八年级(下)学期3月份月考数学试题含答案

一、选择题
1．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（ ）
A ．3
B ．23
C ．4
D ．32
2．如图，AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∠ADC=45°，AD ＝1，CD ＝3，则BD 的长为（ ）
A ．3
B ．11
C ．23
D ．4
3．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )
A ．(3510)cm
B ．513cm
C 277cm
D ．583)cm
4．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）
A ．47
B ．62
C ．79
D ．98 5．直角三角形的面积为 S ，斜边上的中线为 d ，则这个三角形周长为 （ ） A ．22d S d ++ B ．2d S d --
C ．22d S d ++
D ．()
22d S d ++ 6．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（ ）
①BC=2CD ；②BD>CE ；③∠CED+∠DFB=2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等； A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 7．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( )
A ．4
B ．16
C ．34
D ．4或34 8．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt △ABC 沿BD 进行翻折，使点A 刚好落在BC 上，则CD 的长为（ ）
A ．10
B ．5
C ．4
D ．3
9．在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ，则下列关系式成立的是（ ）
A ．222221a b h +=
B ．222111a b h +=
C ．2h ab =
D ．222h a b =+
10．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A ．②
B ．①②
C ．①③
D ．②③
二、填空题
11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．
12．如图，在ABC 中，D 是BC 边中点，106AB AC ==，，4=AD ，则BC 的长是_____________．
13．如图，Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，13CD BC =，13
CE AC =，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________
14．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．
15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．
16．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．
17．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222
()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________
18．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为
MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则2
2MN BM
的值为______________．
19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．
20．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．
三、解答题
21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．
()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；
()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12
BE CF AB +=．
()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．
22．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．
（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．
，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．
（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3D ，使四边形ABCD 是
邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．
23．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?
（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
24．已知ABC ∆中，AB AC =.
（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =
（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；
（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB
的值.
25．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京
召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
(2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
26．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．
（1）补全图形.
（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).
（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.
27．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠；
（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD 30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，
DO ，OE .
（1）求点A 的坐标；
（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；
（3）直接写出ADG ∆的周长.
29．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知
AB=10,BC=6,AC=8.
(1)求证:△ADG ≌△BDF ；
(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；
(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；
(4)求线段EF 长度的最小值.
30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；
()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
先根据等腰三角形的性质得出AD 是线段QE 垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ +最小值为BE ，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE 的最小值即可得．
【详解】
如图，作QE AD ⊥，交AC 于点E ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD=∠CAD ，
AD ∴是线段QE 垂直平分线（等腰三角形的三线合一）
PQ PE ∴=
PB PQ PB PE ∴+=+
由两点之间线段最短得：当点,,B P E 共线时，PB PE +最小，最小值为BE 点,P Q 都是动点
BE ∴随点,P Q 的运动而变化
由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值
在Rt BCE ∆中，456,C C B ∠=︒=
232BE CE ∴===即PB PQ +的最小值为32故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ +的最小值是解题关键．
2．B
解析：B
【分析】
过点A 作AE ⊥AD 交CD 于E ，连接BE ，利用SAS 可证明△BAE ≌△CAD ，利用全等的性质证得∠BED=90°，最后根据勾股定理即可求出BD.
【详解】
解：如图，过点A 作AE ⊥AD 交CD 于E ，连接BE.
∵∠DAE=90°，∠ADE=45°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴AE=AD=1，
∴在Rt △ADE 中，22112+=
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC ，即∠CAD=∠BAE ，
又∵AB=AC,
∴△BAE ≌△CAD(SAS)，
∴CD=BE=3，∠AEB=∠ADC=45°，
∴∠BED=90°，
∴在Rt △BED 中，()22223211BE DE +=+
= 故选B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅
助线构造出全等三角形是解题的关键.
3．C
解析：C
【分析】
当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案
【详解】
① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ， 由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =+=+=
② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ， 由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =
+=+= ∵277<325
∴蚂蚁爬行的最短距离是277cm
,
【点睛】
此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的
4．C
解析：C
【分析】
依据每列数的规律，即可得到222
1,,1a n b n c n =-==+，进而得出x y +的值. 【详解】
解：由题可得：222
321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+
当21658c n n =+==时，
63,16x y ∴==
79x y ∴+=
故选C
【点睛】
本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质求出斜边长，根据勾股定理、完全平方公式计算即可。

【详解】
解：设直角三角形的两条直角边分别为x 、y ，
∵斜边上的中线为d ，
∴斜边长为2d ，由勾股定理得，x 2+y 2=4d 2，
∵直角三角形的面积为S ， ∴12
S xy =,则2xy=4S ，即（x+y ）2=4d 2+4S ，
∴x y +=
∴这个三角形周长为：)
2
d ，故选：D. 【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2. 6．D
解析：D
【分析】
利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.
【详解】
解：由AC=BC=4，则AE=3=DE ，由勾股定理可得， ①正确；
1>，②正确；
由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB ，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF ，③正确；
△DCE 的周长，△BDF 的周长+4-
4个，故选：D.
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.
7．D
解析：D
【解析】
试题解析：当3和5
当5．
故选D ．
8．B
解析：B
【分析】
根据“在Rt △ABC 中”和“沿BD 进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．
【详解】
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴，
根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD ，
∴A′C=10-6=4．
设CD=x ，则A′D=8-x ，
根据勾股定理可得x 2-（8-x ）2=42，
解得x=5，
故CD=5．
故答案为：B ．
【点睛】
本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
设斜边为c ，根据勾股定理得出
【详解】
解：设斜边为c ，根据勾股定理得出 ∵12ab=12
ch ，
∴，即a 2b 2=a 2h 2+b 2h 2， ∴22222a b a b h =22222a h a b h +22
222b h a b h
， 即
21a +21b ＝2
1h ． 故选：B ．
【点睛】 本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜
边长的平方是解题关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据三角形勾股定理的逆定理符合222a b c +=即为直角三角形 ，所以将数据分别代入，符合即为能构成直角三角形．
【详解】
由题意得：
①2222+3=134≠ ；②2223+4=25=5 ；③2
221+2=5=
， 所以能构成直角三角形的是②③．
故选D ．
【点睛】
考查直角三角形的构成，学生熟悉掌握勾股定理的逆定理是本题解题的关键，利用勾股定理的逆定理判断是否能够成直角三角形． 二、填空题
11．【分析】
在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算,,DF DE CE ''，可得CD ．
【详解】
∵90ACB ︒∠=，4,2AC BC ==，
∴AB =
情况一：当AD AB ==AE CE ⊥于E
∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅，即AE =，DE =
∴CE =
∴CD ==
情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ，
∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅，即455BE =，1455
DE = ∴22255CE BC BE =
-= ∴22210CD CE DE =+=
情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E
∴1122
BC AC AB BE ⋅=⋅， ∴55BE =
355
CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形
∴152
BF DF AB ===∴95DE DF E F DF BE ''=+=+= 25355CE EE CE BF CE ''=-=-==
∴2232CD CE E D ''=+=
故答案为：210或213或32
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 12．413
【分析】
延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，结合D 是中点证得△ADC ≌△EDB ，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E ＝90°，再利用勾股定理求得BD 长进而转化为BC 长即可．
【详解】
解：如图，延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ＝4，连接BE ，
∵D 是BC 边中点，
∴BD ＝CD ，
又∵DE ＝AD ，∠ADC ＝∠EDB ，
∴△ADC ≌△EDB （SAS ），
∴BE ＝AC ＝6，
又∵AB ＝10，
∴AE 2＋BE 2＝AB 2，
∴∠E ＝90°，
∴在Rt △BED 中，222264213BD BE DE =++=，
∴BC ＝2BD ＝13
故答案为：13
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质、勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
13．53或203 【分析】 根据折叠后点C 的对应点H 与AC 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论．
【详解】
解：①当折叠后点C 的对应点H 在AC 的下方时，如下图所示
∵Rt ABC 中，90A ∠=︒，8AC =，6AB =，
根据勾股定理可得2210AB AC += ∵13CD BC =
，13CE AC =， ∴13CD BC ==103，13
CE AC ==83 ∵DE AC ⊥
根据勾股定理可得222CD CE -=
由折叠的性质可得：DH=CD=
103，CP=PH ∴EH=DH －DE=43
设CP=PH=x ，则EP=CE －CP=83
－x 在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2
即（83－x ）2＋（43
）2=x 2 解得：x=53
即此时CP=
53； ②当折叠后点C 的对应点H 在AC 的上方时，如下图所示
根据折叠的性质可得DH=CD=
103，CP=PH ∴EH=DH ＋DE=163
设CP=PH=y ，则EP= CP －CE =y －83
在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2
即（y －83）2＋（
163）2=y 2 解得：y=203
即此时CP=203
． 综上所述：CP=
53或203． 故答案为：
53或203
． 【点睛】 此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
14．【分析】
根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．
【详解】
∵AB ＝13，EF ＝7，
∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，
∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202
ab ⨯
=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，
∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，
∴a +b ＝17，
∵a ﹣b ＝7，
解得：a ＝12，b ＝5，
∴AE＝12，DE＝5，
∴AH＝12﹣7＝5．
故答案为：5．
【点睛】
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．15．4
【分析】
根据线段垂直平分线得出AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF，即可求出FG，再求出BF=FG即可
【详解】
∵AC的垂直平分线FG，
∴AE=EC，∠AEG=∠AEF=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=1
2
（180°-∠BAC）=30°，
∴∠B=∠G，
∴BF=FG，
∵在Rt△AEG中，∠G=30°，EG=3，
∴AG=2AE，
即（2AE）2=AE2+32，
∴
即
同理在Rt△CEF中，∠C=30°，CF=2EF，
（2EF）2=EF2+2，
∴EF=1（负值舍去），
∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
16．10
【分析】
首先作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN 的最小值，易得△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∠N′OM′=90°，继而可以求得答案．
【详解】
作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最
小值．
根据轴对称的定义可
知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10． 故答案为10．
【点睛】
本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．
17．等腰直角三角形
【解析】
根据非负数的意义，由()2222
0c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角
形是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.
18．12
【解析】
如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：
MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.
因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.
所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.
所以AM=AN=CM=CN.
因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.
设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，
由勾股定理可得NG=()22322x x x -=， 所以MN 2=()()22222312x x x x +-=，BM 2=()()222322x x x -=.
所以22
2212MN x BM x
==12. 枚本题应填12.
点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 19．485
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得
111012822BD ⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485
. 20．5
【解析】
试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．
解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，
∴∠BAC =∠C =45°，
∵∠ADF =∠CDB ，
∴△ADF ≌△CDB ，
∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，
∵AE =3，BE =1，
∴AB =BC =4，
∴AF =4，
∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,
∴由勾股定理得：EF =22AF AE +=2243+=5，
∵AC 是BF 的垂直平分线，
∴BP =PF ，
∴PB +PE =PF +PE =EF =5，
故答案为5.
点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.
三、解答题
21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）()23y x =-
【分析】
（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；
（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM ＝3BM ，进而可得BE +CF ＝3（BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．
【详解】
解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4．
∵点D 是线段BC 的中点，
∴BD ＝DC ＝12
BC ＝2． ∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，
∴∠AED ＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，
∴∠BED ＝90°，∴∠BDE =30°，
∴BE ＝12
BD ＝1；
（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，
则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°．
∵∠A ＝60°，
∴∠MDN ＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF ＝120°，
∴∠MDE ＝∠NDF ．
在△MBD 和△NCD 中，
∵∠BMD ＝∠CND ，∠B ＝∠C ，BD =CD ，
∴△MBD ≌△NCD （AAS ），
∴BM ＝CN ，DM ＝DN ．
在△EMD 和△FND 中，
∵∠EMD ＝∠FND ，DM ＝DN ，∠MDE ＝∠NDF ，
∴△EMD ≌△FND （ASA ），
∴EM ＝FN ，
∴BE +CF ＝BM +EM +CN －FN ＝BM +CN ＝2BM ＝BD ＝12BC ＝12
AB ；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．
∵DN ＝FN ，
∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，
∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，
BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，
在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，
∴DM ＝22=3BD BM BM -，
∴()3x y x y +=-，整理，得()
23y x =-．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）43或63
【分析】
（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．
（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．
（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．
【详解】
（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，
∴∠ACB =∠ABC ，
∴AB =AC ．
∵∠ACD =∠ADC ，
∴AC =AD ，
∴AB =AC =AD ．
∴四边形ABCD 是邻和四边形；
（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；
（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =3
∴AC ()22222234AB BC +=+=，
显然AB ，BC ，AC 互不相等．
分两种情况讨论：
①当DA =DC =AC=4时，如图所示：
∴△ADC为等边三角形，
过D作DG⊥AC于G，则∠ADG=1
6030
2
⨯︒=︒，
∴
1
2
2
AG AD
==，
2222
4223
DG AD AG
=-=-=，
∴S△ADC=1
42343
2
⨯⨯=，S△ABC=
1
2
AB×BC=23，
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=63；
②当CD=CB=BD=23时，如图所示：
∴△BDC为等边三角形，
过D作DE⊥BC于E，则∠BDE=1
6030
2
⨯︒=︒，
∴
1
3
2
BE BD
==
()()
22
222333
DE BD BE
=-=-=，
∴S△BDC=1
23333 2
⨯=
过D作DF⊥AB交AB延长线于F，
∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒，
∴DF=1
2
3
S△ADB=1
233
2
⨯=，
∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3；
③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．
∴邻和四边形ABCD 的面积是63或43．
【点睛】
本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．
23．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =
-=-=(cm )．
故答案为：12；
（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，
∴PC = PA =t ，PB =16-t ． 在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +
-=（， 解得：t =252
． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，
252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132
⨯-=(cm )；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ =BQ 时，如图1所示，
则∠C =∠CBQ ．
∵∠ABC =90°，
∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，
∴∠A =∠ABQ ，
∴BQ =AQ ，
∴CQ =AQ =10，
∴BC +CQ =22，
∴t =22÷2=11(s )．
②当CQ =BC 时，如图2所示，
则BC +CQ =24，
∴t =24÷2=12(s )．
③当BC =BQ 时，如图3所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯=
==， ∴CE 2222483612()55
BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，
∴CQ =2CE =14.4，
∴BC +CQ =26.4，
∴t =26.4÷2=13.2(s )．
综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
24．（1）详见解析；（241；（33
【分析】
（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证
1302
FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾
股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，
BE=3AB ，根据（1）思路得AD=BE=3AB .
【详解】
(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，
即∠EAC=∠DAB.
在△ACE 与△ABD 中，
AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，
∴BD CE =；
(2)连接BD
因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，
所以ADE ∆是等边三角形
因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4
因为CE AD ⊥
所以1302
FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，
所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5
所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=
所以BE=22225441BD DE +=+=
(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=
所以222AB AC AC +
因为AB AC =
所以AE 2=
又因为45CAB ∠=
所以90ABE ∠= 所以()2
22223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=
所以BC=CD, 90BCD ∠=
因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)
所以AD=BE=3AB
所以33AD AB AB AB
==
【点睛】
考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.
25．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.
【分析】
（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；
（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；
（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.
【详解】
解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．
（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×
12
ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，
即 a 2+b 2= c 2．
（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.
【点睛】
本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股
定理是解答此题的关键.
26．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可； （3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.
【详解】
解：（1）如图所示；
（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，
∴∠PAD=α，AB=AD ，
∵90BAC ∠=︒，
∴902DAC α∠=︒-，
又∵AB=AC ，
∴AD=AC ，
∴∠ADC=1[180(902)]2
α⨯︒-︒-=45α︒+； （3）如图，连接BE ，
由（2）知：∠ADC=45α︒+，
∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，
∴∠AED=45°，
∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，
∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，
∴∠BED=90°，
∴△BED 是等腰直角三角形，
∴22222BD BE DE DE =+=，
∴2BD DE =
.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.
27．（1）见解析；（2）27BC =.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中，
∴OC ==.
在Rt △BOC 中，
∴BC =
== 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
28．（1）(0，；（2）DF OE =；（3）9+
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出6OB =，12AB AC BC ===，由勾股定理得出
OA ==A 的坐标；
（2）由等边三角形的性质得出AD AE =，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；
（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证
出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12
DG OF ==即可得出答案．
【详解】
解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，
6OB ∴=
，12AB AC BC ===，OA ===
∴点A 的坐标为(0，；
（2）DF OE =；理由如下：
ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，
AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，
FAD OAE ∴∠=∠，
在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，
DF OE ∴=；
（3）60AOF ∠=︒，
30FOB ∴∠=︒，
60ABO ∠=︒，
90AGO ∴∠=︒，
AFO ∆
是等边三角形，AO =
·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，
AOE AFD ∴∠=∠，
30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，
30AOD AFD ∴∠+∠=︒，
FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，
60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，
AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，
G ∴为斜边OF 的中点，
1122
DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆
的周长9AG AD DG =++=+
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
29．(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5
【解析】
【分析】
（1）由D 是AB 中点知AD =BD ，结合DG =DF ，∠ADG =∠BDF 即可得证；
（2）连接EG ．根据垂直平分线的判定定理即可证明．
（3）由△ADG ≌△BDF ，推出∠GAB =∠B ，推出∠EAG =90°，可得EF 2=（8-x ）2+y 2，
EG 2=x 2+（6-y ）2，根据EF =EG ，可得（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，由此即可解决问题． （4）由EF =22
EC CF +=2247(8)()33x x -+-=
225(4)259
x -+知x =4时，取得最小值．
【详解】
解：（1）∵D 是边AB 的中点，
∴AD =BD ，
在△ADG 和△BDF 中， ∵AD BD ADG BDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADG ≌△BDF （SAS ）；
（2）如图，连接EG ．
∵DG =FD ，DF ⊥DE ，
∴DE 垂直平分FG ．
∴EF =EG ．
（3）∵D 是AB 中点，
∴AD =DB ，
∵△ADG ≌△BDF ，
∴∠GAB =∠B
∵AB =10,BC =6,AC =8.
∴2AB = 2BC + 2AC
∴∠ACB =90°，
∴∠CAB +∠B =90°，∠CAB +∠GAB =90°，
∴∠EAG =90°，
∵AE =x ，AC =8，
∴EC =8-x ，
∵∠ACB =90°，
∴EF 2=（8-x ）2+y 2，
∵△ADG ≌△BDF ，
∴AG =BF ，
∵CF =y ，BC =6，
∴AG =BF =6-y ，
∵∠EAG =90°，
∴EG 2=x 2+（6-y ）2，
∵EF =EG ，
∴（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，
∴y =473x -，（74＜x ＜254
）． （4）∵EC =8-x ，CF =y =
43x -73，
∴EF
=
=
= ∵（x -4）2≥0， ∴
225(4)259x -+≥25， ∴当x =4时，EF 取得最小值，最小值为5．
故线段EF 的最小值为5．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
30．（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
()1由等边三角形的性质可求6AB BC ==，132
BG BC ==，1DG =，由勾股定理可求AG ，AD 的长；
()2①想法1：过点A 作AM DF ⊥于点M ，作AH DE ⊥，交DE 的延长线于点H ，由角平分线的性质可得AH AM =，由“AAS ”可证Rt AHE ≌Rt AMF ，可得AE AF =； 想法2：延长DE 至N ，使DN DF =，由“SAS ”可证ADN ≌ADF ，可得AN AF =，AFD N ∠=∠，由四边形内角和为360，可得AEN AFD N ∠=∠=∠，可得
AN AE AF ==；。