高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战55439

数学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将字迹的姓名和考生号、实施号、座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把大题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡个题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选作题地题号对应的信息点，再作答，漏凃，错涂、多涂。

答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体体积公式V=
1
3
Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

线性回归方程^^^
y b x a =+中系数计算公式^
^^
1
2
1
(1)(1)
,(1)
n
i n
i x x y y b a y b x x ==--=
=--∑∑
样本数据x1,x2, (x)
21()2(2)()n x x x x x x -+-+- 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则1221
()(ab )n n n n n n a b a b a a b b -----=-+++……
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则 A ．i B ．i C ．1 D ．1
2．已知集合A=(,),x y x y 为实数，且2
2
1x y +=，B=(,),x y x y 为实数，且1x y +=则A ⋂B 的元素个数为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。

若λ为实数，（()a b λ+∥c ），则λ=
A ．
14
B ．
1
2
C ．1
D ．2
4．函数1
()lg(1)1f x x x
=++-的定义域是
A ．(,1)-∞-
B ．（1，+∞）
C．（1，1）∪（1，+∞）D．（∞，+∞）5．不等式2x2x1>0的解集是
A．
1
(,1)
2
-B．（1
， +∞）
C．（∞，1）∪（2，+∞）D．
1
(,)(1,)
2
-∞-⋃+∞
6．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
≤
≤
≤
y
x
x
x
2
2
2
给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z=OM·OA的最大值为
A．3 B．4 C．32D．42 7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有
A．20 B．15 C．12 D．10
8．设圆C与圆x2+（y3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为
A．抛物线B．双曲线C．椭圆 D．圆
9．如图13，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，则该几何体体积为
A．3
4B．4 C．3
2D．2
10．设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数()()
f g x和()()
f x x
•；对任意x ∈R，（f·g）（x）=(())
f g x；（f·g）（x）=()()
f x
g x．则下列恒等式成立的是
A．(())()(()())()
f g h x f h g h x
⋅=⋅⋅
B．(())()(()())()
f g h x f h g h x
⋅=⋅
C ．(())()(()())()f g h x f h g h x =
D ．(())()(()())()f g h x f h g h x ⋅⋅=⋅⋅⋅
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

11．已知{}n a 是同等比数列，a2=2,a4a3=4,则此数列的公比q= 12．设函数3
()cos 1f x x x =+,若()11f a =,则f （a ）=
13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每
时间x 1 2 3 4 5 命中率
0．4
0．5
0．6
0．6
0．4
小李这5天的平均投篮命中率为;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为．
（二）选择题（1415题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθχsin cos 5y （0θ≤<π）和⎪⎩⎪⎨⎧==t
y t
x 24
5（t R ∈），它们的交点坐标为。

15．（集合证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，CD=2．E,F 分别为AD ，BC
上点，且EF=3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为 。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分为12分） 已知函数1()2sin()3
6
f x x π
=-，∈χR 。

（1）求(0)f 的值；
（2）设⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0,πβα，f （32πα+）=1310,f （3β+2π）=56．求sin （αβ）的值
17．（本小题满分13分）
在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。

用xn 表示编号为n （n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5
（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。

18．（本小题满分13分）
图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水
平平移后得到的．A ，A′，B ，B′分别为CD ,''C D ,DE ,''D E 的中点，''
112,2,,O O O O 分别为
,'',,''CD C D DE D E 的中点．
（1）证明：''
12,,,O A O B 四点共面；
（2）设G 为A A′中点，延长\''
1
AO 到H′，使得''''11O H A O =．证明：''''2BO H B G ⊥平面
19．（本小题满分14分）
设a ＞0,讨论函数f （x ）=lnx+a （1a ）x22（1a ）的单调性。

20．（本小题满分14分） 设b>0，数列{n a }满足a1=b,1
1(2)1
n n n nba a n a n --=+-≥
（1）求数列{n
a }的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n ，2a n ≤b
n 1
++1
21．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP
（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；
（2）已知T （1，1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；
（3）过点T （1，1）且不平行与y 轴的直线l1与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围。

参考答案
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分。

A 卷：1—5DBCBA 6—10CADCB
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。

共5小题，每小题5分，满分20分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题。

11．2 12．9 13．0.5，0.53 14．⎛ ⎝
⎭ 15．7：5
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）
解：（1）(0)2sin 6f π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
2sin
16
π
=-=-；
（2）
10132sin 32sin ,132326f πππααα⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+=⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ 61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5362f ππβπ
βπββ⎛⎫
⎛
⎫=+=⨯+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 53
sin ,cos ,135
αβ∴=
=
12cos ,13α∴===
4sin ,5β===
故5312463
sin()sin cos cos sin .13513565
αβαβαβ+=+=
⨯+⨯= 17．（本小题满分13分）
解：（1）
6
1
1756n n x x ===∑
5
61
6675707672707290,n n x x x =∴=-=⨯-----=∑
62
2222222111
()(5135315)4966
n n s x x ==-=+++++=∑，
7.s ∴=
（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，
故所求概率为2
.5
18．（本小题满分13分）
证明：（1）
,,A A CD C D '''分别为中点，
//
11//O A O A ''∴
连接BO2
直线BO2是由直线AO1平移得到
12//AO BO ∴
12//O A BO ''∴ 12,,,O A O B ''∴共面。

（2）将AO1延长至H 使得O1H=O1A ，
连接
1,,HO HB H H ''
∴由平移性质得12O O ''=HB 21//BO HO ''∴
11,,2
A G H O H H A H O H H GA H π
''''''''''==∠=∠=
1GA H O H H ''''∴∆≅∆
12
H O H GH A π
'''∴∠+=
1O H H G ''∴⊥ 2BO H G ''∴⊥
12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥⋂= 1222O O B BO O ''''∴⊥平面 122O O BO '''∴⊥ 2BO H B '''∴⊥
H B H G H ''''⋂= 2.BO H B G '''∴⊥平面
19．（本小题满分14分）
解：函数()f x 的定义域为(0,).+∞
22(1)2(1)1
(),a a x a x f x x
---+'=
当2
12(1)10a a x ≠--+=时,方程2a(1-a)x 的判别式
112(1).3a a ⎛
⎫∆=-- ⎪⎝
⎭
①当1
0,0,()3
a f x '<<
∆>时有两个零点，
1211
0,22x x a a ≠
>= 且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数； 当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数；
②当
1
1,0,()0,()(0,)3
a f x f x '≤<∆≤≥+∞时所以在内为增函数； ③当1
1,()0(0),()(0,)a f x x f x x
'==>>+∞时在内为增函数；
④当111,0,0,2a x a >∆>=
->时
21
0,()2x f x a '=
+<所以在定义域内有唯一零点1x ，
且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1x x >时，1()0,()(,)
f x f x x '<+∞在内为减函数。

()f x 的单调区间如下表：
103
a << 1
13
a ≤≤ 1a >
1(0,)x
12(,)x x
2(,)x +∞
(0,)+∞
1(0,)x
1(,)x +∞
（其中1211
22x x a a =
-=+
20．（本小题满分14分）
解：（1）由1
110,01
n n n nba a b a a n --=>=
>+-知
1
111n n n n a b b a --=+
令11,,n n n A A a b
=
=
当111
2,n n n A A b b
-≥=
+时 11
1
11
1
n n A b b b --=
++
+
1111.n n b b b
-=+++ ①当11111,1(1)1n n n n b b b b A b b b
⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
≠==--时 ②当1b =时，.n A n =
(1)
,11
1,1n n n nb b b a b b ⎧-≠⎪
∴=-⎨⎪=⎩
（2）当1
2(1)1,(21,1
n n n n
nb b b a b b +-≠=≤+-时欲证
只需1
12(1))1
n n
n b nb b
b +-≤+-
1
2211121(1)11
n n n n n n n b b
b b b b b b +-+---+=++
++++
+-
11111n n n n n b b b b b b b --⎛
⎫
=++++
++ ⎪⎝⎭
(222)n b >+++
2,n nb =
12(1)
21.1
n n n n
nb b a b b +-∴=<+-
综上所述1
2 1.n n a b +≤+
21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ，
,,||||.MPQ AOP MP l MO MP ∠=∠∴⊥=且
因此22|2|,x y x +=+即
24(1)(1).y x x =+≥-①
另一种情况，见图2（即点M 和A 位于直线OP 的同侧）。

MQ 为线段OP 的垂直平分线，
.MPQ MOQ ∴∠=∠
又
,.MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠
因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(,0).x
为分析(,0)M x x 中的变化范围，设(2,)P a -为l 上任意点().a R ∈
由||||MO MP =
（即22||(2)x x a =
++
21
1 1.4
x a =--≤-
故(,0)M x 的轨迹方程为
0,1y x =≤-②
综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为
2
4(1),1,
0, 1.x x y x +≥-⎧=⎨
<-⎩
（2）由（1）知，轨迹E 的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：
21:4(1)(1)E y x x =+≥-；
2:0, 1.E y x =<-
当1H E ∈时，过Ｔ作垂直于l 的直线，垂足为T '，交E1于3,14D ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭。

再过H 作垂直于l 的直线，交.l H '于
因此，||||HO HH '=（抛物线的性质）。

||||||||||3HO HT HH HT TT ''∴+=+≥=（该等号仅当H T ''与重合（或H 与D 重合）时取得）。

当2H E ∈时，则||||||||15 3.HO HT BO BT +>+>+>
综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H 的坐标为3,1.4⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
（3）由图3知，直线1l 的斜率k 不可能为零。

设1:1(1)(0).l y k x k +=-≠
故11(1)1,x y E k =
++代入的方程得：24480.y y k k ⎛⎫
--+= ⎪⎝⎭
因判别式2
21644482280.k k k ⎛⎫⎛⎫
∆=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以1l 与E 中的E1有且仅有两个不同的交点。

又由E2和1l 的方程可知，若1l 与E2有交点，
则此交点的坐标为12111,0, 1.0,2k k k l E k k ++⎛⎫
<--<<
⎪⎝⎭
且即当时与有唯一交点1,0k k +⎛⎫
⎪⎝⎭，从而1l 表三个不同的交点。

因此，直线1l k 斜率的取值范围是1(,](0,).2
-∞-⋃+∞
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A.3﹣4i
B.3+4i
C.﹣3﹣4i
D.﹣3+4i
2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）
A.{0，1}
B.{﹣1，0，1，2}
C.{﹣1，0，2}
D.{﹣1，0，1}
3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和
n，则m﹣n=（）
A.5
B.6
C.7
D.8
4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）
A.（﹣1，1，0）
B.（1，﹣1，0）
C.（0，﹣1，1）
D.（﹣1，0，1）
6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A.200，20
B.100，20
C.200，10
D.100，10
7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A.60
B.90
C.120
D.130
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为.
10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为.
11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=.
13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=.
（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】
14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为.
【几何证明选讲选做题】
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则
=.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.
17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30] 3 0.12
（30，35] 5 0.20
（35，40] 8 0.32
（40，45] n1 f1
（45，50] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.
18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (3)
参考答案与试题解析
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A.3﹣4i
B.3+4i
C.﹣3﹣4i
D.﹣3+4i
【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值.
【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，
故选：A.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.
2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）
A.{0，1}
B.{﹣1，0，1，2}
C.{﹣1，0，2}
D.{﹣1，0，1}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.
【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，
∴M∪N={﹣1，0，1，2}，
故选：B.
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.
3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和
n，则m﹣n=（）
A.5
B.6
C.7
D.8
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论.
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，
直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，
则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，
故选：B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.
4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论.
【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，
即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，
曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，
即两个双曲线的焦距相等，
故选：A.
【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键.
5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）
A.（﹣1，1，0）
B.（1，﹣1，0）
C.（0，﹣1，1）
D.（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.
【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），
A.若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件.
B.若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件.
C.若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件.
D.若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件.
故选：B.
【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键.
6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A.200，20
B.100，20
C.200，10
D.100，10
【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.
【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，
∴样本容量=10000×2%=200，
分层抽样抽取的比例为，
∴高中生抽取的学生数为40，
∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.
【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键.
7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定.
【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，
又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定.
故A、B、C错误.
故选：D.
【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.
8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A.60
B.90
C.120
D.130
【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论.
【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；
②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；
③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：.
∴总共方法数是++=130.
即元素个数为130.
【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） .
【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.
【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③.
解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2.
综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）.
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题.
10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为 y=﹣5x+3. .
【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程.
【解答】解；y′=﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，
∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3.
故答案为：y=﹣5x+3
【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题.
11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.
【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论
【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同
的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，
故答案为：.
【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 .
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.
【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，
即sin（B+C）=2sinB，
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinB，
利用正弦定理化简得：a=2b，
则=2.
故答案为：2
【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= 50 .
【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案.
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，
∴a10a11=e5，
∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10
=ln（e5）10=lne50=50.
故答案为：50.
【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题.
（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】
14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1） .
【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标.
【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，
化为普通方程为：y2=x，
曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，
联立，
即交点的直角坐标为（1，1）.
故答案为：（1，1）.
【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题
【几何证明选讲选做题】
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则
= 9 .
【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求.
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，
∴=，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF，
∴=（）2=9.
故答案为：9.
【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.
【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值.
（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得sinθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值.
【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
∴Asin（+）=Asin=A•=，
∴A=.
（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），
∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，
∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=.
∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=.
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题. 17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：
件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30] 3 0.12
（30，35] 5 0.20
（35，40] 8 0.32
（40，45] n1 f1
（45，50] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.
【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；
（3）利用对立事件可求概率.
【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；
（2）频率分布直方图：
（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，
已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，
∴P（A）==，
∴P（）=1﹣P（A）=，
∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为.
【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题.
18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.
【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，
∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，
∴DF=，AF==，
∴CF==，又FE∥CD，
∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，
∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），
由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），
设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，
cosθ=|cos＜，＞|===
∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：
【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题.
19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；
（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.
【解答】解：（1）由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：
S2=4a3﹣20 ①
又S3=S2+a3=15 ②
联立①②解得：a3=7.
再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：
a1=2a2﹣7 ③
又S3=a1+a2+7=15 ④
联立③④得：a2=5，a1=3.
∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；
（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1.
由此猜测an=2n+1.
下面由数学归纳法证明：
1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立.
2、假设n=k时结论成立，即ak=2k+1.
那么，当n=k+1时，
由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得，
，
两式作差得：.
∴
==2（k+1）+1.
综上，当n=k+1时结论成立.
∴an=2n+1.
【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题.
21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.
【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域.
（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.
（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.
【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，
要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，
即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，
则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，
∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，
由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，
由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，
综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）.
（2）f′（x）==
=﹣，
由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0 解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，
即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），
同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）.
（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，
则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，
∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0
即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，
∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，
∵k＜﹣6，
∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），
∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），
且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），
由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f （1）的集合为：
（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）.
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.
20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得.
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1•k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程.
【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1.
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，
②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，
+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）
2﹣4]=0，
∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，
整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，
∴﹣1=k1•k2==﹣1，
∴x02+y02=13.
把点（±3，±2）代入亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13.
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系.。