kN·m
1kN·m 0.5kN·m
0.5kN·m 1.5kN·m
1kN·m 1.5kN·m
第3节 扭转的内力——扭矩与扭矩图
第二节 薄壁圆筒的扭转
三、切应力互等定理 y
´
a
b
dy
x
´
c
d
mz 0
z
(td y )d x '(td x )d y '
t dx
切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，
切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两
平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交
线
第二节 薄壁圆筒的扭转
解：(1)计算扭矩 轴所受的外力偶矩为：
m 95P k5 9 057 .5 5 0 19 N m 9 n 360
各截面上的扭矩均为：
Tm 1N 9m 9
(2)计算极惯性矩：AC段与CB段分别
为 IP13 D 42 3.13 43 247.9c5m 4
IP 2 3D 2 4 d 4 3 3 .12 3 4 横坐标平 行于轴的轴线，表示横截面的位置， 纵坐标表示扭矩的代数值，然后将 各横截面的扭矩按代数值标注于坐 标上，即得此轴的扭矩图。
由图可以看出：在集中力偶的作用面，扭矩发生突变，其突变值 等于集中力偶值的大小。
第3节 扭转的内力——扭矩与扭矩图
扭矩图的画法步骤：
1.画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线
2. 计算各段的扭矩 BC段内：T 1 M 2 4 .7k 8N m
CA段内：T 2 M 2 M 3 9.k 5N m 6(负) AD段内：T 3M 46.3k 7N m
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN·m。
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？
一、等直圆杆扭转实验观察
1 横截面变形后仍为平面，满足平面截面假设 2 轴向无伸缩，横截面上没有正应力 3 纵向线变形后仍为平行线
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
二、等直圆杆扭转横截面上的切应力O1
O2
O1
O2
A B
B’
D
C
C’
dx
a
b
d
b’ c
d
A
B
c’
B’
D
C
C’
dx
1 变形的几何条件 横截面上b点的切应变 bb' d
dx dx
d 单位长度扭转角
dx
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
2 物理条件（剪切胡克定律）
横截面上b点的切应变： G
GG
3 静力条件
T AdA AG2dA
τdA b dA
ρ
G A2dAGIP
IP
2dA 称为截面对圆心的极惯性矩
A
O2 T
T IP
T G IP
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
4 极惯性矩
I P
2dA
A
D
2 2 2 d 0
O
D4
32
D
环形截面：
IP
(D4
32
d4)
d D
极惯性矩单位：m4
第四节 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常数，因此各点 切应力τ的大小与该点到圆心的距离ρ成正比，方向垂 直于圆的半径，且与扭矩的转向一致
已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T=1930N.m，传动 轴用外径D=89mm，壁厚δ=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢， 其许用应力[τ]=70MPa。校核此轴的强度。
解：（1）计算抗扭截面系数
W t 0 .2 D 3 1 4 2 c9 3m
（2）强度校核
max
T
Wt
1930 29106