2014年江苏省高考数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1。

已知集合A =｛4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ .
2。

已知复数2)i 25(+=z （i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ 。

3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .
4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概
率是 ▲ 。

5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<）,zxxk 它们的图象有一个横坐标
为
3
π
的交点,则ϕ的值是 ▲ 。

6。

设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，
则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm 。

7。

在各项均为正数的等比数列}{n a 中，
,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ▲ 。

8。

设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分
别为1V ,2V ，若它们的侧面积相等,且4
9
21=S S ，则2
1
V V 的值是 ▲ .
9。

在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被
圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ 。

10。

已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立，则实数m 的
取值范围是 ▲ 。

11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x
b
ax y +
=2（a ,b 为常数) zxxk 过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ 。

12. 如图,在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ,5=AD ，
（第3题）
100 80 90 110 120 底部周长/cm
（第6题）
（第12题）
PD CP 3=，2=⋅BP AP ,则AD AB ⋅的值是 ▲ .
13。

已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时，|2
1
2|)(2+
-=x x x f 。

若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点（互不相同)，则实数a 的取值范围是 ▲ .
14。

若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ▲ 。

二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15。

(本小题满分14分)
已知),2
(ππ
α∈，55sin =α.
(1)求)4
sin(
απ
+的值；
（2)求)26
5cos(
απ
-的值. 16。

（本小题满分14分)
如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ,F 分zxxk 别为棱AB AC PC ,,的中点。

已知AC PA ⊥，,6=PA
.5,8==DF BC
求证： (1)直线//PA 平面DEF ；
（2）平面⊥BDE 平面ABC .
（第16题）P
D C
E
F B A
17。

（本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆
)0(12
3
2
2
>>=+
b a b
y a x 的左、右焦点，
顶点B 的坐标为),0(b ,连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.
(1)若点C 的坐标为)31
,34(，且22=BF ，求椭圆的方
程；
(2）若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.
18.（本小题满分16分)
如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形学科网保护区。

规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m 。

经测量，点A 位于点O
正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，3
4
tan =∠BCO .
（1)求新桥BC 的长；
（2）当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？
19.（本小题满分16分)
已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；
（2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立,学科网求实数m 的取值范围;
(3）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ,使得)3()(03
00x x a x f +-<成立。

试比较1e -a 与1
e -a 的大小，并证明你的结论。

20.（本小题满分16分)
设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，学科网总存在正整数m ，使得m n a S =,则称}{n a 是“H 数列"。

(1）若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *），证明: }{n a 是“H 数列"；
（2）设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立。

答案：1
2
3
4
6
9
13
14
二、解答题
16
17
19
20
【解析】（1）首先112a S ==,当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=,所以
12,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，所。