2024-2025学年北京市重点中学数学九上开学考试试题【含答案】

2024-2025学年北京市重点中学数学九上开学考试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列运算正确的是（）A ．3±B ．（m 2）3=m 5C ．a 2•a 3=a 5D ．（x+y）2=x 2+y 22、（4分）下列二次根式中，不是最简二次根式的是()A ．B C D ．3、（4分）如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是()A ．该班总人数为50B ．步行人数为30C ．乘车人数是骑车人数的2.5倍D ．骑车人数占20%4、（4分）在一个不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球，如果口袋中有5个红球，且摸出红球的概率为13，那么袋中总共球的个数为（）A ．15个B ．12个C ．8个D ．6个
5、（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．平行四边形
D ．菱形
6、（4分）x 的取值范围是（）
A ．0x ≥
B ．2x ≥-
C ．2x <-
D ．2
x ≠-7、（4分）如图所示，在菱形ABCD 中，已知两条对角线AC ＝24，BD ＝10，则此菱形的边
长是（）A ．11B ．13C ．15D ．
178、（4分）为筹备班级的元旦联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种零食作民意调查，从而最终决定买什么零食，下列调查数据中最值得关注的是（）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．标准差二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则αβαβ+-的值是______.10、（4分）如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC ＝120°，则AC 的长为_______________.11、（4分）菱形有一个内角是120°，其中一条对角线长为9，则菱形的边长为____________.12、（4分）某商场利用“五一”开展促销活动：一次性购买某品牌服装3件，每件仅售80元，如果超过3件，则超过部分可享受8折优惠，顾客所付款y （元）与所购服装()3x x ≥件之间的函数解析式为__________．13、（4分）若1x ，2x 是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则1211x x ⋅=__________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，四边形ABCD 中，45ABC ADC ∠=∠=o ，将BCD ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE ∆.
（1）判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若2AD =，3CD =，试求出四边形ABCD 的对角线BD 的长.15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，边OA ,OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，把正方形OABC 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P 为抛物线2()2y x m m =--++的顶点．（1）当0m =时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当3m =时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m 的取值范围．16、（8分）解方程：2320x -+=（用公式法解）．17、（10分）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，从点C 为圆心，CB 长为半径画弧交线
段AC 于点D ，以点A 为圆心AD 长为半径画弧交线段AB 于点E ，连结BD ．
(1)若A ABD ∠=∠，求C ∠的度数：
(2)设BC a AB b ==，．
①请用含a b ，的代数式表示AD 与BE 的长；
②AD 与BE 的长能同时是方程22 2 0x ax b +-=的根吗？说明理由．
18、（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，D 是BC 边上的一点，:5:3OC CD =，6DB =.反比例函数k (0)y k x =≠在第一象限内的图像经过点D ，交AB 于点E ，:1:2AE BE =.(1)求这个反比例函数的表达式，(2)动点P 在矩形OABC 内，且满足25PAO OABC S S ∆=四边形.①若点P 在这个反比例函数的图像上，求点P 的坐标，②若点Q 是平面内一点，使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为____．
20、（4分）若21x kx ++是完全平方式，则k 的值是__________.
21、（4分）如图，点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的两边AD 、DC 的中点.若ABC ∆的周长是30，则DEF ∆的周长是_________.
22、（4分）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则CE 与EO 之间的数量关系是_____．23、（4分）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax ，②y=bx ，③y=cx ，将a ，b ，c 从小到大排列并用“＜”连接为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在▱ABCD 中，点E ，F 在AC 上，且∠ABE=∠CDF ，求证：BE=DF ．25、（10分）数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶
嵌？
问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法去进行探究．
探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4
个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．
第三类：选正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)
探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？第四类：选正三角形和正方形
在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成个周角．根据题意，可得方程
60x+90y＝360
整理，得2x+3y＝1．
我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为
3
2 x
y
=⎧
⎨
=⎩
.
镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌
第五类：选正三角形和正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)
第六类：选正方形和正六边形，(不写探究过程，只写出结论)
探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？
第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．(不写探究过程，只写结论)，
26、（12分）将正方形ABCD放在如图所示的直角坐标系中,A点的坐标为(4,0),N点的坐标为(3,0)，MN平行于y轴，E是BC的中点，现将纸片折叠，使点C落在MN上，折痕为直线EF.
(1)求点G的坐标；
(2)求直线EF的解析式；
(3)设点P为直线EF上一点，是否存在这样的点P，使以P,F,G的三角形是等腰三角形?若存在，直接写出P点的坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
A
B、（m2）3=m6，本选项错误；
C、a2•a3=a5，本选项正确；
D、（x+y）2=x2+y2+2xy，本选项错误，
故选C
2、C
【解析】
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断即可．
【详解】
解：A是最简二次根式，不合题意，故本选项错误；
B、是最简二次根式，不合题意，故本选项错误；
C=2不是最简二次根式，符合题意，故本选项正确；
D
故选C．
本题考查了最简二次根式的定义，根据定义，最简二次根式必须满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式．
3、B
【解析】
根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．
【详解】
A、总人数是：25÷50%=50（人），故A正确；
B、步行的人数是：50×30%=15（人），故B错误；
C、乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C正确；
D、骑车人数所占的比例是：1-50%-30%=20%，故D正确．
由于该题选择错误的，
故选B．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
4、A
【解析】
根据红球的概率公式列出方程求解即可．
【详解】
解：根据题意设袋中共有球m个，则51
3 m
所以m=1．
故袋中有1个球．
故选：A．
本题考查了随机事件概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n．
5、D
【解析】
按照轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可.
【详解】
解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键.
6、B
根据二次根式的双重非负性即可求得.【详解】0，故20x +≥∴2x ≥-故选B.本题考查了二次根式有意义的条件，难度低，属于基础题，熟练掌握二次根式的双重非负性是解题关键.7、B 【解析】由菱形的性质可得AO=AC=12，BO=BD=5，由勾股定理可求菱形的边长．【详解】如图，∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ，AO=AC=12，BO=BD=5∴AB==13故选B ．
本题考查了菱形的性质，利用勾股定理求AB 长是本题的关键．8、C
【解析】
根据众数的定义即可求解.
【详解】
根据题意此次调查数据中最值得关注的是众数,
此题主要考查众数的特点，解题的关键是熟知众数的定义.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可解答.【详解】解：根据一元二次方程的根与系数关系可得：111b a αβ+=-=-=-，221c a αβ-===-所以可得1(2)1αβαβ+-=---=故答案为1.本题主要考查一元二次方程的根与系数关系，这是一元二次方程的重点知识，必须熟练掌握.10、【解析】设AC 与BD 交于点E ，则∠ABE =60°，根据菱形的周长求出AB 的长度，在RT △ABE 中，求出AE ，继而可得出AC 的长．【详解】解：在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，∴∠ABE =60°，AC ⊥BD ，
∵菱形ABCD 的周长为16，∴AB =4，
在RT △ABE 中，AE =ABsin ∠ABE =42⨯=，
故可得AC =2AE =2⨯.
故答案为
此题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条
边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．11、9或【解析】
如图，根据题意得：∠BAC=120°，易得∠ABC=60°，所以△ABC 为等边三角形．如果AC=9，那么AB=9；如果BD=9，由菱形的性质可得边AB 的长．【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，∠ABD=∠CBD ，OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥BD ，AB=BC ，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形，如果AC=9，则AB=9，如果BD=9，则∠ABD=30°，OB=
92
，∴OA=
1
2
AB ，在Rt △ABO 中，∠AOB=90°，∴AB 2=OA 2+OB 2，即AB 2=(
12AB)2+(92
)2，∴AB=3，
综上，菱形的边长为9或
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.
12、644(3)
8y x x =+≥【解析】
因为所购买的件数x≥3，所以顾客所付款y 分成两部分，一部分是3×80=240，另一部分是（x-3）×80×0.8，让它们相加即可．【详解】解：∵x≥3，
∴y=3×80+（x-3）×80×0.8=64x+48（x≥3）．故答案是：644(3)8y x x =+≥.
此题主要考查利用一次函数解决实际问题，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．13、1
2
-
【解析】
根据根与系数的关系可得出122x x =-，将其代入1212
111
x x x x =中即可求出结论．【详解】
解：∵x 1，x
2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，∴122x x =-，
∴12121111
2
x x x x ==-．故答案为：1
2
-
．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于c
a
是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）ABC ∆是等腰直角三角形，理由详见解析；（2【解析】
（1）利用旋转不变性证明A4BC 是等腰直角三角形.
（2）证明ACDE 是等腰直角三角形，再在Rt △ADE 中，求出AE 即可解决问题.【详解】
解：（1）ABC ∆是等腰直角三角形.
理由：∵BC CA =，
∴45CBA CAB ∠=∠=o ，∴90ACB ∠=，
∴ACB ∆是等腰直角三角形.（2）如图：由旋转的性质可知：
90DCE ACB ∠=∠=o ，3CD CE ==，BD AE =，
∴DE =45CDE CED ∠=∠=o ，∵45ADC ∠=o ，
∴454590ADE ∠=+=o o o ，∴AE =
=∴BD AE ==.
本题考查旋转变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
15、（1）好点有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)和(1,1)，共5个；（2）(1,1)，(2,4)和(4,4)；
（3）
512
m -<.【解析】
（1）如图1中，当m ＝0时，二次函数的表达式y ＝﹣x 2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；（2）如图2中，当m ＝3时，二次函数解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+5，如图2，
结合图象即可解决问题；（3）如图3中，抛物线的顶点P （m ，m +2），推出抛物线的顶点P
在直线y ＝x +2上，由点P 在正方形内部，则0＜m ＜2，如图3中，E （2，1），F （2，2），观察图象可知，当点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外），求出抛物线经过点E 或点F 时Dm 的值，即可判断．【详解】
解：（1）当0m ≡时，二次函数的表达式为22y x =-+画出函数图像（图1）
图1
当0x =时，2y =；当1x =时，1
y =∴抛物线经过点(0,2)和(1,1)
∴好点有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)和(1,1)，共5个
（2）当3m =时，二次函数的表达式为2(3)5y x =--+画出函数图像（图2）
图2
当1x =时，1y =；当2x =时，4y =；当4x =时，y 4
=∴该抛物线上存在好点，坐标分别是(1,1)，(2,4)和(4,4)
学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号
…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………
（3）
抛物线顶点P 的坐标为(,2)
m m +∴点P 支直线2y x =+上
由于点P 在正方形内部，则02m <<如图3，点(2,1)E ，(2,2)
F 图3
∴当顶点P 支正方形OABC 内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF 有交点（点F
除外）
当抛物线经过点(2,1)E 时，2(2)21m m --++=解得：15132m -=
，2513
2
m +=（舍去）当抛物线经过点(2,2)F 时，2(2)22m m --++=解得：31m =，44m =（舍去）
∴当51312
m -<时，顶点P 在正方形OABC 内，恰好存在8个好点
本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题．16、123636
,33
==x x 【解析】
先求出b 2-4ac 的值，再代入公式求出即可．【详解】
解：3x 23x+2=0，
∵a=3，c=2，
∴△=b 2-4ac=（2-4×3×2=24，∴x=
23⨯=3，
则12236236
,33
=
=
x x .本题考查了解一元二次方程—公式法．熟记公式x=
42b b c a
a -±-是解题的关键．
17、（1）60C ∠=°；（2）①AD a =-，=+-BE a b ；②是，理由
见解析【解析】
（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC 是等边三角形，即可得到结论；（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD 是方程的解，则当AD=BE 时，同时是方程的解，即可得到结论．【详解】
解：（1）∵90ABC ∠=︒，
90A C ∴∠+∠=︒，90ABD CBD ∠+∠=︒
又A ABD ∠=∠，
C CBD
∴∠=∠ DC DB ∴= DC BC
=DBC ∴∆是等边三角形．60C ∴∠=︒．
（2）①∵BC a AB b ==，，
AC ∴=
AD AC BC a
∴=-=
又AD AE =，
(
)BE b a a b ∴=--=+-．
②∵(
)()
2
220
a a a
b +-=∴线段AD 的长是方程2220x ax b +-=的一个根．
若AD 与BE 的长同时是方程2220x ax b +-=的根，则 AD BE =，a a b -=+-243ab b ∴=，0b ≠，
34
a b ∴=∴当
3
4
a b =时，AD 与BE 的长同时是方程2220x ax b +-=的根．本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．18、（1）15y x
=；（2）①15
(,4)4P ；②12(91);(6,9)
Q Q --【解析】
（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ，
1
3
n ），点D 的坐标为（m−6，n ），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m 的值，结合OC ：CD ＝5：3可求出n 值，再
将m ，n 的值代入k ＝
1
3
mn 中即可求出反比例函数的表达式；（2）由三角形的面积公式、矩形的面积公式结合S △PAO ＝2
5
S 四边形OABC 可求出点P 的纵坐标．
①若点P 在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P 的坐标；
②由点A ，B 的坐标及点P 的纵坐标可得出AP≠BP ，进而可得出AB 不能为对角线，设点P 的坐标为（t ，2），分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况考虑：（i ）当AB ＝AP 时，利用勾股定理可求出t 值，进而可得出点P 1的坐标，结合P 1Q 1的长可求出点Q 1的坐标；（ii ）当BP ＝AB 时，利用勾股定理可求出t 值，进而可得出点P 2的坐标，结合P 2Q 2的长可求出点Q 2的
坐标．综上，此题得解．
【详解】
解：（1）设点B 的坐标为（m ，n ），则点E 的坐标为（m ，13
n ），点D 的坐标为（m−6，n ）．∵点D ，E 在反比例函数k
(0)y k x
=≠的图象上，∴k ＝
1
3
mn ＝（m−6）n ，∴m ＝1．
∵OC ：CD ＝5：3，∴n ：（m−6）＝5：3，∴n ＝5，∴k ＝
13mn ＝1
3
×1×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝15
x
；（2）∵S △PAO ＝2
5
S 四边形OABC ，∴
12
OA•y P ＝2
5OA•OC ，
∴y P ＝
4
5
OC ＝2．①当y ＝2时，15
x
＝2，解得：x ＝
154
，∴若点P 在这个反比例函数的图象上，点P 的坐标为（
15
4
，2）．②由（1）可知：点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（1，5），∵y P ＝2，y A ＋y B ＝5，∴y P ≠
2
A B
y y +，∴AP≠BP ，
∴AB 不能为对角线．设点P 的坐标为（t ，2）．
分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况考虑（如图所示）：
（i ）当AB ＝AP 时，（1−t ）2＋（2−0）2＝52，
解得：t 1＝6，t 2＝12（舍去），∴点P 1的坐标为（6，2），又∵P 1Q 1＝AB ＝5，∴点Q 1的坐标为（6，1）；
（ii ）当BP ＝AB 时，（1−t ）2＋（5−1）2＝52，解得：t 3＝，t 2＝1＋2（舍去），∴点P 2的坐标为（，2）．又∵P 2Q 2＝AB ＝5，
∴点Q 2的坐标为（，−1）．
综上所述：点Q 的坐标为（6，1）或（，−1）．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、矩形的面积、菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出点B 的横纵坐标；（2）①由点P 的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点P 的坐标；②分AP ＝AB 和BP ＝AB 两种情况，利用勾股定理及菱形的性质求出点Q 的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】
先根据矩形的特点求出BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长．【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF 是△AEB 翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF ，△CEF 是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt △CEF 中，
4
CF ==设AB=x ，
在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2，即（x+4）2=x 2+82，解得x=1，则AB=1．故答案为：1．
本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．20、2±【解析】
根据完全平方公式即可求解.【详解】
∵21x kx ++是完全平方式，故k=2
±此题主要考查完全平方式，解题的关键是熟知完全平方公式的特点.21、15【解析】
根据平行四边形与中位线的性质即可求解.【详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形，ABC ∆的周长是30，∴△ADC 的周长为30，
∵点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的两边AD 、DC 的中点.
∴DE=
12AD,DF=12CD ，EF=1
2
AC ，∴则DEF ∆的周长=1
2
×30=15.
此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及中位线的性质.22、CE ＝3EO 【解析】根据三角形的中位线得出DE ＝12BC ，DE ∥BC ，根据相似三角形的判定得出△DOE ∽△BOC ，根据相似三角形的性质求出CO ＝2EO 即可．【详解】.解：CE ＝3EO ，理由是：连接DE ，∵在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ，∴△DOE ∽△BOC ，∴DE EO BC CO ＝12，∴CO ＝2EO ，∴CE ＝3EO ，故答案为：CE ＝3EO ．.本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质和判定，能求出DE ＝12BC 和△DOE ∽△BOC 是解此题的关键．
23、a ＜c ＜b 【解析】
根据直线所过象限可得a ＜0，b ＞0，c ＞0，再根据直线陡的情况可判断出b ＞c ，进而得到答案．
【详解】
根据三个函数图象所在象限可得a ＜0，b ＞0，c ＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b ＞c ．
则b＞c＞a，
故答案为a＜c＜b．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、证明见解析.
【解析】
利用ASA即可得证；
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF
∴在△ABE和△CDF中，
ABE CDF
AB CD
BAE DCF
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF．
考点：1．平行四边形的性质；2．三角形全等的判定与性质．
25、详见解析
【解析】
根据题意列出二元一次方程或三元一次方程，求出方程的正整数解，即可得出答案．【详解】
解：第五类：设x个正三角形，y个正六边形，
则60x+10y＝360，
x+2y＝6，
正整数解是
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
4
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形（或4个正三角形和1个正六边形）的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；第六类：设x个正方形，y个正六边形，
则90x+10y+＝360，
3x+4y＝1，
此方程没有正整数解，
即镶嵌平面时，不能在一个顶点周围围绕着正方形和正六边形的内角拼成一个周角，所以不能用正方形和正六边形进行平面镶嵌；
第七类：设x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，
则60x
+90y +10z ＝360，
2x +3y +4z ＝1，正整数解是121x y z
=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着
1个正三角形、2个正方形、1个正六边的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌．本题考查了平面镶嵌和三元一次方程、二元一次方程的解等知识点，
能求出每个方程的正整数解是解此题的关键．26、（1）G 点的坐标为：
）；（2）EF
；（3
）P 1（1，、P 2，，P 3（，2）、P 4（3，【解析】分析：（1）点G 的横坐标与点N 的横坐标相同，易得EM 为BC 的一半减去1，为1，EG=CE=2，利用勾股定理可得MG 的长度，4减MG 的长度即为点G
的纵坐标；（2）由△EMG 的各边长可得∠MEG 的度数为
60°，进而可求得∠CEF 的度数，利用相应的三角函数可求得CF 长，4减去CF 长即为点F 的纵坐标，设出直线解析式，把
E ，
F 坐标代入即可求得相应的解析式；（3）以点F 为圆心，F
G 为半径画弧，交直线EF 于两点；以点G 为圆心，FG 为半径画弧，交直线EF 于一点；做FG 的垂直平分线交直线EF 于一点，根据线段的长度和与坐标轴的夹角可得相应坐标．详解：（1）易得EM=1，CE=2，∵EG=CE=2，∴∴；
G 点的坐标为：（3，）；（2）易得∠MEG 的度数为60°，∵∠CEF=∠FEG ，
∴∠CEF=60°，
∴，∴，∴点F （0，）．设EF 的解析式为易得点E 的坐标为（2，4），把点E 的坐标代入可得∴EF 的解析式为：y=（3）P 1（1，）、P 2），P 3（-1）、P 4（3，点睛：本题综合考查了折叠问题和相应的三角函数知识，难点是得到关键点的坐标；注意等腰三角形的两边相等有多种不同的情况．。