函数单调性(学)
高考数学专题复习 函数的单调性(学生版)
第二讲 函数的单调性【套路秘籍】1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值【套路修炼】考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________．【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4)3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞，考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a )2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 3．设a =ln22，b =ln33，c =1e ，则( )A ． c <a <bB ． c <b <aC ． a <b <cD ． b <a <c 4．已知x =1.10.1，y =0.91.1，z =log 2343，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ． x >y >zB ． y >x >zC ． y >z >xD ． x >z >y考向三 单调性的运用二---解不等式【例3】（1）f(x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)（2）已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]【举一反三】1．若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ． (0,23)B ． (0,23)∪(1,+∞) C ． (1,+∞) D ． (0,1)2．设函数f (x )={2x ， x ≥0x ， x <0 ，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A ． (−∞ ， −1]B ． (1 ， +∞)C ． (−1 ， 0)D ． (−∞ ， 0)3．定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足f(log 12x)>0的x 的集合为______．4．设函数f(x)=x 3+1,若f(1−2a)<f(a),则实数a 的取值范围是 _______。
《函数的单调性》知识点
一、函数单调性的定义如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数.二、单调性的定义的等价形式 设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是增函数.三、函数单调性的应用若()f x 在区间D 上递增且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 四、函数单调性的性质在公共定义域内，有:①增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；②减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；③增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；④减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数.五、双勾函数及其性质 函数)0,0(>>+=b axbax y 叫做双勾函数. 双勾函数在,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减.六、复合函数单调性的判断（同增异减）讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：①若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数;②若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下:单性相异时递减． 七、用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:(1)取值:设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <； (2)变形:作差变形(因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号:判断差的正负或商与1的大小关系；(4)得出结论．。
函数的单调性(定义法)
函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。
举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。
1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。
通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。
引导学生学会识别函数图像中的单调区间。
2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。
教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。
第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。
通过例题让学生掌握求解极值的方法。
3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。
通过例题让学生理解最值的求解过程。
第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。
通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。
4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。
第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。
引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。
5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。
提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。
通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。
6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。
通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点函数的单调性是数学分析中的一个重要概念，用来描述函数在定义域上的增减特性。
具体而言，一个函数可以是严格递增的、递增的、严格递减的或递减的。
函数的单调性具有广泛的应用，在求解极值、解方程、绘制函数图像等问题中起到重要的作用。
本文将介绍函数的单调性的概念、判定方法以及一些常见的单调函数。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的增减变化规律。
具体而言，一个函数在某个区间上单调递增，意味着随着自变量的增大，函数的取值也随之增大；而在单调递减的区间上，函数的取值随着自变量的增大而减小。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法导数是函数单调性判定的重要工具之一。
对于可导函数，函数在某个区间上单调递增的充要条件是导数恒大于等于零；函数在某个区间上单调递减的充要条件是导数恒小于等于零。
2. 一阶差分法对于分段连续的函数，可以通过一阶差分的正负来判断函数的单调性。
若一阶差分恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若一阶差分恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
3. 二阶导数法对于二次可导函数，函数在某个区间上的单调性可以通过二阶导数的正负来判断。
若二阶导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增；若二阶导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。
三、常见的单调函数1. 线性函数线性函数是最简单的单调函数，其定义域为实数集，函数的图像为一条直线。
线性函数在整个定义域上均为单调递增或单调递减。
2. 指数函数指数函数为形如 f(x) = a^x （a>0, a≠1）的函数，指数函数在定义域上分为两类：当a>1时，函数为单调递增函数；当0<a<1时，函数为单调递减函数。
3. 对数函数对数函数为形如 f(x) = loga(x) （a>0, a≠1）的函数。
当0<a<1时，对数函数为单调递增函数；当a>1时，对数函数为单调递减函数。
4. 幂函数幂函数为形如 f(x) = x^a （a为常数）的函数。
函数的单调性和运算性质
函数的单调性和运算性质
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。
当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。
定义
函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。
当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。
在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。
运算性质
f(x)与f(x)+a具有相同单调性；
f(x)与g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时，增（减）函数的倒数为减（增）函数。
函数的单调性知识点及例题解析
函数的单调性知识点及例题解析知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）（1） 定义法（基本法）；①取值：任取D x x ∈21,，且21x x <；②作差：()()21x f x f -；③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差()()21x f x f -的正负；⑤下结论：即指出函数()x f 在给定区间D 上的单调性.（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）（3） 利用函数的图像；x y =，2-=x y ，212-+=x y . （4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数； 如果)()(x g u u f y ==和单调性相同，那么)]([x g f y =是增函数；如果)()(x g u u f y ==和单调性相反，那么)]([x g f y =是减函数.对于复合函数的单调性，列出下表以助记忆.上述规律可概括为“同增，异减”知识点三：函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；附加：①()0≠+=a b ax y 的单调性：0>a 增函数，0<a 减函数；②()0≠=k xk y 的单调性：0>k 减区间()()+∞∞-,0,0,；0<k 增区间()()+∞∞-,0,0,； ③()02≠++=a c bx ax y 的单调性：0>a ，减区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，增区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； 0<a ，增区间⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,，减区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b ； ④()x f 在区间A 上是增（减）函数，则0>k 时，()x kf 在A 上是增（减）函数；0<k 时则相反； ⑤若()x f 、()x g 是区间A 上的增（减）函数，则()()x g x f +在区间A 上是增（减）函数；⑥若()0>x f 且在区间A 上是增（减）函数，则()x f 1在A 上是减（增）函数，()x f 在A 上是增（减）函数；1.函数y=x2+4x﹣1的递增区间是什么？分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增解：∵函数y=x2+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，∴y=x2+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．2.函数y=x2﹣6x+5在区间（0，5）上是（）A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可解：∵y=x2﹣6x+5⇒y=（x﹣3）2﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x2﹣6x+5可知a=1＞0，抛物线开口朝上，∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C3.如图，已知函数y=f（x），y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数．分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和图象之间的关系进行求解即可解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，则[-1，0]，[1，2]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]2）由图象知函数在[-3，-1.5]，[1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，即函数的单调递增区间为[-3，-1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]4.已知函数f（x）=x2﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，故须a≥15.已知函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围分析：通过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可解：函数f（x）=x2+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.56.若函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解出即可．解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，所以（﹣∞，6]⊆（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣5]7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y的单调性与单调区间．解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增函数，单调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）8.求函数f （x ）=x 4﹣2x 2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x 2，可得0≤t ≤4，根据二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g （t ） 在区间[0，4]上的最值．解：令t=x 2，由﹣2≤x ≤2，可得0≤t ≤4，由于二次函数g （t ）=f （x ）=x 4﹣2x 2+5=t 2﹣2t+5=（t ﹣1）2+4 的对称轴为t=1，则函数g （t ） 在区间[0，4]上的最大值是g （4）=13，最小值为 g （1）=4，故答案为 13，4．9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法即可分析获得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答 证明：任取x 1，x 2∈[﹣2，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21+x －22+x =22)22)(22(212121+++++++-+x x x x x x =222121+++-x x x x ，因为x 1-x 2＜0，21+x +22+x ＞0，得f （x 1）＜f （x 2）所以函数在[﹣2，+∞）上是增函数． 10.函数f （x ）=，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；②求f （x ）在[3，5]上最大值和最小值分析：①分离常数得到f （x ）=，根据反比例函数的单调性便可看出f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义证明：设任意的x 1，x 2≠﹣1，且x 1＜x 2，然后作差，通分，说明x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1），或x 1，x 2∈（﹣1，+∞）上时都有f （x 1）＜f （x 2），这样即可得出f （x ）的单调区间； ②根据f （x ）的单调性便知f （x ）在[3，5]上单调递增，从而可以求出f （x ）的值域，从而可以得出f （x ）在[3，5]上的最大、最小值．解：①f （x ）=112++x x =11)1(2+-+x x =2-11+x ； 该函数的定义域为{x|x ≠﹣1}，设x 1，x 2∈{x|x ≠﹣1}， 且x 1＜x 2，则：f （x 1）- f （x 2）=112+x -111+x =)1)(1(2121++-x x x x ； ∵x 1＜x 2；∴x 1﹣x 2＜0；∴x 1，x 2∈（﹣∞，﹣1）时，x 1+1＜0，x 2+1＜0；x 1，x 2∈（﹣1，+∞）时，x 1+1＞0，x 2+1＞0；∴（x 1+1）（x 2+1）＞0；∴f （x 1）＜f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）； ②由上面知f （x ）在[3，5]上单调递增；∴f （3）≤f （x ）≤f （5）；∴7／4≤f （x ）≤11／6；∴f （x ）在[3，5]上的最大值为11／6，最小值为7／411.已知f （x ）+2f （x1）=3x ．（1）求f （x ）的解析式及定义域；（2）指出f （x ）的单调区间并加以证明 解：（1）由 f(x)+2f(x 1)＝3x ①，用x 1代替x ，得 f(x 1)+2f(x)＝x 3 ②；②×2-①，得 3f(x)＝x6-3x ，所以 f(x)＝x2-x （x ≠0） （2）由（1），f(x)＝x 2-x （x ≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增区间． 事实上，任取x 1，x 2∈（-∞，0）且x 1＜x 2，则f(x 1)-f(x 2)＝12x -x 1-22x +x 2＝2121)(2x x x x --(x 1-x 2)＝(x 2-x 1)• 21212x x x x +， ∵x 1＜x 2＜0∴x 2-x 1＞0，x 1x 2＞0，2+x 1x 2＞0，所以 (x 2-x 1)• 21212x x xx +＞0，即f （x 1）＞f （x 2）故f （x ）在（-∞，0）上递减． 同理可证其在（0，+∞）上也递减 12.证明：f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数，在（2，3]上是减函数 分析：利用函数单调性的定义证明．证明：设任意的x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=（x 1+211-x ）-（x 2+212-x ）=（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ， ∵x 1，x 2∈（3，+∞），且x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1﹣2＞1，x 2﹣2＞1，（x 1﹣2）（x 2﹣2）＞1，∴（x 1﹣x 2）•)2)(2(1)2)(2(2121-----x x x x ＜0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， ∴f （x ）=x+21-x 在（3，+∞）上是增函数． 同理可证，f （x ）=x+21-x 在（2，3]上是减函数 【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x 解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2． ∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221-∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)， ∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2， 当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出图像。
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
感谢您的观看
03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
函数的单调性ppt课件
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数的单调性(解析版)
考点10 函数的单调性【命题解读】考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y ＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果当x ∈(a ，b)时，u ∈(m ，n)，且u ＝g(x)在区间(a ，b)上和y ＝f(u)在区间(m ，n)上同时具有单调性，则复合函数y ＝f(g(x))在区间(a ，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f(x)在D 上是增函数； f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f(x)在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a ，＋∞)，减区间为(－a ，0)和(0，a)． (3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质： (1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反； (4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12. 故选B.3、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23【答案】D【解析】因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13， 解得12≤x <23.故选D.4、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.5、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别考向一函数单调性的证明与判断例1、判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．【解析】 函数f （x ）＝21xx +在区间[1，＋∞）上是单调减函数，证明如下： 设x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝1211x x +－2221x x +＝2212212212(1)(1)1)(1)x x x x x x +-+++（＝11122212()(1)1)(1)x x x x x x -++（.∵x 1、x 2∈[1，＋∞），且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0. 又（1＋x 21）（1＋x 22）>0，∴ f （x 1）－f （x 2）>0， 即f （x 1）>f （x 2）.∴ f （x ）＝21xx +在[1，＋∞）上为减函数. 变式1、试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k >0)的单调性．【解析】．法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋k x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－k x 1x 2．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0． 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)<f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)>f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k >0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． f ′(x )＝1－kx 2．令f ′(x )>0得x 2>k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )<0得x 2<k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )． 故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 变式2、试讨论函数f(x)＝axx 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．【解析】 (方法1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21＋1－ax 2x 22＋1＝ax 1（x 22＋1）－ax 2（x 21＋1）（x 21＋1）（x 22＋1）＝a[x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2]（x 21＋1）（x 22＋1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）. ∵x 1＜x 2，x 2－x 1>0，又a>0，(x 21＋1)(x 22＋1)>0. ∴当x 1，x 2∈(0，1)时，x 1x 2－1<0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）<0，即f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递增； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，x 1x 2－1>0，从而a （x 2－x 1）（x 1x 2－1）（x 21＋1）（x 22＋1）>0，即f(x 1)－f(x 2)>0⇒f(x 1)>f(x 2)，此时f(x)＝axx 2＋1 (a ＞0)单调递减． ∴函数f(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考向二 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间（1）y ＝－x 2＋2|x|＋1；（2）、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.【解析】（1）由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．（2）y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x<0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、 函数f(x)＝x ＋12x ＋1的单调减区间为________________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞【解析】 因为f(x)＝x ＋12x ＋1＝x ＋12＋122x ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫x ＋12，且定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－12，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，－12)，(－12，＋∞)．方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解考向三 复合函数的单调区间 例3、求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x 2－2x －3；（2）212log (32)y x x =-+ 【解析】(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－12x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,+∞D ．(),2-∞- 【答案】 D【解析】 根据复合函数的单调性判断．因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)． 变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
请详细解释函数的单调性
请详细解释函数的单调性函数的单调性是数学中比较重要的概念，也是许多数学模型的关键组成部分，它在众多应用领域中都有着广泛的应用，其中包括经济学、统计学、物理学等。
在数学中，函数的单调性指的是函数的变化是单一的，以及在函数的变化中，函数的任何一个时刻都是单调的。
换言之，函数的单调性意味着，在数学模型中，函数变量不可能具有不稳定的峰谷性质，因为在函数变化的某个时刻，函数的变化只有一个方向，没有其他变动。
关于函数的单调性有几种定义，其中最重要的是函数的单调递增和单调递减，换言之，函数的单调性可以表达为函数变量随函数输入的增加或减少，其输出都是呈现出单调的变化趋势。
从数学的角度来讲，函数的单调性可以用函数的导数来表示。
函数的单调性可以通过求函数的导数和次导数来确定。
如果函数的导函数在某一点处大于0，则表明函数在该点处是单调递增的，这意味着函数变量随函数输入的增加而增加；反之，如果函数的导数在某一点小于0，则表明函数在该点处处于单调递减的状态，这意味着函数变量随函数输入的增加而减少。
函数的单调性也可以用几何的视角来看，函数的单调性表明函数变量只能呈现单调的变化趋势，函数变量既不能在某一点处出现峰谷状态，也不能出现不稳定的变化，而且，函数变量只能朝着一个方向改变。
函数的单调性在实际应用中也有很多用处，比如，在经济学中，由于经济活动具有单调性，因此，在经济模型中，可以假定函数变量是单调的，即用户的消费行为是不可逆的，即消费行为只能前进而不能后退。
另外，在统计学领域，函数的单调性可以帮助统计分析师正确地估计统计模型中的参数，因为在单调性的函数中，统计数据的分布是均匀的，可以正确估计参数的值。
总而言之，函数的单调性是数学中一个重要的概念，它表明函数变量只有单调的变化，在诸多应用领域中也有着广泛的应用，比如经济学和统计学等，因此，函数的单调性是非常重要的。
函数的单调性(公开课课件)
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数的单调性知识点
函数的单调性知识点在数学的广阔领域中，函数的单调性是一个非常重要的概念。
它就像是函数世界里的指南针，帮助我们理解函数的行为和变化规律。
首先，咱们来聊聊什么是函数的单调性。
简单说，单调性指的是函数在某个区间内的变化趋势。
如果函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也一直增大，那这个函数在这个区间就是单调递增的；反过来，如果随着自变量的增大，函数值一直减小，那就是单调递减的。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，当 x 越来越大时，y 也会越来越大，这就是单调递增。
再看反比例函数 y ＝ 1/x，在 x ＞ 0 这个区间，x 越大，y 越小，所以它在这个区间是单调递减的。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要一些方法和技巧了。
一种常见的方法是利用定义。
假设函数 f(x) 在区间（a, b) 上有定义，如果对于任意的 x1、x2 属于（a, b)，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜f(x2)，那函数 f(x) 在区间（a, b) 上就是单调递增的；如果都有 f(x1) ＞f(x2)，那就是单调递减的。
举个例子，证明函数 f(x) ＝ x^2 在区间 0, ＋∞）上是单调递增的。
我们任取 x1、x2 属于 0, ＋∞），且 x1 ＜ x2。
那么 f(x1) ＝ x1^2 ，f(x2) ＝ x2^2 。
f(x2) f(x1) ＝ x2^2 x1^2 ＝（x2 x1)（x2 ＋ x1) 。
因为x1 ＜ x2 ，所以 x2 x1 ＞ 0 ，又因为 x1、x2 都大于等于 0 ，所以 x2 ＋x1 ＞ 0 。
所以 f(x2) f(x1) ＞ 0 ，即 f(x1) ＜ f(x2) ，所以函数 f(x) ＝x^2 在区间 0, ＋∞）上是单调递增的。
除了定义法，还有求导法。
如果函数 f(x) 在某个区间内的导数大于0 ，那么函数在这个区间单调递增；如果导数小于 0 ，则单调递减。
比如函数 f(x) ＝ 3x^3 4x ，对它求导得到 f'（x) ＝ 9x^2 4 。
函数函数的单调性课件
定义法、导数法（对于可导函数） 。
复合函数的单调性例题解析
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复合函数单调性的概念、性质及判定方法
02 03
详细描述
复合函数单调性取决于内外层函数单调性的关系。若外层函数单调递增 （减），内层函数单调递增（减），则复合函数为单调递增（减）函数 。
判定方法
根据复合函数单调性的性质进行判断。
易错点提醒
在求解函数的单调性问题时，容易忽略函数的定义域、导数的正负与函数单调性的关系以及如何根据 题目要求进行分类讨论。同时需要注意极值点不一定是拐点，要根据题目要求进行求解。
THANKS
感谢观看
05
总结与回顾
函数单调性的定义与性质回顾
函数单调性的定义
函数在某区间上的单调性是指函 数在该区间内随着自变量的增加 ，函数值随之增加（或减少）。
函数单调性的性质
函数的单调性可以通过导数来刻 画，如果导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的应用与解题技巧总结
详细描述
函数单调性可以用于优化问题、经济问题、交通问题等多个领域。例如，在投资决策中，通过观察股票价格的波 动和单调性，可以更好地把握投资机会。在交通规划中，通过观察交通流量的变化和单调性，可以更好地规划交 通路线。
04
函数单调性的例题解析
单调递增函数的例题解析
总结词
单调递增函数的概念、性质及判 定方法
03
函数单调性的应用
利用函数单调性求函数的值域
总结词
函数单调性是求解函数值域的重要工具。
详细描述
通过观察函数在定义域内的单调性，可以容易地求出函数的值域。例如，对于一 次函数，其在定义域内是单调的，可以直接根据定义域和单调性求出值域。对于 二次函数，可以通过观察其对称轴和顶点位置，结合单调性来求解值域。
高一函数的单调性的知识点
高一函数的单调性的知识点函数是数学中的重要概念之一，而在高一阶段学习的数学中，函数的单调性是一个重要的知识点。
下面我们将详细介绍高一函数的单调性的相关知识。
一、函数的单调性定义函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体来说，若对于定义域上的任意两个数x₁和x₂，当x₁<x₂时，函数f(x₁)的值与函数f(x₂)的值之间的关系。
如果函数在定义域上满足这种关系，我们称之为函数的单调性。
二、单调递增与单调递减函数的单调性可分为单调递增和单调递减两种情况。
1. 单调递增函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≤f(x₂)，则函数f(x)是单调递增的。
例如，对于函数f(x)=x²，在整个实数范围上，无论取哪两个不相等的实数x₁和x₂，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立。
因此，函数f(x)=x²是单调递增的。
2. 单调递减函数f(x)在定义域上，当x₁<x₂时，如果f(x₁)≥f(x₂)，则函数f(x)是单调递减的。
例如，对于函数f(x)=1/x，在定义域(0，+∞)上，当x₁<x₂时，f(x₁)≥f(x₂)恒成立。
因此，函数f(x)=1/x是单调递减的。
三、判断函数的单调性的方法我们可以通过函数图像、导数和函数的增减性来判断函数的单调性。
1. 函数图像法通过画出函数的图像，观察图像随x的变化趋势，判断函数的单调性。
例如，对于函数f(x)=x³，我们可以绘制出函数的图像。
通过观察图像可知，当x₁<x₂时，f(x₁)≤f(x₂)恒成立，因此函数f(x)=x³是单调递增的。
2. 导数法对于一元函数f(x)，如果其导数f'(x)的值恒大于0（或小于0），则函数f(x)是单调递增的（或递减的）。
例如，对于函数f(x)=2x²-3x，我们首先求出其导数f'(x)=4x-3。
通过观察导数的值可知，f'(x)在整个实数范围上恒大于0，也就是说函数f(x)是单调递增的。
函数的单调性
函数的单调性一、知识梳理＆方法总结1. 单调性的定义和证明(1) 单调性：当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐减小；当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐增加。
函数的这两种性质都叫做函数的单调性。
(2) 定义：一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =：① 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调增函数。
② 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调减函数。
(3) 如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调函数。
区间I 叫做函数()y f x =的单调区间。
若()f x 在区间D 上是增（减）函数，则()f x 在D 的任一子区间上也是增（减）函数 (4) 函数单调性的证明（证明某函数在指定区间上增减性的步骤）① 在该区间上任取12x x <② 作差12()()f x f x -，通过因式分解等恒等变形方法将差式化为若干因式的积或商．③ 由判断各因式的符号来确定差式的符号，从而得到12()()f x f x >（或12()()f x f x <）即()f x 的增减性依定义证明完毕．任取、做差、变形、定号、下结论。
(5) 函数单调性的两种等价定义设12,[,]x x a b ∈则①1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在[,]a b 上是增函数1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在[,]a b 上是减函数② 1212()[()()]0()x x f x f x f x -->⇔在[,]a b 上是增函数1212()[()()]0()x x f x f x f x --<⇔在[,]a b 上是减函数2. 四则运算的单调性增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
函数的单调性自己总结
函数的单调性(局部性质)及最值1、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.习 题1、判断函数单调性（1）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A. y=-x+1B. y=xC. y=x2-4x+5D. y=x 2（2）已知f(x)是R 上的增函数，若令F （x ）=f(1-x)-f(1+x)，则F （x ）是R 上的（ ）A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 (3) 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y=2x ＋1B ．y=3x2＋1C ．y=x 2D ．y=2x2＋x ＋1（4）下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝3x2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|(5) 下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x2C.y=︱x ︱D.y=2x+1(6) 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．（7）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，e －x ，x <0以下注意复合函数单调性的判断（8）已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数答案：（1）B （2）B (3) C （4）C (5) C (6) D （7）C （8）A2、 求函数的单调区间（1） 函数y=542)21(--x x 的递减区间是__________________.（2） 函数y ＝－(x －3)|x|的递增区间是________．（分段函数作图） （3） 函数|1|ln )(-=x x f 的单调递减区间为 ________．（分段函数作图） （4） 函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)（5）函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞（6） 求函数f (x )＝x ＋a 2x (a >0)的单调区间．答案：（1）［2，+∞］ （2）[0，32] （3）)1,(-∞ （4）B （5）C（6）解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 2＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2x 1·x 2.(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数．(2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0， 0<x 1·x 2<a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数．3、 根据函数单调性求得参数的取值范围（x 的取值范围）（1）函数y=(2k+1)X+b 在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ）A.k>21 B.k<21 C.k>-21 D.k<-21 (2) 函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2 (3) 函数y ＝2x2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( )A ．1B ．3C ．5D ．－1（4）已知函数f(x)=ax+logax （a ＞0且a ≠1）在［1，2］上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a 的值为________．（5）已知关于x 的函数y=loga(2-ax)在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是________ （6）函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（7）已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3(8) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)(9)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)(10) 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．(11)设函数f(x)=x+xa(a>0). ①求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之； ②若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.(12) 已知函数f (x )＝a －1|x |.①求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；②若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(13) 函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．答案：(1)D (2)C (3)C (4) 2 （5）（1，2） （6）B （7）A (8)C(9)B (10) 12<a ≤23（11）解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2xa,当x ∈［a ,+∞］时， ∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证） （2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.（12）解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0. f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]． （13）解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.4、根据函数单调性求x 的取值范围（1）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________. （2）已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（3）已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）（4）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23）B ．（∞-，23）C ．（12，23）D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32答案：（1）（2，716） （2）D （3）D （4）C5、根据函数单调性求函数最值（1）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在区间[3,5]上单调递增，则函数f(x)在区间[1,3]上的( )A ．最大值是f(1)，最小值是f(3)B ．最大值是f(3)，最小值是f(1)C ．最大值是f(1)，最小值是f(2)D ．最大值是f(2)，最小值是f(3)（2）定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)， x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12（3）函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a ，则a ＝________.（4）已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．Ⅰ求f (0)的值； Ⅱ求f (x )的最大值；Ⅲ若对于任意x ∈[0,1)，总有4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围．答案：（1）A （2）C （3）12（4）解：Ⅰ对于条件③，令x 1＝x 2＝0得f (0)≤0， 又由条件①知f (0)≥0，故f (0)＝0. Ⅱ设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0,1)，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)≥0. 即f (x 2)≥f (x 1)，故f (x )在[0,1]上递增，从而f (x )的最大值是f (1)＝1.Ⅲ因f (x )在[0,1]上是增函数，则f (x )∈[0,1]，又4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0⇒a ≤4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )对x ∈[0,1)恒成立，设y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )＝1－f (x )＋14[1－f (x )]≥1，则a ≤1.6、 根据函数单调性判断函数值大小（1）设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)<f(a)B.f(a 2)<f(a) C.f(a 2+a)<f(a) D.f(a 2+1)<f(a) 答案：D（2）定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)（3）已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) （4）已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ． f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) （5）定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负答案：（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A。
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1、函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的单调性与单调区间函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数 函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性 区间D 叫做=y )(x f 的单调区间3.对函数单调性的理解（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.题型一 求函数的单调区间例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1,3)(2x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.题型二 函数单调性的判定与证明利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子； 第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论.例2 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.变式练习1.求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)2.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．3.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．题型三 函数单调性的简单应用例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)<f(2－3a)，则a的取值范围是________.课后作业1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1xD.y ＝－x 2＋42.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <123.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)()(1212<--x x x f x f ，则( )A.f (3)<f (2)<f (1)B.f (1)<f (2)<f (3)C.f (2)<f (1)<f (3)D.f (3)<f (1)<f (2)4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3D.a <－35.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，13)B.(17，＋∞) C.[17，13) D.(－∞，－17]∪(13，＋∞)6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是_____.8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．9.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.10.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是_____.11.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________；(3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________.12.已知函数f (x )＝a －2x.(1)若2f (1)＝f (2)，求a 的值；(2)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.13.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.。
函数的单调性
数f(x)为单调增函数；如果f′(x)＜0，则函数f(x)为单调减函数；
⑤性质法： 6奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性；
偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性。
5．函数单调性的判定方法 (1)定义法：利用定义 (2)图象法：作出函数图象 (3)复合法：对于复合函数 y＝f[g(x)]，如果内、外层函数单调 性相同， 那么 y＝f[g(x)]为 ________， 如果内、 外层函数单调性相反， 那么 y＝ f[g(x)]为 __________． (4) 导 数 法 ： 设 y ＝ f(x) 在 定 义 域 的 给 定 区 间 上 可 导 ， 如 果 ________，那么 f(x)为增函数；如果________，那么 f(x)为减函数． (5)性质法： ①若 f(x)、 g(x)都是增 (减 )函数， 则 f(x)＋g(x)为 ______ 函数；若 f(x)为增函数， g(x)为减函数，则 f(x)－ g(x)为 ________； 若 f(x)为减函数， g(x)为增函数，则 f(x)－g(x)为 ________函数． ②奇函数在两个对称的区间上具有 ________的单调性；偶函数 在两个对称的区间上具有 ________的单调性． ③互为反函数的两个函数具有 ________的单调性．
题型一：利用函数图像求函数单调性
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是 A．y＝－ x＋1 B．y＝ x 2 2 C．y＝x －4x＋5 D．y＝ x 解析：∵函数y＝ x的单调增区间为[0，＋∞)， ∴函数y＝ x在(0,2)上为增函数． 答案：B 2．函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 1 1 A．k ＞ B．k ＜ 2 2 1 1 C．k ＞－ D．k ＜－ 2 2 解析：∵函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数， 1 ∴2k ＋1＜0，∴k ＜－ . 2 答案：D ( ) ( )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学精英解“函数”—（函数单调性）
第一部分：函数单调性
第二部分：知识演练
（ⅰ）基础练习：
1.下列函数中：
①1
()f x x =； ②()2
21f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-． 其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有_____．
2.函数y x x =的递增区间是___．
3.函数2
()23f x x m x =-+当[)2.x ∈+∞时是增函数，当(],2x ∈-∞是减函数，则
(1)f ．
变式训练：1若函数2
()2(1)2f x x a x =--+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围
2.设函数()(21)f x a x b =-+是R 上是单调减函数，则b 的取值范围
4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．
5.已知下列命题：
①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数；
②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；
③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函
数()f x 在R 上是增函数；
④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．
其中正确命题的序号有_____． （ⅱ）例题精选
例1. 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3
(,]4-∞上是单调递增函数； （2） 函数3()2f x x x =--在R 上是单调递减函数；
（3）函数21()1x f x x -=
+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数．
例2.根据函数单调性的定义,证明
3()1f x x =-+,在R 上是单调减函数
例3.已知函数1
()f x x x =+(0)x ≠．
（1）讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并证明；
（2）求函数()f x 在区间1
[,2]2上的最大值与最小值；
（ⅲ）反馈练习
1．在区间(,)a b 上，函数(),()f x g x 都是增函数，则()()()F x f x g x =+在(,)a b _函数．
2．已知函数2()45f x x m x =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =___.
3. 下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 在区间[]1,6上为增函数，则在区间[]2,5也为增函数。
B ．()f x 在区间[]1,3上和()3,6均为增函数，则在区间[]1,6也为增函数。
C.定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上是增函数。
D.若(),()f x g x 均为R 上的增函数，则()()f x g x 也为R 上的增函数。
4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为 ．
5．在下列四个函数中，①1
()f x x =； ②()||f x x =； ③()2x f x =； ④2()f x x =．满
足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的函
数的序号有________．
6．设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：
①若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；
②若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；
③若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的序号有______．
9. 已知函数)(x f 是定义
[]1,1-上的增函数，且(1)(21)f x f x -<-，求x 的取值范围。
10. 已知函数1()2ax f x x +=
+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．。