2020金丽衢十二校第二次联考数学试卷及答案

MD// BC ，BC=1，AB=2，PB=3， CD 2 ， PD 6 . （Ⅰ）证明：PC∥平面 MND； （Ⅱ）求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值.
第 19 题图 数学试题卷 第 3 页 （共 4 页）
20．（本小题满分 15 分）
对任意非零数列an , 定义数列 f an ，其中 f an 的通项公式为
求
S1 S2 S2
的最大值.
第 21 题图
22．（本小题满分 15 分）
设 a R ，已知函数 f x ex x 6 x a ，函数 g x ex ln x 1 . xx
（Ⅰ）若 a 5 ，求函数 f x 的最小值； （Ⅱ）若对任意实数 x1 和正数 x2 ，均有 f x1 g x2 ≥4a 8 ，求 a 的取值范围.
（Ⅱ）因为
f
an 2nn1 ，所以1
1 a1
4, a1
1 ，又当 n ≥ 2 时，1 4 1
1 an
4n , an
1， 4n 1
所以对任意 n N*
， an
1 .
4n 1
………………………………………10 分
又由1 1 1 an1 Sn1 ，于是 f
bn
Sn
Sn
bn
S n 1
一动点，P 到底面 ABCD 的距离与到直线 AD1 的距离相等，
则 P 点的轨迹是（ ▲ ）
A．直线
B．圆
A
C．抛物线
D．椭圆
B1 P
D
第 9 题图
C B
10. 设集合 S 20, 21, 5, 11, 15, 30, a ，我们用 f S 表示集合 S 的所有元素之和，用 g S
表示集合 S 的所有元素之积，例如：若 A 2 ，则 f A g A 2 ；若 B 2, 3 ， 则
则 cos2x= ▲ .
数学试题卷 第 2 页 （共 4 页）
14．老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇让学生背，规定至少要背出 2 篇才能及格. 同学甲只能 背出其中的 6 篇，则甲同学能及格的概率为 ▲ ，设抽取的 3 篇课文中甲能背诵的课 文有 篇，则随机变量 的期望 E( ) 为 ▲ .
5
PC
PC
2
又由 MF FD, PF MD 知 PM PD 6 ，
所以由 PB2 PA2 2(PM 2 MA2) 可得 PA 5 ，……………………14 分
所以直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2FG 10 . …………15 分 PA 5
20．（Ⅰ） f an n 1 n N* ；…………………………………………………5 分
由题可知 P(0, 2 2) ， F ( p , 0) ，所以直线 AB 方程为 2x y 1 .
2
p 22
数学参考答案 第 2 页 （共 4 页）
联立
2x p
y2
2
y 1 2 ，消
2 px
x
得
y2 p2
2
y 2
1
0，
由韦达定理得
y1
y2
p2 22
①，
y1 y2
p2 ②.
AF
1 2
2
35
15． 15 ； 4
16． (, 1], 0,1;
e
17．88.
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．（Ⅰ）因为 cos A B 1 ，所以 cos C 1 ， C .…………………6 分
2
2
3
（Ⅱ）显然 A ，所以 tan A c2 a2 b2 2ab cos C a cos C tan A ，
x 1 ex
C.
2 ex ex
D. ex ex ex ex
第 7 题图
第 8 题图
8．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心
的棱锥）的三视图如图所示，则正视图（等腰三角形）的腰
D1
C1
长等于（ ▲ ）
A． 2 5
B． 2 6
C． 2 7
D．5
A1
9. 如图，已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，P 为平面 AB1D1 内
2
b2 c2 a2 2bc cos A c cos A tan C
又由 tan A 0 得到 tan C 1， C 3 .………………………………………14 分 4
19．（Ⅰ）连接 AC，交 MD 于 E，再连接 NE
因为 MD∥BC，M 是 AB 的中点， 所以 E 是 AC 的中点， 又 N 是 AP 的中点，
f B 2 3 ， g B 2 3 . 那么下列说法正确的是（ ▲ ）
A．若 a 0 ，对 S 的所有非空子集 Ai ， f Ai 的和为 320 B．若 a 0 ，对 S 的所有非空子集 Bi ， f Bi 的和为 640 C．若 a 1，对 S 的所有非空子集 Ci ， g Ci 的和为 1 D．若 a 1，对 S 的所有非空子集 Di ， g Di 的和为 0
第Ⅱ卷（共 110 分）
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。） 11．设复数 z 满足： | z | z 1 3i （ i 是虚数单位），则 | z | ▲ . 12．已知 (x 1)4(1 2x)3 a0 a1x a2x2 a7x7 ，则 a0 a1 a7 = ▲ ， a6 = ▲ . 13．函数 f (x) 3 cos x sin x ， x (0, π) 的值域为 ▲ ，若 f (x) 2 ， x (0, π)
18．（本小题满分 14 分）
在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .
（Ⅰ）若1 2 cos A cos B 2 sin A sin B ，求角 C ；
（Ⅱ）若 b2 1 tan A c2 a2 1 tan A ，求角 C ．
19．（本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥 P ABCD中， M , N 分别是 AB, AP 的中点， AB BC ， MD PC ，
f
an
1
1 a1
1
1 a2
1
1 an
.
（Ⅰ）若 an n ，求 f an ；
（Ⅱ）若数列 an , bn 满足 an 的前 n 项和为 Sn ，且 f an 2n(n1) ， bn an1 Sn .
求证
f
bn
4 3
.
21．（本小题满分 15 分）
如图，设 P(0,t)， t R ，已知点 F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点，直线 PF 与抛物线
A．4
B．3
C．2
D．1
3．已知双曲线 x2 5y2 25 上一点 P 到其左焦点 F 的距离为 8，则 PF 的中点 M 到坐标原点
O 的距离为（ ▲ ）
A．9
B．6
C．5
D．4
4．若实数
x
，
y
满足约束条件
44
y x
3x 3y
≥ ≥
0， 0，则
z
10x
11y
的最小值为（
▲
）
x + y ≥ 7，
A．74
B．73
C．70
D．0
5．过原点 O 作曲线 16a2 6x 8y a x2 y2 0a 0 的切线 OA, OB ，则 cos AOB
（▲）
A． 3 5
B． 4 5
C． 7 25
D． 24 25
6．已知 a 0, b 0 , 则“ ab ≥100 ”的一个充分不必要条件是（ ▲ ）
1．设集合 A {x R | x x2}，集合 B x R | x 1 1 , 则 A B （ ▲ ）
A． 0, 2
B． 1, 2
C． , 0 1,
D．
2．已知点 A, B 在平面 的两侧，则点 A, B 到 的距离分别为 3 和 5，则 AB 的中点到 的距
离为（ ▲ ）
保密★考试结束前
金丽衢十二校 2020 学年高三第二次联考
数学试题
命题人：永康一中 高雄略 吴桂平 审核：浦江中学
本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。考试时间为 120 分钟，试卷总分为 150 分。请考生将所 有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷（共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。）
在 RTPFD 中， PF PD2 FD2 5 ，
在 PFC 中， PF 5, FC 1, PC 2 2 ，
则 cos PFC PF 2 FC 2 PC 2 5 ，
2PF FC
5
所以 sin PFC 2 5 ，从而 FG 2SPFC PF FC sin PFC 2 ，……12 分
BF
，
y2 =
2y1 ③，由①②③解得
p
2
.……………6
分
（Ⅱ）设 C x3, y3 ， P(0,t) ，由（Ⅰ）知 F (1, 0) .
则直线 AB 方程为 y t(x 1)
联立
y
t(x 1) y2 4x
，消
x
得
ty 2
4y
4t
0
，
由韦达定理得 y1
y2
4， t
y1 y2
4 .弦长
AB
4(1 t2 ) .…………9 分 t2
设直线
PC
方程为
y
kx
t
，联立
y y2
kx t 4x
，消
x
得
ky2
4y
4t
0
，
由直线 PC 与抛物线相切得 16 16kt 0 ，即 kt 1.
由韦达定理得 2 y3
（注： e 为自然对数的底数）
数学试题卷 第 4 页 （共 4 页）
2020 学年金丽衢十二校高三第二次联考
数学评分标准与参考答案
一、选择题（4×10=40 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 B
D
A
B
C
A
D
D
A
C
二、填空题（多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11．5； 12．-16， 20 ； 13．[2, 3) ， 3 ； 14． 2 , 9 ；
所以 NE∥PC，且 NE 平面 MND ， PC 平面 MND
所以 PC // 平面 MND ；……………………………………6 分
（Ⅱ）过 C 作 CF MD 于 F，连接 PF ，
又因为 MD PC ，且 CF PF F
P
所以 MD 平面 PFC ， Nhomakorabea所以 BC 平面 PFC ，
所以平面 PFC 平面 PBC
交于 A, B 两点（AF＜BF），点 C（不同于原点）在抛物线上，PC 不平行于 x 轴，且 PC 与抛
物线有且只有一个公共点.
当t 2
2
时，
AF
1 2
FB
.
（Ⅰ）求 p 的值；
（Ⅱ）若 CA,CB 分别与 x 轴交于 D, E ，设 ADF , BEF 和 ABC的面积分别为 S1, S2, S ，
1 4 1
1 42 1
1 4n1 1
S1
1
4 1
由 4n
1
≥ 3 4n1
得
f
bn
3
1 3
1 3 4
1 3 42
1 3 4n
3
1 3
1 3 4n1
1 1
4 3
.
4
………………………………………………………………………………15 分
21．（Ⅰ）设 A x1, y1 ， B x2 , y2
15．在梯形 ABCD 中，AB∥CD， A 90 ，AB=2CD=3，AD=2，若 EF 在线段 AB 上运动，
且 EF=1，则 CE CF 的最小值为 ▲ .
16．函数
f
(x)
x ex
,
x ≥ a, 若存在实数 x0，使得对于任意 x R ，都有 f x0 ≥ f x ，则
x, x a,
A．
1 a
+
1 b
≤
1 5
C． a b ≤ 10
ln a ln b
B． a b ≥ 20 D． a2 b2 ≥ 200
数学试题卷 第 1 页 （共 4 页）
7. 已知函数 f x 的大致图象如下，下列答案中 e 为自然对数的底数，则函数 f x 的解析
式可能为（ ▲ ）
A.
x ex
B.
实数 a 的取值范围是 ▲ ；若存在不相等的 x1, x2 , x3 ，满足 f x1 f x2 f x3 ，
则实数 a 的取值范围是 ▲ .
17．设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足：a3 0 ，
且 S5S6+16=0，则 S11 的最小值为 ▲ . 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
N
过 F 作 FG PC 于 G，
又因为平面 PFC 平面 PBC = PC ，
且 FG 平面 PFC ，
A
所以 FG 平面 PBC ……………………9 分
F
M
第 19 题图
D
C B
数学参考答案 第 1 页 （共 4 页）
在 RTPBC 中， PC PB2 BC2 2 2 ，
在直角梯形 MBCD 中， MB BC 1,CD 2 ，则 FD FC 1