第1章行列式

分析： (1) 项数: 展开式为 6=3！项的代数和。 (2)结构: 每项为位于不同行、不同列的三个元素的乘积；
a (3)符号:行标自然排列，各项的正负号与列标的排列对照： 1 j a2 j a3 j
1 2 3
考察其列标： 带正号的三项的列标排列是： 123、231、312 带负号的三项的列标排列是： 321、213、132 则
a11 x1 a12 x2 b1 , 1 a21 x1 a22 x2 b2 . 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
a12a21x1 a12a22 x2 b2 a12 ,
两式相减消去 x2，得（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
行列式的性质
如： 行列互换
一、 行列式的基本性质
设n阶行列式
将D的行列互换后所得到的行列式称为D的转置行列式
DT (或为D' )
对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置 行列式相等）
性质1 证
D
T
将DT记为
于是有 按行列式的定义
bij a ji ( i , j 1,2,, n)
主对角线下（上）方元素都为0 的行列式叫做上（下）三角行列式
a11 0 0 0 0 0 a a a ; 11 22 nn
D a11 a21 an1 0 0 a22 a2 n a a a ; 11 22 nn 0 0 ann
例8 证明
D
a21 a22

j1 j2 jn
( 1) N ( j1 j2 jn )a j1 1a j2 2 a jn n
D
如
＝
＝ －2
注：此性质的意义在于说明：在行列式中，行与列 的地位是相同的，对于行成立的结论，对列也同样 成立，所以在以下讨论中，常常只对行进行讨论。
第二节、行列式的性质之行列式的基本性质
1 2
a n1
n( n1 ) 2
a1n a2 ,n1
1
N ( n( n 1 )21 )
a1n a2 ,n1 an1
n
1
12 n
证毕
结论 : 1）行列式的某行（或某列）元素全为0，则此行列式的值为0。
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
例10 若 1） ( i 432k ) N ( 52 j 14) a i 5 a42a3 j a21ak 4 是五阶行列式 （ N
a ij 展开式中的一项，则 i , j , k 应为何值？此时该项的符号是
什么？
解
j 3,i 1,k 5 或j 3,i 5,k 1
0 c
c 0
b c 0
3 T
b
1）D D （
D0
当 j 3,i 1,k 5 时
N( 14325 N 2314 9 ） （5 ）=
a15 a42 a33a21a54 前加“- ”
当 j 3,i 5,k 1 时
N( 54321 N 2314 16 ） （5 ）=
a55 a42 a33a21a14 前加“+ ”
§1.2
a11 D
a12 a1n
a21 a22 a2 n

an1 an 2 ann
分析： (1)项数: 展开式为 n！项的代数和。
(2)结构:每项为位于不同行、不同列的n个元素的乘积；
a (3)符号:行标自然排列，各项的正负号与列标的排列对照：1 j a2 j anj
1 2 n
对角线法则：
a11 a21
a12 a22
主对角线
副对角线
例 例 解
D
12 2 1
3
1
1
12 1 ( 2 ) 1 14 ,
D D
2

1
当 为何值时，D=0 当 0或 3 , D=0
2
3
2 3
2．三阶行列式
定义 记号
a11 a21 a31
a j1 j2 jn 为偶排列时， 1 j1 a2 j2 anjn 前面加正号。 a j1 j2 jn 为奇排列时， 1 j1 a2 j2 anjn 前面加负号。
a11 D
a12 a1n
a21 a22 a2 n

an1 an 2 ann
1 N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn
a12 a22 a32
a13 a23 a33
为三阶行列式.
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a33
a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32
对角线法则：
a11 a12
或用D来表示

an1 an 2 ann
数 aij i 1, 2 n; j 1, 2 n 称为行列式的元素，其第一个下标 i 称为行标， 第二个下标 j 称为列标.
aii i 1, 2 n
所在的位置为主对角线。
注： 当 n=1时，一阶行列式 a a .
kai 2 kain
a nn
则
推论1 若行列式某一行（列）的所有元素有公因子， 则公因子可以提到行列式的记号外面。
2 例1行 列 式 3 5
4 1 6 10 4
2 5
2 3 5
1 3 4
=0
3 2 3
0 例 2 行列式D = a
a 0
b c
0 a b
3 1） a （
an1 an 2 ann
下三角行列式 证
a11 D a21 a n1 a22
上三角行列式
N ( j12 j2 anjn
a11a22 ann ,
an 2 ann
N ( 12n )
所以D中可能不为0的项只有一项 1 其中N(12…n) = 0，
n( n 1 ) 2
定义1.2 在一个n级排列 i1i2 is it in 中，如果交换 i s 与 i t 的位置 ，其余数位置不动，就得到一个新排列 i1i2 it is in
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一 排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
二、n阶行列式
1.排列及逆序 由 1,2,…, n 组成的一个有序数组，叫做一个 n级排列。 n 级排列的个数用 Pn 表示，则
Pn n n 1 n 2 3 2 1 n!
定义1.1 在一个n级排列 i1i2 in 中，如果较大的数 i s 排在较小 的数 i t 的前面 ， 则称 i s 与 i t 构成一个逆序。排列i1i2 in 中逆序的 个数称为它的逆序数，记作 N ( i1i2 in ) （偶） （偶） 逆序数为奇 数的排列叫做奇 排列。
D
第 行 a s1
D1
第 行 ai 1
s
s
a n1
a n1
a nn
a n 2 a nn
交换D的第i行和第 行，得 s
则
D D1
例
＝－2
交换两行
＝2
推论 若行列式D中有两行（两列）的对应元素相等，则行列式
D的值为零。
因为 D=-D1，而D1=D, 所以D=-D，2 D=0， D=0
性质2 交换行列式的两行（两列），行列式的值改变符号。 即
a11
第 i行 a i 1
a12 ai 2 as2 an2
a1n a in a sn
a11
第 i行 a s1
a12 a1n ai 2 a s 2 a sn a in
1 1 1 x 0 x2
例4 求解方程 2 3
4 9 1 1 1
解 2 3
4 9
x 3x 2 4 x 18 12 2x 2 9 x x 2 5x 6 0 x2
解得：x 2 或 x 3. 注： 1.对角线法只适合于二阶或三阶行列式. 2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的 三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.
a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
1
2 4 1 .
例3 计算三阶行列式 D 2 2
3 4 2
解 D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) 4 (2)
(4) 2 (3) 2 (2) (2) 1 4 1 14.
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
2
n 阶行列式的定义
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
2）
D

an1 an 2 ann a11 a12 a1n a21 a22 a2 n
1
N ( i1 i2 in )
ai1 1ai2 2 ain n
3）
D

an1 an 2 ann
1
N ( i1 i2 in ) N ( j1 j2 jn )
D a11a22 ann .
例9 证明对角行列式（其中对角线上的元素是 i ，未写出来的元 素都是0）
1 2
12 n ;
1 2
1
n n 1 2
12 n .
n
n
证 第一式显然， 下面只证第二式. 若记 i ai ,n i 1 , 则由行列式的定义
例5 求排列32514的逆序数。 解 N( 32514 ) 2 1 2 5 奇排列
例6 求排列12…n的逆序数。
解 N( 12 n ) 0
偶排列
例7 求排列n(n-1)…21的逆序数。 解 N ( n( n 1 ) 21 ) ( n 1 ) ( n 2 ) 2 1
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
定义 设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 a1n
记
a21 a22 a2 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
性质3 用数k去乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于 用数k去乘此行列式。 即
a11 D ai 1 a n1 a12 ai 2 an 2 a1n a in a11 D1 kai 1 a n1 a12 an 2 a1n a nn
目 录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 行列式 矩阵 线性方程组 矩阵的特征值 二次型
第一章 行列式
§1.1 n 阶行列式的定义
§1.2 行列式的性质
§1.3 行列式按行(列)展开 §1.4 克莱姆法则
§1.1
一．二阶、三阶行列式
n 阶行列式的定义
1、二阶行列式的引入 用消元法解二元线性方程组
由方程组的四个系数确定.
a11
记号
a12 a22
a21
为二阶行列式，表示代数和 a11a22 a12a21 即
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12 a21
数 aij i 1, 2 ; j 1, 2 称为行列式的元素， 其第一个下标 i 称为行标，第二个下标 j 称为列标.
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 （3）