专题08 导数中的极值和极值点偏移(解析版)

专题08 导数中的极值和极值点偏移
一、重点题型目录
【题型】一、求已知函数的极值 【题型】二、根据极值点求参数
【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系 【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系 【题型】五、求已知函数的极值点 【题型】六、函数最值与极值的关系 【题型】七、导数中的极值偏移问题 二、题型讲解总结
【题型】一、求已知函数的极值
例1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 中的项1a ，105a 是函数()32
692
f x x x x =-+-的极值点，则53a =（ ）
A ．3
B ．
C ．
D 【答案】D
【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到1105a a ⋅，然后根据等比中项求得答案.
【详解】由题意，()()()2
3129313f x x x x x =-+=--'，则(),1x ∈-∞时0f
x ，函数单
调递增，()1,3x ∈时()0f x '<，函数单调递减，()3,x ∈+∞时0f
x ，函数单调递增，于
是x =1和x =3是函数的两个极值点，故1a ，105a 是()2
31290x x f x =-+='的两个根，所以
11053a a ⋅=，所以2
5311053a a a =⋅=，又110540a a +=>，所以10a >，1050a >，设公比为q ，
525310a a q =>，所以55a =
故选：D.
例2．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（ ） A ．1y x
= B ．e x y x =- C ．2y = D ．3y x =
【答案】B
【分析】对每个选项求导，然后判断即可 【详解】对选项A ，2
1
0y x '=-
<，故没有极值点； 对选项B ，1e x y '=-，则极值点为0x =，故正确； 对选项C ，0y '=，故没有极值点； 对选项D ，230y x '=≥，故没有极值点；
故选：B
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2
2e e x a f x a x =-至多有2个不同的零点，则实
数a 的最大值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．e
【答案】C
【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到
20e a a =或2
24
e e a a ≥，再次构造关于a 的函数()2e a a h a =，研究其单调性，解出
不等式，求出数a 的最大值.
【详解】令()2
2e e 0x
a f x a x =-=，得到22e e
x a x a
=，
函数()2
2e e x
a f x a x =-至多有2个不同的零点，等价于22e e
x a x a
=至多有两个不同的根，
即函数2
e x x y =与2e a a y =至多有2个不同的交点
令()2
e
x x g x =，
则()2
2e
x
x x g x -'=， 当02x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当0x <或2x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，
所以0x =与2x =为函数()g x 的极值点，且()()2
400,2e g g ==
， 且()2
0e x x g x =≥在R 上恒成立，
画出()2
e
x x g x =的图象如下：
有图可知：
20e a a =或2
24e e a a ≥时，符合题意，
其中
20e a
a
=，解得：0a = 设()2e a a h a =
，则()22e a
a
h a -'=，
当1a <时，()0h a '>，当1a >时，()0h a '<， 所以()2e a
a
h a =在()1-∞，
上单调递增，在()1+∞，上单调递减， 由
2
24
e e a a ≥可得：()()2h a h ≥，所以2a ≤， 综上：实数a 的最大值为2 故选：C
【点睛】对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知t 和3t +是函数()32
f x x ax bx c =+++的零点，且3
t +也是函数()f x 的极小值点，则()f x 的极大值为（ ） A ．1 B ．4
C ．4
3
D ．49
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得2()()(3)f x x t x t =---，再借助导数求出极大值作答.
【详解】因函数()f x 在3t +处取得极小值0，又t 是函数()f x 的另一零点，因此函数()f x 只有两个零点，
从而有2()()(3)f x x t x t =---，求导得：()3(1)(3)f x x t x t '=----， 当1x t <+或3x t >+时，()0f x '>，当13t x t +<<+时，()0f x '<， 于是，()f x 在3x t =+处取得极小值，在1x t =+处取得极大值(1)4f t +=， 所以()f x 的极大值为4. 故选：B
【题型】二、根据极值点求参数
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2e 1x f x x a =+-()a R ∈有两个极值点，则实
数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．2,e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.
【详解】对原函数求导得，()2e x
f x x a '=+，
因为函数()()2e 1x
f x x a a R =+-∈有两个极值点，
所以()0f x '=有两个不等实根，即2e 0x x a +=有两个不等实根， 亦即2e x
x
a -=有两个不等实根. 令()2e x x
g x =
，则()()21e
x
x g x -'= 可知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 2
1e
g x g ==
， 又因为当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，
所以2e 0a a ⎧
-<
⎪⎨
⎪->⎩，解得20e a -<<， 即a 的范围是2,0e ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
故选：B
例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数()sin 3f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在区间[0，π)内有且只有两个极
值点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．58,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【分析】根据极值点的定义，利用整体法，列出关于ω的不等关系，即可求得参数范围. 【详解】因为()f x 在[)0,π有2个极值点，也即()f x 在区间[)0,π取得一次最大值，一次最小值；
又0ω>，则当[)0,x π∈，,333x π
π
πωωπ⎡⎫+
∈+⎪⎢⎣⎭
， 要使得()f x 满足题意，只需35232ππωππ<+≤，解得713,66ω⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
.
故选：C.
例7．（2023·全国·高三专题练习）若2x =是函数2
1()2ln 2
f x ax x x =--的极值点，则函数（ ）
A ．有最小值2ln2-，无最大值
B ．有最大值2ln2-，无最小值
C ．有最小值2ln2-，最大值2ln 2
D ．无最大值，无最小值
【答案】A
【分析】对()f x 求导，根据极值点求参数a ，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.
【详解】由题设，2
()1f x ax x '=--且(2)0f '=，
∴220a -=，可得1a =.
∴2(1)(2)
()1x x f x x x x
+-'=--=且0x >，
当02x <<时()0f x '<，()f x 递减；当2x >时()0f x '>，()f x 递增； ∴()f x 有极小值(2)2ln 2f =-，无极大值. 综上，有最小值2ln2-，无最大值. 故选：A
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
，若1x =是函数()f x 的唯
一极值点，则实数k 的取值范围是_______． 【答案】1k ≥-
【分析】先求函数()f x 的导函数2
(e )(1)
()x k x f x x
+-'=
，由条件1x =是函数()f x 的唯一极值点，说明e 0x k +=在,()0x ∈+∞上无解，或有唯一解1x = ，求实数k 的取值 【详解】e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭的定义域为(0,)+∞
222
(1)e 11(e )(1)
()()x x x k x f x k x x x x -+-'∴=+-+=
1x =是函数()f x 的唯一极值点
1x ∴= 是导函数()0f x '=的唯一根 （∴）e 0x k +=在(0,)+∞无变号零点
令()e x g x k =+ ，则()e 0x g x '=> ，即()g x 在(0,)+∞上单调递增 此时min ()10g x k =+≥ 1∴≥-k
（∴）当()e x g x k =+ 在(0,)+∞有解1x = 时，此时e 0k += ，解得e k =- 此时()f x 在(0,1) 和(1,)+∞ 上均单调递增，不符合题意 故答案为：1k ≥-
【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A ．()()()f b f a f c >>
B ．函数()f x 在x ＝c 处取得最大值，在e x =处取得最小值
C ．函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，在e x =处取得极小值
D ．函数()f x 的最小值为()f d 【答案】C
【分析】根据导函数的图象确定()f x 的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.
【详解】由题图可知，当x c ≤时，()0f x '≥，所以函数()f x 在,c 上单调递增，
又a <b <c ，所以()()()f a f b f c <<，故A 不正确． 因为()0f c '=，()0f e '=，且当x c <时，0f x
；当c <x <e 时，()0f x '<；
当x >e 时，0f
x
．所以函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，但不一定取得最大值，在x ＝e
处取得极小值，不一定是最小值，故B 不正确，C 正确．
由题图可知，当d x e ≤≤时，()0f x '≤，所以函数()f x 在[d ，e ]上单调递减，从而()()f d f e >，所以D 不正确． 故选：C ．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．3-是()f x 的极小值点
B ．1-是()f x 的极小值点
C ．()f x 在区间(),3-∞上单调递减
D ．曲线()y f x =在2x =处的切线斜率小于零
【答案】D
【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC 选项，根据
导数的定义和几何意义即判断D 选项，从而得出答案. 【详解】由图像知，当3x <-或3x >时，0f
x
，()f x 单调递增，
当33x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，
所以()f x 在区间(),3-∞-，()3,+∞内单调递增，在区间()3,3-内单调递减， 3-是()f x 的极大值点，3是()f x 的极小值点，故ABC 错误；
又因为()20f '<，所以曲线()y f x =在2x =处切线斜率小于零，故D 正确. 故选：D.
例11．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 定义域为(),a b ，其导函数'()f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在区间(),a b 内极小值点的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【分析】根据导函数的图象可判断出()f x 的单调性，结合极小值点的概念即可得结果. 【详解】由()f x '的图象可得：
函数()f x 在()1,a x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 在()24,x x 上单调递增，在()4,x b 上单调递减，
故2x x =为函数()f x 的极小值点，即()f x 在区间(),a b 内极小值点的个数是1， 故选：A.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在[,]a b 上的函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出下列命题：
∴函数()y f x =在区间[]24,x x 上单调递减； ∴若45x m n x <<<，则
()()22f m f n m n f ++⎛⎫
>'' ⎝'⎪⎭
；
∴函数()y f x =在[,]a b 上有3个极值点；
∴若23x p q x <<<，则[][()()]()()0f p f q f p f q ''-⋅-<． 其中正确命题的序号是（ ）
A ．∴∴
B ．∴∴
C ．∴∴
D ．∴∴
【答案】B
【分析】根据()y f x '=图象判断函数()y f x =单调性和极值点情况，并利用单调性比较函数值的大小，逐一判断四个命题的正误即可.
【详解】∴中，看图知，在区间[]23,x x 上，()0f x '≥，在区间[]34,x x 上，()0f x '≤，故函数
()y f x =在区间[]24,x x 上先增再减，∴错误；
∴中，看图知，在区间[]45,x x 上，()y f x '=是下凸的，任意连接两点()(),(),,()m f m n f n ''，中点为()(),22m n f m f n M ''++⎛⎫ ⎪⎝⎭
，线段一定在()y f x '
=图象上方，故中点也在图象上方，即
()()22f m f n m n f ++⎛⎫
>'' ⎝'⎪⎭
，故∴正确；
∴中，看图知，在区间[]3,a x 上，()0f x '≥，在区间[]35,x x 上，()0f x '≤，在区间[]5,x b 上，()0f x '≥，所以()y f x =有一个极大值点3x 和一个极小值点5x ，故∴错误；
∴中，看图知，在区间[]23,x x 上，()0f x '≥，且()f x '递减，故()y f x =单调递增，故()(),()()f p f q f p f q '<'>，故[][()()]()()0f p f q f p f q ''-⋅-<，即∴正确.
综上，正确命题的序号是∴∴. 故选：B.
【点睛】方法点睛：
利用导数判断函数()f x 的单调性和极值的方法：
∴写定义域，对函数()f x 求导()f x '；∴在定义域内，令 ()0f x '>的区间即是增区间，令
()0f x '<的区间即是减区间，∴根据单调区间，判断极值点即可.
【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系 例13．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋323
c
bx +的单调递增区间是（ ）
A ．(－∞，－2]
B ．1
[,)2
+∞
C ．[2,3)
D ．9
[,)8
+∞
【答案】D
【分析】由图象知0a >，0d =，不妨取1a =，先对函数32()f x x bx cx d =+++进行求导，根据2x =-，3x =时函数取到极值点知(2)0f '-=，(3)f '0=，故可求出b ，c 的值，再根据函数单调性和导数正负的关系得到答案． 【详解】解：不妨取1a =，
32()f x x bx cx =++，2()32f x x bx c '∴=++
由图可知(2)0f '-=，(3)f '0=
1240b c ∴-+=，2760b c ++=， 1.5b ∴=-，18c =-
2964y x x ∴=--，9
24
y x '=-，当98x >时，0'>y
29
64y x x ∴=--的单调递增区间为：9[8
，)∞+
故选：D ．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 04f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π，
将()f x 的图象向右平移
3
π
个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在(),a a -上存在唯一极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,2424ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．11,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．11,2424ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．11,2424ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【分析】首先求函数()f x 的解析式，再根据平移公式，求解函数()g x 的解析式，结合函数的图象，列式求实数a 的取值范围. 【详解】由题意知()f x 的最小正周期2T π
πω=
=，∴2ω=，∴()sin 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
∴()5sin 2sin 23412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，作出()g x 的图象如图所示，
数形结合可知0112424a a a ππ⎧
⎪>⎪
⎪≤⎨
⎪
⎪-<-⎪⎩ ，解得：112424a ππ<≤ ∴实数a 的取值范围是11,2424ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
.
故选：D
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数()y f x =的导数()'
y f x =的图象，则下面判
断正确的是（ ）
A ．在()3,1-内()f x 是增函数
B ．在()4,5内()f x 是增函数
C ．在1x =时()f x 取得极大值
D ．在2x =时()f x 取得极小值
【答案】B
【分析】根据()'
y f x =图象判断()f x 的单调性，由此求得()f x 的极值点，进而确定正确
选项.
【详解】由图可知，()f x 在区间()33,,2,42⎛⎫-- ⎪⎝
⎭上()()'
0,f x f x <递减；在区间()3,2,4,52⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()'
0,f x f x >递增.
所以1x =不是()f x 的极值点，2x =是()f x 的极大值点.
所以ACD 选项错误，B 选项正确. 故选：B
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()x a
f x a x =-（0x >，0a >且1a ≠），则（ ）
A ．当e a =时，()0f x ≥恒成立
B ．当01a <<时，()f x 有且仅有一个零点
C ．当e a >时，()f x 有两个零点
D ．存在1a >，使得()f x 存在三个极值点 【答案】ABC
【分析】选项A ，不等式变形后求函数的最值进行判断；选项B ，确定函数的单调性，利用零点存在定理判断；选项C ，结合选项A 中的新函数进行判断；选项D ，求导，由导函数等于0，构造新函数确定导函数的零点个数，得极值点个数，判断D ．
【详解】对于A 选项，当e a =时，()0f x ≥，即e ln 1
e eln e x x x x x x ≥⇔≥⇔
≤，设()ln x g x x
=， 则()2
1ln x
g x x
-'=
，故当()0,e x ∈时，()0g x '>，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()()ln e 1
e e e
g x g ≤=
=，故A 正确； 对于B 选项，当01a <<时，()x a
f x a x =-单调递减，且当0x +→时，()1f x →，()110f a =-<，
因此()f x 只有一个零点，故B 正确；
对于C 选项，()0ln ln x a
f x a x x a a x =⇔=⇔=，即
ln ln x a
x a
=，当e a >时，由A 选项可知，()1
0e
g a <<，
因此()()g x g a =有两个零点，即()f x 有两个零点，故C 正确；
对于D 选项，()1
ln x a f x a a ax -'=-，令()0f x '=，得11ln x a a a x --=，两边同时取对数可
得，()()()1ln ln ln 1ln x a a a x -+=-，设()()()()1ln ln ln 1ln h x x a a a x =-+--，则
()1ln a h x a x -'=-
，令()0h x '=，得1ln a x a -=，则()h x 在10,ln a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，
在1,ln a a -⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，因此()h x 最多有两个零点，所以()f x 最多有两个极值点，故D 错误. 故选：ABC.
【题型】五、求已知函数的极值点
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数3()1f x x x =-+，对于以下3个命题： ∴函数()f x 有2个极值点 ∴函数()f x 有3个零点
∴点(0,1)是函数()f x 的对称中心 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【分析】利用导数研究()f x 的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根据()()2f x f x +-=判断对称中心. 【详解】令2()310f x x '=-=
，可得x =
所以(,-∞
、)+∞上()0f x '>，()f x
递增；(上()0f x '<，()f x 递减；
所以x =是()f x 的极值点， 又(2)50f -=-<
，(10f =>
，10f =->，
所以()f x
在(2,-上存在一个零点，
所以()f x 有2个极值点，1个零点，∴正确，∴错误；
33()()112f x f x x x x x +-=-+-++=，故(0,1)是函数()f x 的对称中心，∴正确.
故选：C
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()1
2sin cos 3
f x x x x =-的一个极值点，则20tan x 的值是（ ）
A ．1
B ．12
C ．37
D ．57
【答案】D
【分析】由题知0()0f x '=，可得01cos26
x =，由二倍角公式可算得2
07cos 12x =，进而有
205sin 12x =
，所以2
05tan 7
x =. 【详解】()2
001112cos2,cos22cos 1366
f x x x x =-∴=∴-='，
∴207cos 12x =
，∴22
005sin 1cos 12
x x =-=， ∴22
0020sin 5
tan cos 7
x x x =
= 故选：D
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()8sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，(]0,4x π∈，则()f x 所
有极值点的和为（ ） A ．
223
π
B ．13π
C ．17π
D ．
503
π
【答案】D
【分析】根据已知条件，令()0f x '=，求出方程的根，判断根左右两侧的导函数符号可得极值点，从而可求解()f x 所有极值点的和.
【详解】解：()16cos 26f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()16cos 206f x x π⎛
⎫'=-= ⎪⎝
⎭，得,23k x k Z ππ=
+∈， 因为()f x '在,23k x k Z ππ=
+∈两侧异号，所以,23
k x k Z ππ
=+∈是函数()f x 的极值点， 又(]0,4x π∈，所以极值点54117171023,,,,,,,36363636x ππππππππ
=，
所以()f x 所有极值点的和为5411717102350,3
63636363
πππππππππ
+
+++++=， 故选：D.
例20．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知函数()2sin 212cos x
f x x
=+，则下列说法中正
确的是（ ） A ．()()f x f x π+= B ．()f x
C ．()f x 在,22
ππ
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
上单调递增
D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】ABD
【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项. 【详解】
()2sin 2sin 2sin 21cos 212cos 2cos 2122x
x x
f x x x
x =
=
=
+++⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
， A 选项：()()()()sin 22sin 22cos 222cos 2x x f x f x x x
πππ++===+++，A 选项正确；
B 选项：设()sin 22cos 2x
f x t x
=
=+
，则(
)sin 2cos 222x t x t x ϕ-==+≤
解得2
13t ≤
，t ≤≤，即max t =，即()f x B 选项正确； C 选项：因为022f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以()f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误；
D 选项：()()()
()
()
2
2
2cos 22cos 2sin 22sin 24cos 22
2cos 22cos 2x x x x x f x x x +--+'=
=
++，
令()0f x '=，解得1cos 22x =-，即3x k π
π=+或23x k ππ=
+，Z k ∈， 当2,33x k k ππππ⎛⎫
∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当当24,33x k k ππππ⎛⎫∈++
⎪⎝⎭
，Z k ∈时，0f x ，函数单调递增，
所以函数()f x 的极大值点为
3
π，43π
，
，
()13
n π
π+-，
又函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则2021,202233a ππππ⎛⎤
∈++ ⎥⎝⎦
，即
60646067,33a ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，D 选项正确；
故选：ABD.
【题型】六、函数最值与极值的关系
例21．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数222
()x
x x f x e
+-=，则下列结论不正确的是（ ） A ．函数()f x 有极小值也有最小值 B ．函数()f x 存在两个不同的零点 C ．当2
6
0k e -
<<时，()f x k =恰有三个实根 D ．若[0,]x t ∈时，max 26
()f x e
=，则t 的最小值为2 【答案】C
【分析】先求导，通过导函数的单调性分析出原函数大致图象，然后画出图象，结合图象来分析每一个选项即可求出答案.
【详解】由222()x x x f x e +-=，得()
22'2(22)(22)4()x x x x x e x x e x f x e e +-+--+==， 令'()0f x =，则2x =-或2x =，当<2x -或2x >时，'()0f x <；当22x -<<时，'()0f x > ， 所以()f x 在(,2)-∞-和(2,+)∞上单调递减，在(2,2)-上单调递增，
所以()f x 有极小值()2
244222f e e ---=
=--，有极大值()224+4262f e e
-==， 当x →-∞时，()f x →+∞， 当x →+∞时，()0f x →， 故函数的图象如图，
由图像可知A ，B ，D 正确，C 错误. 故选：C
例22．（2022·全国·高三专题练习）对函数()242
()ln 1f x x a x x =+++(x R ∈，a R ∈且0a ≠)
的极值和最值情况进行判断，一定有（ ） A ．既有极大值，也有最大值 B ．无极大值，但有最大值 C ．既有极小值，也有最小值 D ．无极小值，但有最小值
【答案】C
【分析】先求出导数，342
42()21x x
f x x a x x '+=+⋅++4221
x x x =++()42(21)1x a x a ++++，然后讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况，进而判断各选项
【详解】342
42()21x x
f x x a x x '+=+⋅++4221
x x x =++()42(21)1x a x a ++++，下面讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况.令2[0,)u x =∈+∞，2()(21)1g u u a u a =++++，
（1）当(0)10g a =+<时(即1a <-)，()g u 仅有一个唯一的正零点，不妨设为0u ，此时()f x '
有三个不同零点，分别为0
（2）当(0)10g a =+=时(即1a =-)3
4
22()(1)(1)1
x f x x x x x =+-++'；满足既有极小值，也有最小值；
（3）当(0)10g a =+>时(即1a >-且0a ≠)，若2102
a u +=-≤(即1
2a ≥-且0a ≠)，则()f x 仅
有一个唯一的极小值点为0，若212a u +=-
1012a ⎫⎛
>-<<- ⎪⎝
⎭，结合
22Δ(21)4(1)43a a a =+-+=-分析可知：当1a -<<()g u 有两个不同的正零点(令
为1u ，2u 且12u u <).此时()f x 在(,-∞，()，上单调递减，当
1
2
a ≤<-时，则()f x 仅有一个唯一的极小值点为0. 满足既有极小值，也有最小值；综上分析， 故选：C
【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况，讨论的时候，分情况：（1）当(0)10g a =+<；（2）当(0)10g a =+=；（3）当(0)10g a =+>，进而判断各选项，属于难题
例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()x f x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的
零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定
【答案】C
【解析】对函数求导，转化条件为()0f x '<有解，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由题意，()2()2x
f x x a e x +'=+，
因为函数()f x 有最小值，且e 0x >，
所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解， 所以220x x a ++=有两个不等实根， 所以函数()y f x '=的零点个数为2. 故选：C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题. 例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()()f a f b f c <<
B ．()()()f e f d f c <<
C ．x c =时，()f x 取得最大值
D ．x d =时，()f x 取得最小值
【答案】AB
【分析】由()f x '图象可确定()f x 的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由()f x '图象可知：当()
(),,x c e ∈-∞+∞时，0f
x
；当(),x c e ∈时，()0f x '<；
f x 在(),c -∞，(),e +∞上单调递增，在(),c e 上单调递减；
对于A ，a b c <<，()()()f a f b f c ∴<<，A 正确； 对于B ，c d e <<，()()()f e f d f c ∴<<，B 正确；
对于C ，由单调性知()f c 为极大值，当>x e 时，可能存在()()0f x f c >，C 错误； 对于D ，由单调性知()()f e f d <，D 错误. 故选：AB.
【题型】七、导数中的极值偏移问题
例25．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()2
ln f x x x
=+，下列说法错误的是（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】C
【分析】对于A ，分析()f x 导函数可作判断；对于B ，考查函数()y f x x =-的单调性可作判断；对于C ，分离参数，再分析函数
()
f x x
最值情况而作出判断；对于D ，构造函数()()(4)(02)g x f x f x x =--<<讨论其单调性，确定()0g x >即可判断作答.
【详解】对于A 选项：()f x 定义域为(0,)+∞，22212()x f x x x x
'
-=-
+=， 02x <<时,()0,2f x x '<>时()0f x '>，
2x =是()f x 的极小值点，A 正确；
对于B 选项：令222
()(),()0x x h x f x x h x x -+'=-=-
<， ()h x 在(0,)+∞上递减，(1)1,(2)ln 210h h ==-<， ()h x 有唯一零点，B 正确；
对于C 选项：令23
()2ln ln 4
(),()f x x x x x x x x x x x ϕϕ-+'=
=+=-， 令()ln 4F x x x x =-+，()ln ,(0,1)F x x x '=∈时,()0,(1,)F x x '<∈+∞时,()0F x '>，
()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，则min ()(1)30F x F ==>，
()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,)+∞上递减，()ϕx 图象恒在x 轴上方，
与x 轴无限接近，不存在正实数k 使得()f x kx >恒成立，C 错误； 对于D 选项：由A 选项知，()f x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增， 因正实数1x ，2x ，且12x x >，()()12f x f x =，则2102x x <<<，
02x <<时，令()()(4)g x f x f x =--，
()()()()
2222
404x x g x f x f x x x --=+-'+-''=
<， 即()g x 在(0,2)上递减，
于是有()()20g x g >=，从而有()()122(4)f x f x f x =>-， 又242x -> ，所以124x x >-，即124x x +>成立，D 正确. 故选：C.
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln x
f x x
=，则（ ） A ．()()25f f >
B ．若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则2
12e x x <
C ．ln 2
D ．若23x y =，x ，y 均为正数，则23x y > 【答案】AD
【分析】A ：代入2,5直接计算比较大小；B ：求()f x 的导函数，分析单调性，可得当()f x m
=有两个不相等实根时1x 、2x 的范围，不妨设1x 2x <，则有10e x <<2x <，比较()211,e f x f x ⎛⎫
⎪
⎝⎭的大小关系，因为()()12f x f x =，可构造()()2e F x f x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
(0e)x <<，求导求单调性，
计算可得()0F x <成立，可证2
12e x x >；C ：用()f x 在()0,e 上单调递增，构造
ln 2ln e
2e
<可证明；D ：令23x
y
t ==，解出lg lg 2
t x =
，lg lg 3t
y =，做差可证明23x y >.
【详解】解：对于A ：()()12ln 5
2525
n f f =
===又10
5
232==10
25=，
3225>>()()25f f >，A 正确；
对于B ：若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则2
12e x x >，故B 不正确；
证明如下：函数()ln x f x x =，定义域为()0,∞+，则()2
1ln x
f x x -'=， 当0f
x
时，0e x <<；当()0f x '<时，e x >；
所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则()max 1
e
f x =且e x >时，有()0f x >，
所以 若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，有10e
m <<，
不妨设1x 2x <，有10e x <<2x <，要证2
12e x x >，只需证2
21
e x x >，且221e e x x >>，又
()()12f x f x =，所以只需证()211e f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭，令()()2e F x f x f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
(0e)x << 则有()()()22241111e ln e F x f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫
'''=+⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当0e x <<时，1ln 0x ->，
24
11
0e x ->，所以有()0F x '>，即()F x 在(0,e)上单调递增，且()0e F =，所以()0F x <恒成立，即()211e f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，即()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即212e x x >.
对于C ：由B 可知，()f x 在()0,e 上单调递增，则有()()2e f f <，即ln 2ln e
2e
<
，则有2ln 2e <
<C 不正确； 对于D ：令23x y t ==，则1t >，2lg log lg 2t x t ==
，3lg log lg 3
t
y t ==， 2lg 3lg lg (lg9lg8)
230lg 2lg3lg 2lg3
t t t x y -∴-=
-=>⋅， 23∴>x y ，故D 正确；
故选：AD.
【点睛】知识点点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；
（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()(0).e x
ax
f x a =
≠ (1)若对任意的x R ∈，都有1
()e
f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)设,m n 是两个不相等的实数，且e m n m n -=．求证： 2.m n +>
【答案】(1)(0,1] (2)证明见解析
【分析】（1）先判断a<0不成立，当0a >时，求出函数的导数，结合最值可得参数的取值范围；
（2）设()()(2)(1)h x g x g x x =-->，可得()0h x >恒成立，从而可证不等式. (1)
当a<0时，111
e a
f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 因为1
0e e a
<<，所以11
1e e a
>，即11e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，不符合题意；
当0a >时，(1)
()e x
a x f x -'=
， 当(,1)x ∞∈-时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<， 所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． 所以()(1)e
a
f x f ≤=
． 由1()e f x ≤恒成立可知1
e e
a ≤，所以1a ≤．
又因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1]． (2)
因为e m n m n -=，所以e e m n m n --=，即e e
m n m n
=． 令()e x
x
g x =
，由题意可知，存在不相等的两个实数m ，n ，使得()()g m g n =． 由（1）可知()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． 不妨设m n <，则1m n <<．
设()()(2)(1)h x g x g x x =-->，
则222
1e 1()()[(2)](1)e (1)0e e x x x x
x h x g x g x x x ----'''=--=+-=-⋅
>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，
所以()0h x >，即()(2)g x g x >-在区间(1,)+∞上恒成立． 因为1n >，所以()(2)g n g n >-． 因为()()g m g n =，所以()(2)g m g n >-．
又因为1m <，21n -<，且()g x 在区间(,1)-∞上单调递增， 所以2m n >-，即2m n +>．
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，可转化函数的最值问题，而极值点偏移问题，通过可构建新函数，并利用原函数的单调性进行转化.
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1e (1),1,1x f x k x x k R x ⎛⎫=--->-∈ ⎪+⎝⎭
． (1)若0k =，证明：(1,0)x ∈-时，()1f x <-；
(2)若函数()f x 恰有三个零点123,,x x x ，证明：1231x x x ++>．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）当0k =时，1()e ,(1,0)1
x x f x x x -=∈-+，求导，得到导函数大于0恒成立，故得到()(0)1f x f <=-；（2）首先确定1x =为函数的一个零点，接下来研究e ()1
x
F x k x =-+，构造差函数，求导后单调性，得到证明.
(1)
0k =时，函数1()e ,(1,0)1
x x f x x x -=∈-+， 则22
1()e 0(1)x x f x x +='>+， ()f x 在(1,0)-上单调递增， 所以1()e (0)11
x x f x f x -=
<=-+． (2) e ()(1)1x f x x k x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭
，显然1x =为函数的一个零点，设为3x ； 设函数e ()1
x
F x k x =-+，2e ()(1)x x F x x '=+ 当(1,0)x ∈-时，()0F x '<，当,()0x ∈+∞时，()0F x '>，
故()F x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．
由已知，()F x 必有两个零点12,x x ，且1210x x -<<<，下证：120x x +>．
设函数()()(),(1,0)h x F x F x x =--∈-，则e e ()11
x x h x x x -=
++-， 2e 11()e e (1)11x x x x x x h x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭
'， 由于(1,0)x ∈-，则2e 1e 0(1)1x x x x x x -+⎛⎫-< ⎪+-⎝⎭，
由（1）有1e 01
x x x ++>-，故()0h x '<， 即函数()h x 在(1,0)-上单调递减， 所以()(0)0h x h >=，
即有()()()211F x F x F x =>-， 由于12,(0,)x x -∈+∞，且在(0,)+∞上单调递增， 所以21x x >-，
所以120x x +>．
【点睛】对于极值点偏移问题，通常要构造差函数，结合差函数的单调性和最值，进行证明.。