2020版高考数学一轮复习 课时跟踪检测(三十一)数列求和 理(含解析)苏教版

课时跟踪检测（三十一） 数列求和
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·镇江调研)已知{}a n 是等差数列，S n 为其前n 项和，若a 3＋a 7＝8，则S 9＝_______.
解析：在等差数列{}a n 中，由a 3＋a 7＝8， 得a 1＋a 9＝8， 所以S 9＝a 1＋a 9×92
＝
8×9
2
＝36.
答案：36 2．数列{1＋2
n －1
}的前n 项和为________．
解析：由题意得a n ＝1＋2
n －1
，
所以S n ＝n ＋1－2n
1－2＝n ＋2n
－1.
答案：n ＋2n
－1
3．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n
(2n －1)，则该数列的前100项之和为________． 解析：根据题意有S 100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100. 答案：100
4．(2018·泰州期末)已知数列{}a n 的通项公式为a n ＝n ·2n －1
，前n 项和为S n ，则S n ＝
________.
解析：∵a n ＝n ·2
n －1
，
∴S n ＝1×1＋2×2＋3×22
＋…＋n ×2
n －1
，
2S n ＝1×2＋2×22
＋3×23
＋…＋n ×2n
， 两式相减可得－S n ＝1＋2＋22
＋…＋2n －1
－n ·2n
＝1－2n
1－2
－n ·2n
，
化简可得S n ＝(n －1)2n
＋1. 答案：(n －1)2n
＋1
5．已知等比数列{}a n 的公比q ＞1，且a 5－a 1＝30，a 4－a 2＝12，则数列
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
a n －1
a n ＋1－1
的前n 项和为________． 解析：因为a 5－a 1＝30，a 4－a 2＝12， 所以a 1(q 4
－1)＝30，a 1(q 3
－q )＝12， 两式相除，化简得2q 2
－5q ＋2＝0， 解得q ＝1
2或2，
因为q ＞1，
所以q ＝2，a 1＝2. 所以a n ＝2·2n －1
＝2n
.
所以a n
a n －1
a n ＋1－1
＝
2
n
2n
－1
2
n ＋1
－1
＝
12n
－1－1
2n ＋1－1
， 所以T n ＝1－13＋13－17＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－1
2n ＋1－1.
答案：1－1
2n ＋1－1
6．若数列{a n }满足a n －(－1)n
a n －1＝n (n ≥2)，S n 是{a n }的前n 项和，则S 40＝________. 解析：当n ＝2k 时，即a 2k －a 2k －1＝2k ， ① 当n ＝2k －1时，即a 2k －1＋a 2k －2＝2k －1，② 当n ＝2k ＋1时，即a 2k ＋1＋a 2k ＝2k ＋1， ③ ①＋②得a 2k ＋a 2k －2＝4k －1， ③－①得a 2k ＋1＋a 2k －1＝1，
S 40＝(a 1＋a 3＋a 5＋...＋a 39)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋...＋a 40)＝1×10＋(7＋15＋23＋ (79)
＝10＋
107＋79
2
＝440. 答案：440
二保高考，全练题型做到高考达标
1．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝________.
解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝
n 2＋2n
2
＝n 2
＋n .
答案：n 2
＋n
2．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1
＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.
解析：由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， 所以b n ＝(－3)×(－4)n －1
，
所以|b n |＝3×4
n －1
，
即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列． 所以|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3
1－4n
1－4
＝4n
－1.
答案：4n
－1
3．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两
项之和，则这个数列的前16项之和S 16＝________.
解析：根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7. 答案：7
4．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项为2n
，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
解析：因为a n ＋1－a n ＝2n
，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1
＋
2
n －2
＋…＋22
＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝2－2n ＋1
1－2
＝2n ＋1
－2.
答案：2
n ＋1
－2
5．(2019·宿迁调研)已知数列{}a n 中，a 1＝1，a 2＝3，若a n ＋2＋2a n ＋1＋a n ＝0对任意n ∈N *
都成立，则数列{}a n 的前n 项和S n ＝________.
解析：∵a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＋2a n ＋1＋a n ＝0， ∴a n ＋2＋a n ＋1＝－(a n ＋1＋a n )，a 2＋a 1＝4.
则数列{}a n ＋1＋a n 是首项为4，公比为－1的等比数列， ∴a n ＋1＋a n ＝4×(－1)
n －1
.
当n ＝2k －1时，a 2k ＋a 2k －1＝4×(－1)2k －2
＝4.
∴S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2k －1＋a 2k )＝4k ＝2n . 当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－4.
S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2k －2＋a 2k －1)
＝1－4×(k －1)＝5－4k ＝5－4×
n ＋1
2
＝3－2n .
∴S n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3－2n ，n 为奇数，
2n ，n 为偶数.
答案：⎩⎪⎨
⎪
⎧
3－2n ，n 为奇数，2n ，n 为偶数
6．在等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．
解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1，设连续10项为a i ＋1，a i ＋2，
a i ＋3，…，a i ＋10，i ∈N ，设漏掉的一项为a i ＋k,1≤k ≤10，由
a i ＋1＋a i ＋10×10
2
－a i ＋k ＝185，
得(2i ＋3＋2i ＋21)×5－2i －2k －1＝185，即18i －2k ＝66，即9i －k ＝33，所以34≤9i ＝
k ＋33≤43,3＜34
9≤i ≤439
＜5，所以i ＝4，此时，由36＝33＋k 得k ＝3，所以a i ＋k ＝a 7＝15，
故此连续10项的和为200.
答案：200
7．(2019·邵阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A ，B ，
C ，
D ，
E 五人分5钱，A ，B 两人所得与C ，D ，E 三人所得相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得
依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，
E 分得________钱．
解析：由题意，设A 所得为a －4d ，B 所得为a －3d ，C 所得为a －2d ，D 所得为a －d ，
E 所得为a ，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
5a －10d ＝5，2a －7d ＝3a －3d ，解得a ＝23，故E 分得2
3
钱．
答案：2
3
8．已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2n ＝a n ＋1，a 2n ＋1＝n －a n ，则{a n }的前100项和为________． 解析：由a 1＝2，a 2n ＝a n ＋1，a 2n ＋1＝n －a n ，得a 2n ＋a 2n ＋1＝n ＋1，所以a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4
＋a 5)＋…＋(a 98＋a 99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276，因为a 100＝1＋a 50＝1＋(1＋a 25)＝2＋(12－a 12)＝14－(1＋a 6)＝13－(1＋a 3)＝12－(1－a 1)＝13，所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝1 276＋13＝1 289.
答案：1 289
9．(2018·苏北四市期末)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a ，(a n ＋1)(a n ＋1
＋1)＝6(S n ＋n )，n ∈N *
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若对于∀n ∈N *，都有S n ≤n (3n ＋1)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当n ＝1时，(a 1＋1)(a 2＋1)＝6(S 1＋1)，故a 2＝5. 当n ≥2时，(a n －1＋1)(a n ＋1)＝6(S n －1＋n －1)，
所以(a n ＋1)(a n ＋1＋1)－(a n －1＋1)(a n ＋1)＝6(S n ＋n )－6(S n －1＋n －1)， 即(a n ＋1)(a n ＋1－a n －1)＝6(a n ＋1)． 又a n ＞0，所以a n ＋1－a n －1＝6，
所以a 2k －1＝a ＋6(k －1)＝6k ＋a －6，a 2k ＝5＋6(k －1)＝6k －1，
故a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
3n ＋a －3，n 为奇数，3n －1，n 为偶数.
(2)当n 为奇数时，S n ＝1
2
(3n ＋a －2)(n ＋1)－n ，
由S n ≤n (3n ＋1)，得a ≤3n 2
＋3n ＋2
n ＋1恒成立，
令f (n )＝3n 2
＋3n ＋2
n ＋1，则f (n ＋1)－f (n )＝
3n 2
＋9n ＋4
n ＋2n ＋1
＞0，
所以a ≤f (1)＝4.
当n 为偶数时，S n ＝1
2n (3n ＋a ＋1)－n ，
由S n ≤n (3n ＋1)得，a ≤3(n ＋1)恒成立， 所以a ≤9.
又a 1＝a ＞0，所以实数a 的取值范围是(0,4]．
10．(2019·宿迁中学调研)已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *
)．
(1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值； (2)若λ＝1
2
，求S n .
解：(1)令n ＝1，得a 2＝2
1＋λ.
令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3， 所以a 3＝
2λ＋4
λ＋12λ＋1
.
由a 2
2＝a 1a 3，得⎝
⎛⎭
⎪⎫21＋λ2＝
2λ＋4λ＋12λ＋1， 因为λ≠0，所以λ＝1.
(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝1
2a n a n ＋1，
所以
S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12
， 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，1
2为公差的等差数列，
所以
S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·1
2
， 即S n ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2＋32a n ，①
当n ≥2时，S n －1＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n
2＋1a n －1，② ①－②得，a n ＝
n ＋32
a n －n ＋2
2
a n －1，
即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以
a n n ＋2＝a n －1
n ＋1
(n ≥2)， 所以⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫a n n ＋2是常数列，且为13，所以a n ＝1
3(n ＋2). 代入①得S n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫n 2＋32a n －1＝n 2
＋5n 6. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·启东检测)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之和，则S n ＝________尺．
解析：依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n 天大老鼠打洞的距离共为
1×
1－2n
1－2
＝2n
－1.同理可得前n 天小老鼠打洞的距离共为
1×⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝2－12n －1，所以S n ＝2n －1＋2－12n －1＝2n
－12n －1＋1. 答案：2n
－
12
n －1
＋1
2．(2018·苏州高三暑假测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2
－16n ＋15(n ∈N *
)，若对任意n ∈N *
，总有S n ≤S k ，则k 的值为________．
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n －S n ＝a 1＋(n －1)d －⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤na 1＋
n n －1
2
d ＝－d 2
n 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32d －a 1n ＋a 1－d ＝n 2
－16n ＋15，所以⎩⎪⎨⎪⎧
－d
2
＝1，
3
2d －a 1
＝－16，a 1
－d ＝15，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 1＝13，d ＝－2，
所以
S n ＝13n ＋n n －12
×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2
＋49，所以(S n )max ＝S 7，所以S n ≤S 7对任
意n ∈N *
恒成立，所以k 的值为7.
答案：7
3．(2019·南京一模)平面内的“向量列”{a n }，如果对于任意的正整数n ，均有a n ＋1
－a n ＝d ，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”；平面内的“向量列”{b n }，如果对于任意的正整数n ，均有b n ＋1＝q ·b n (q ≠0)，则称此“向量列”为“等比
向量列”，常数q 称为“公比”．
(1)如果“向量列”{a n }是“等差向量列”，用a 1和“公差向量”d 表示a 1＋a 2＋…＋a n ； (2)已知{a n }是“等差向量列”，“公差向量”d ＝(3,0)，a 1＝(1,1)，a n ＝(x n ，y n )，{b n }是“等比向量列”，“公比”q ＝2，b 1＝(1,3)，b n ＝(m n ，k n )，求a 1·b 1＋a 2·b 2＋…＋a n ·b n .
解：(1)∵“向量列”{a n }是“等差向量列”， ∴a 1＋a 2…＋a n ＝n a 1＋(1＋2＋…＋n －1)d ＝n a 1＋
n n －1
2
d.
(2)∵a 1＝(1,1)，d ＝(3,0)，∴a n ＝(3n －2,1)． ∵b 1＝(1,3)，q ＝2，∴b n ＝(2n －1,
3·2
n －1
)．
∴a n ·b n ＝(3n －2,1)·(2
n －1,
3·2n －1
)＝(3n －2)·2n －1
＋3·2
n －1
＝(3n ＋1)·2
n －1
，
设S n ＝a 1·b 1＋a 2·b 2＋…＋a n ·b n ， 则S n ＝＝4·20
＋7·21
＋…＋(3n ＋1)·2n －1
，
2S n ＝4·2＋7·22＋…＋(3n ＋1)·2n
， 两式相减可得，－S n ＝4＋3(2＋22
＋…＋2n －1
)－(3n ＋1)·2n
＝4＋3·
21－2n －1
1－2
－(3n ＋1)·2n ＝(2－3n )·2n
－2，
∴a 1·b 1＋a 2·b 2＋…＋a n ·b n ＝(3n －2)·2n
＋2.。