应用全局最小二乘法辨识AUV运动参数

应用全局最小二乘法辨识AUV运动参数
田亚杰,边信黔
(哈尔滨工程大学动力与核能工程学院,黑龙江哈尔滨150001)
摘要:用系统辨识的方法来估计AUV的水动力参数有很多优点,是当前研究的热点。

考虑到AUV运动模型的特点,本文提出用全局最小二乘法(TLS)来辨识AUV水动力参数。

首先分析了AUV运动模型,然后讨论了TLS及其与最小二乘法(LS)的区别与联系,提出了辨识模型并且利用仿真数据分别用TLS和LS两种方法进行了辨识,最后分析比较了两种方法的辨识结果得出结论。

关键词:智能水下机器人;全局最小二乘法;水动力参数;参数辨识
中图分类号:O231 3文献标识码:A文章编号:1003 7241(2006)02 0004 04
Identificatio n of Hydro dynam ic Param eters of
AUV w ith the Total Least S quares Method
TIAN Ya-jie,BIAN Xin-qian
(Power and Nuclear Engineeri ng College,Harbin Engineering University,Harbin150001,China)
Abstract:In the paper,with the characteristics of AUV dynamic model is concerned,total least squares(TLS)is chosen to identify the hydrodynamic parameters of AUV.Then the TLS is compared with the least-squares(LS)in the parameter iden tification of the AUV.
Key words:AUV;TLS;Hydrodynamic parameters;Parameter identification
1引言
传统确定AUV水动力参数的方法是试验测定法,需要进行大量的、耗时的、昂贵的试验,而且通常不考虑不同自由度之间的耦合。

参数辨识方法则能利用从几个特别设计的试验中获取的数据或者AUV实际航行中的数据来对AUV的运动参数进行辨识,可以为仿真系统和控制系统设计提供更真实的水动力参数,并且节约时间和成本。

由于用系统辨识的方法来确定AUV的运动参数具有很多优点,近些年该领域引起了广泛关注。

许多作者提出了基于神经网络的辨识方法[1][2],还有一些提出了基于极大似然函数的辨识方法[3],但是由于最小二乘法的方便简单快捷,更多的研究集中在最小二乘法上面。

本文主要研究全局最小二乘法在AUV运动参数辨识中的应用,本文针对AUV在垂直面运动时的情况,给出了辨识的结果。

由于条件所限,本文所用到的数据是通过仿真得到。

收稿日期:2005-09-292AUV数学模型
目前AUV的运动模型没有统一的标准方程,有两组方程应用比较广泛,分别由Fossen[4]和Healey[5]提出。

一般情况下,水下机器人的运动是具有6个自由度的空间运动。

在弱机动时,水下机器人在水中的空间运动,可分解成两个平面的运动:水平面运动和垂直面运动。

本文讨论垂直面运动,根据文献[6],忽略AUV在横向,横倾和艏向三个自由度的运动,可得到AUV在垂直面上的运动方程。

由以下方程,AUV运动方程是非线性而且三个自由度互相耦合,但是当AUV在一定限度内运动的时候,运动方程的各个参数可以看作是常量,这样运动方程关于参数是线性的,可以利用最小二乘类方法来进行辨识。

m(
w+wq)=
2
L3[X! w w+X!wq wq]+
2
L2[X!u|u|u|u|+
X!
s
s
u2 2s]+X T(1) m(
w-uq)=
2
L4Z! q q+
2
L3[Z! w w+Z!uq uq]+
2
L2[Z!uu u2+Z!u w u w+Z!w|w|w|w|]+
2
L2Z!
s
u2 s(2)
4|Tech
niq ue s o f Au to mat io n
I y q=
2L5[M! q q+M!q|q|q|q|]+
2
L4[M! w w+M!uq uq]+
2L3[M!u w uw+M!
s
u2 s]+z B B sin(3)分析以上模型可知,由于各个方程不包括一次项阻力,无法
写成一般的状态空间模型,而且由于各个方程差别较大也无法写成统一形式进行辨识,所以决定在各个自由度上分别进行辨识。

3辨识方法
3.1全局最小二乘法TLS
最小二乘法有一个隐含的假定条件,就是数据矩阵中的数值是没有误差的,而全部误差都限制在观测数据中。

这种假定只有过程干扰和测量误差可以忽略的系统才能符合[9]。

但是对于AUV的参数辨识来说,数据矩阵与观测向量均在相同条件下测量得到,其测量噪声及过程干扰都不能忽略。

Golub[8]对TLS问题进行了深入的探讨。

对于模型Ax=b,全局最小二乘法就是考虑b和A的扰动。

更准确地说就是找到min
b+r∀Range(A+E)
#[E|r]#F,满足式(A+E)x=b+r的x就是TLS 问题的解。

这里我们利用奇异值分解(SVD)的方法来求解TLS问题。

如果b+r在A+E的值域内,则有向量x使得(A+E)x=b+
r;该式重新整理后[A+E b+r]x
-1
=0
这个方程显示TLS问题涉及到找到一个扰动矩阵!∀R m∃(n+1)有最小范数,使得C+!(C=[A|b])是秩亏损的。

可以用来实现这个目标,让
U T CV=diag(∀1,#,∀n+1),U=[u1,#,u m],V=[v1,#, v n+1],u i∀R m,v i∀R n+1,∀1%#%∀k>∀k+1=#=∀n+1,为C的SVD分解。

其中U T U=I m,V T V=I n。

由矩阵分析可知∀n+1=min
rank(C+!)<n+1
#!#F
而且,最小值可通过设定!=-Cvv T而得到,其中v是在自空间S C中的任意单位向量S C=span{v k+1,#,v n+1}。

假设我们在子空间S C中找到的向量v有如下形式:
v=y
∃
,y∀R n,∃&0。

如果x=-1
∃y,T1=diag(t1,#,t n),而且我们用式[E|!r]=
-Cvv T来定义E和!r,那么
[A+E b+!r]
x
-1
=C(I-vv T)(-v/∃)=0
如果e n+1=(0,#,0,1)T垂直于S C,那么该TLS问题无解。

另一方面,如果∀n+1是C的重复的奇异值,那么TLS问题可能有多个解。

然而,此时我们可以找出一个唯一的最小范数的TLS解,我们用x TLS来表示该解。

可以构造一个Householder矩阵Q使得
[v k+1,#,v n+1]Q=
W y
0∃
n-k1
{n-k
{1
容易证明x TLS=-y/∃就是范数最小的TLS问题的解。

3.2TLS与LS的比较
最小二乘法的目标函数可以表示为J LS=r T r/2,而全局最小二乘法的目标函数是J TLS=trace[∃!A!A T+(1-∃)rr T],当∃=0.5时,J TLS=trace[!C!C T]其中!C=[!A r]。

由此可知最小二乘法是极小化观测向量的误差值,而全局最小二乘法是极小化数据矩阵和观测向量的总误差。

对于一阶系统y=bx,最小二乘法和全局最小二乘法的区别可以用图示形象的表示如下。

图1表示最小二乘法,在辨识时候只考虑观测向量y上的噪声,图2表示全局最小二乘法,可以看出全局最小二乘法考虑的是图中各点到拟合直线的垂直距离和最小,
也就是说全局最小二乘法综合考虑y和x上
的噪声。

图1LS的几何解释
图2TLS的几何解释
4仿真过程
由于条件所限,对于TLS的研究没有在试验数据的基础上,而是在仿真数据上进行的。

仿真模型如式(1)、(2)和(3)所示,其中模型中各参数取值如下:
m=5454.54kg,L=5.3m,
=1000kg/m3,B=W=53400N,
x B=y B=0,z B=-6.1e-2,
I x=2038,I y=13587,I z=13587,
X w=-7.6e-3,X wq=2.06e-3,
X u|u|=-9.9259e-3,X
s
s
=-1.0e-2,
5
u es of Aut oma tio n&Ap p licat io ns|
Z
w =-2.4e -1,Z uq =-1.4e -1,Z u u =-1.25e -3,Z u w =-3.0e -1,Z w |w |=-7.01031e -1,
Z q =-0.034634,Z s
=-1.3e -2
M q =-1.7e -2,M q |q |=-5.6e -1,M uq =-6.8e -2,M w =0.0024996M u w =1.0e -2,M s
=-2.1e -1
进行两次仿真,在仿真采样间隔均为0.05s,在仿真过程中加入白噪声。

1.AUV 初始位置为在固定坐标系的(0,0,2000)处,初始状态为静止,各自由度速度为零,AUV 受阶跃输入激发,输入为推进器力X T =200N ,水平舵 s =rad, 2.AUV 初始位置为在固定坐标系的(0,0,1500)处,初始状态为静止,各自由度速度为零,AUV 受阶跃输入激发,输入为推进器力X T =150N ,水平舵 s =0 12rad 。

由此得到的AUV 纵向速度、垂向速度、纵倾角速度和纵倾
角如下列图形所示。

图3
纵向速度曲线
图4
垂向速度曲线
图5
纵倾角速度曲线
图6 纵倾角曲线
5 辨识过程
由[6][7]知,大部分辨识所用的辨识模型均和实际控制系统所用的模型差别较大,做了过多的假设,他们均假设AUV 所受的阻力仅有一次阻力项、二次阻力项和附加质量项组成,并且不考虑各自由度之间的耦合。

这样的假设有利于辨识,但由于这些模型与实际所用的模型差别较大,所以辨识出的系统应用价值不大,反而不利于辨识技术在AUV 上的应用。

本文所用的辨识模型和实际控制系统所以模型差别不大,但也由此增加了辨识的难度。

5.1 纵向辨识
由于在阶跃信号激励下,AUV 向前运动时候,将辨识方程写成如下形式
au 2+%wq+&(X T -mwq)= u (4)
其中∃=
0 5 L 2(X !u |u|+X ! s s
2s )
m-0.5 L 3X ! u
,%=0 5 L 3X !wq
m-0.5 L 3X ! u
,&=
1
M-0.5 L 3X ! u
采样N 组数据时,式(4)可以被扩充如下u 21w 1q 1X T -mw 1q 1u 22w 2q 2X T -mw 2q 2
M
M M u 2
N
w N q N
X T -mw N q N
∃∃%&
= u 1 u 2M u N
这样一个相对未知向量线性的方程组就得到了,其中加速度项
是通过对速度进行微分得到的。

利用上面的方程,可以用来估计未知向量[∃ % &]T 。

最后根据仿真数据分别用TLS 和LS 辨识出的结果如下表:
表1 纵向辨识结果
参数实际值TLS 辨识值LS 辨识值X ! u -0.0076-0.00752-0.00752X ! d
s
-0.01-0.011-0.011X !u|u|-0.0099-0.0098-0.0097X !wq
0.00206
0.0442
0.0449
6|Tech
niq ue s o f Au to mat io n
通过上表可以看出,除了X !wq 外,其他参数辨识结果令人满意,各参量的辨识值与实际值的误差限制在5%之内。

但是TLS 辨识出的结果要比LS 辨识出的精确。

5.2 纵倾辨识
同纵向辨识一样,AUV 的纵倾运动方程可以写作下式au 2+bu w +cuq +dq |q |+e w +fz B B sin = q (5)
其中a =
0 5 L 3M ! s
s
I y -0.5 L 5M ! q ,
b =0 5 L 3M !uw I y -0.5 L 5M ! q ,
c =0 5 L 4M !uq I y -0.5 L 5M ! q ,
d =0 5 L 5
M !q |q |I y -0.5 L 5M ! q ,
e =0 5 L 4M !
w I y -0.5 L 5
M ! q ,f =
1I y -0.5 L 5M ! q
采样N 组数据时,式(5)可以被扩充如下u 21u 1w 1u 1q 1q 1|q 1| w 1z B B sin 1u 22u 2w 2u 2q 2q 2|q 2| w 2z B B sin 2
M M M M M M u 2N
u N w N
u N q N
q N |q N |
w N z B B sin N
∃
a
b c d e f
=
q 1 q 2M q N
这样一个相对未知向量线性的方程组就得到了,其中加速度项是通过对速度微分得到的。

利用上面的方程,TLS 可以用来估计未知向量[a b c d e f ]T 。

表2 纵倾辨识结果
参数实际值TLS 辨识值LS 辨识值M ! q -0.017-0.00986-0.00983M !uw 0.010.0370.030M !uq -0.068-0.020456-0.004595M !q |q |-0.56-0.635-0.656M ! w 0.002500.003490.00353M !
s
-0.21
-0.1848
-0.17950
由上表可以看出,大部分参数的辨识结果与实际差别不大,M ! q 和M !uw 的辨识结果与实际差别较大,通过分析程序和试验数据,发现这主要是由于M ! w 和M !uw 项的输入数据较小,而使得所加噪声相对较大引起的。

分析上表可以发现,只有M !uq 和M !u w 利用LS 辨识出的结果比TLS 好,在其它项上TLS 的辨识结
果比LS 好。

6 结论
本文提出了将TLS 用于AUV 运动参数辨识,并利用仿真数据验证了TLS 用于运动参数辨识的可行性。

由辨识结果可知,
利用TLS 能较好的辨识出AUV 运动参数,虽然在一些参数上辨识结果于实际值差别较大,但经过分析得知,差别较大参数均是输入数据比较小的量的系数,由于输入较小,引起该输入量上的噪声幅度相对较大。

由于垂向的运动当用非阶跃信号进行激励的时候能更方便的进行辨识,这里未做辨识。

考虑到辨识所用数据是由仿真得到,由于所加噪声都比较小,辨识结果比较精确,当利用实验数据进行辨识的时候,可以利用精密的测量仪器进行测量并且对数据进行很好的滤波处理以获得比较精确的数据,应用TLS 方法也可以获得很好的效果。

本文还将LS 的辨识结果与TLS 的辨识结果作了比较,发现在利用同样的数据TLS 能获得更好的辨识结果。

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作者简介:
田亚杰(1979-),男,河南西平县人,硕士研究生,研究方向为潜器与水下机器人。

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