高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质学业分层测评 苏教版选修21

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程
2.4.2 抛物线的几何性质学业分层测评 苏教版选修2-1
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．抛物线焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5，则该抛物线的方程是________．
【解析】 设抛物线的标准方程为y 2
＝2ax (a ≠0)，设A (m ，－3)． 由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
m ＋a 2，
又(－3)2
＝2am ， ∴a ＝±1或a ＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y 2
＝±2x 或y 2
＝±18x . 【答案】 y 2
＝±2x 或y 2
＝±18x
2．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB ＝43，则焦点到弦AB 的距离为________． 【解析】 由题意我们不妨设A (x,23)，则(23)2
＝4x ，∴x ＝3，∴直线AB 的方程为x ＝3，抛物线的焦点为(1,0)，∴焦点到弦AB 的距离为2.
【答案】 2
3．在抛物线y 2
＝16x 内，过点(2,1)且被此点平分的弦AB 所在直线的方程是________. 【导学号：09390047】
【解析】 显然斜率不存在时的直线不符合题意．设直线斜率为k ，则直线方程为y －1
＝k (x －2)①，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y －1＝k x －，
y 2
＝16x ，消去x 得ky 2
－16y ＋16(1－2k )＝0，∴y 1＋y 2＝16k
＝
2(y 1，y 2分别是A ，B 的纵坐标)，∴k ＝8，代入①得y ＝8x －15.
【答案】 y ＝8x －15
4．已知过抛物线Γ：x ＝－y 2
2的焦点F 的直线交抛物线Γ于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，
若x 1＋x 2＝－7，则AB 的值为________．
【解析】 因为x ＝－y 2
2，所以y 2
＝－2x ，所以抛物线Γ的准线方程为x ＝12，根据抛
物线的定义知AF ＝12－x 1，BF ＝1
2
－x 2，所以AB ＝AF ＋BF ＝1－(x 1＋x 2)＝1－(－7)＝8.
【答案】 8
5．直线y ＝k (x ＋1)与抛物线y 2
＝8x 有两个交点，则实数k 的取值范围是________．
【解析】 联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝8x ，
y ＝k x ＋，
所以ky 2
－8y ＋8k ＝0.
由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ≠0，
Δ＝－2
－4×k ×8k ＞0，
解得－2＜k ＜2，且k ≠0.
所以实数k 的取值范围是(－2，0)∪(0，2)． 【答案】 (－2，0)∪(0，2)
6．已知抛物线E ：y 2
＝4x 的焦点为F ，P 是E 的准线l 上一点，Q 是直线PF 与E 的一个交点．若PQ →＝2QF →
，则直线PF 的方程为________. 【导学号：09390048】
【解析】 抛物线E ：y 2
＝4x 的焦点F (1,0)，设Q 到l 的距离为d ，则QF ＝d . ∵PQ →＝2QF →，∴|PQ →|＝2|QF →
|＝2d ，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，
∴直线的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0. 【答案】 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0
7．如图2­4­3是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽_____________ m.
图2­4­3
【解析】 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2
＝－2py (p ＞0)．由题意A (2，－2)，代入x 2
＝－2py ，得p ＝1，故x 2
＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2
＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为2 6 m.
【答案】 2 6
8．设点A 的坐标为(a,0)(a ∈R )，则曲线y 2
＝2x 上的点到A 点的距离的最小值为________. 【导学号：09390049】
【解析】 设抛物线上的点到A 点的距离为d ，抛物线上任一点的坐标为(x ，y )，则d 2
＝(x －a )2
＋y 2
＝x 2
－(2a －2)x ＋a 2
＝x －(a －1)]2
＋(2a －1)．
因为x ∈0，＋∞)，所以当a －1≥0，即a ≥1时，d 2
min ＝2a －1，d min ＝2a －1； 当a －1<0，即a <1时，当x ＝0时，d 2
min ＝a 2
，d min ＝|a |. 【答案】 2a －1(a ≥1)或|a |(a <1)
二、解答题
9．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．
【解】 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1
k
x ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，y 2
＝2px ，得x ＝0(舍)或x ＝2p
k
2，
∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2p k
2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2
，－2pk )，
由|OA |＝1，|OB |＝8，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
4p 2k 2
＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋＝64， ②
解方程组得k 6
＝64，即k 2
＝4. 则p 2
＝
16
k
2
k 2＋＝45，又p >0，则p ＝255
， 故所求抛物线方程为y 2
＝455
x .
10．已知过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →
，求λ的值．
【解】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p
2
＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p
4
＋p ＝9，
所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2
＝8x .
(2)由于p ＝4,4x 2
－5px ＋p 2
＝0可化简为x 2
－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，
y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；设C (x 3，y 3)，则OC →
＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋
λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 2
3＝8x 3，即22(2λ－1)]2
＝8(4λ＋1)，即(2λ
－1)2
＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
能力提升]
1．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2
＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积为________．
【解析】 由条件，不妨设l OA 为y ＝x ，解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ，
y 2
＝2px ，
得x ＝2p ，所以
A (2p,2p )．故S △AO
B ＝12
·2·(2p )·(2p )＝4p 2.
【答案】 4p 2
2．过抛物线y ＝ax 2
(a >0)的焦点F 作一条直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为m ，n ，则1m ＋1
n
＝________.
【解析】 由焦点弦性质，知1PF ＋1FQ ＝2p ，抛物线的标准方程为x 2
＝1a y (a >0)，∴2p ＝1a
，
p ＝1
2a
， ∴1PF ＋1FQ ＝4a ，即1m ＋1
n
＝4a .
【答案】 4a
3．已知抛物线y ＝18x 2与双曲线y 2
a 2－x 2
＝1(a ＞0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x
轴上方且在双曲线，则OP →·FP →
的最小值为________．
【解析】 抛物线y ＝18x 2的焦点F 为(0,2)，则双曲线y 2
a 2－x 2＝1中，c ＝2，则a 2
＝3.
即双曲线方程为y 2
3
－x 2
＝1，设P (m ，n )()n ≥3，则n 2
－3m 2
＝3， 则OP →·FP →＝(m ，n )·(m ，n －2)＝m 2＋n 2－2n ＝n 23－1＋n 2
－2n ＝4n 2
3－2n －1＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫n －342－74
，
所以当n ＝3时，OP →·FP →
的最小值为3－2 3.
【答案】 3－2 3
4．如图2­4­4，抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .
图2­4­4
【证明】 法一：设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－p
2，y 2.
联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，
y 2＝2px ，
消去x ，得y 2－2py k －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2
，k OA ＝y 1x 1，k OC ＝y 2－p 2＝2p y 1
.
又∵y 2
1＝2px 1，∴k OC ＝y 1x 1
＝k OA ，∴AC 经过原点O .
当k 不存在时，AB ⊥x 轴，同理可得k OA ＝k OC ，所以AC 经过原点O .
法二：因为抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p
2，0，由于直线AB 斜率不确定，所以经
过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p
2
，代入抛物线方程消去x 得y 2－2pmy －p 2
＝0.若设
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.
因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p
2上，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－p
2，y 2，故直线CO 的斜
率为k ＝y 2－p 2
＝2p y 1＝y 1
x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .
法三：如图，过A 作AD ⊥l ，D 为垂足，则AD ∥EF ∥BC ，
设AC 与EF 相交于点N ，则
EN AD ＝CN AC ＝BF AB
， NF BC ＝AF AB .由抛物线的定义可知AF ＝AD ，BF ＝BC ，∴EN ＝AD ·BF AB ＝AF ·BC AB
＝NF . 即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .。