第8章 空间解析几何(题库)答案

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第八章 空间解析几何(题库)
A 组 基础题
1. 点()2,3,1M -关于原点的对称点是( D ).
A. ()2,3,1--
B. ()2,3,1---
C. ()2,3,1-
D. ()2,3,1--
2. 设a 与b 均为非零向量,且a b ⊥
,则必有( C ).
A. a b a b +=+
B. a b a b -=-
C. a b a b +=-
D. a b a b +=- 3. 设,,a b c
均为非零向量,则与a 不垂直的向量是( D ).
A. ()()a c b a b c ⋅-⋅
B. a b b a a a
⋅-⋅ C. a b ⨯ D. ()
a a
b a +⨯⨯
4. 已知,,a b c
均为单位向量且满足关系式0a b c ++= ,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= ( A ).
A. 32-
B. 1
C. 1-
D. 32
5. ()()
a b a b +⨯-=
2b a ⨯ .
6. 设,,a b c
两两垂直,1a =
,b = 1c = ,则a b c +-= 2.
7. 已知两点()10,1,2M 和()21,1,0M -,则与向量12M M
同方向的单位向量为
122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
8. 已知向量AB 的终点()2,1,7B -,它在,,x y z 轴上的投影依次为4,4,7-,则AB
的始点
坐标是()2,3,0-.
9. 设()()()2,3,1,1,2,3,2,1,2a b c =-=-=
,向量v 与,a b 同时垂直,且在c 上的投影为1,则v = 511,,77⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
10. 设 ()
4,3,,6
a b a b π
=== ,则以,a b 为邻边的平行四边形的面积S =6.
11.
已知2,a b == ,且2a b ⋅= ,则a b ⨯=
2.
12. 直线127:27x y z L x y z +-=⎧⎨
-++=⎩与23638
:20
x y z L x y z +-=⎧⎨--=⎩的关系是( C ).
A. 12L L ⊥
B. 1L 与2L 相交但不一定垂直
C. 12//L L
D. 1L 与2L 是异面直线
13. 曲线222
1
:1645
230x y z l x z ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩
在xOy 平面上的投影柱面的方程是( C ). A. 2220241160x y x +--= B. 22441270y z z +--=
C. 22202411600
x y x z ⎧+--=⎨=⎩ D.
22441270
y z z z ⎧+--=⎨
=⎩
14. 曲线222222
416:44
x y z l x y z ⎧+-=⎪
⎨++=⎪⎩在xOy 平面上的投影的方程是( C ). A. 2
2
4x y += B. 22440x y z ⎧+=⎨=⎩
C.
224
0x y z ⎧+=⎨
=⎩ D. 2244
0x y z ⎧+=⎨
=⎩
15. 方程22
149
2x y y ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
在空间解析几何中表示( B ). A. 椭圆柱面 B. 椭圆曲线 C. 两个平行面 D. 两条平行线
16. 设直线3210
:21030
x y z L x y z +++=⎧⎨
--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=,则L ( C ).
A. 平行于π
B. 在π上
C. 垂直于π
D. 与π斜交
17. 已知两条直线
21221x y z +-==-和13142
x y z m --+==-互相垂直,则m =( C ). A. 4- B. 2- C. 3 D. 5
18. 将xOy 坐标面上的双曲线224936x y -=绕x 轴旋转一周,所生成的旋转曲面方程为
22249936x y z --=,绕y 轴旋转一周,所生成的旋转曲面方程为22249436x y z -+=.
19. 过点()1,2,1M -且与直线1
331x t y t z t =-+⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
垂直的平面方程是340x y z --+=.
20. 平行于zOx 平面且过点()2,5,3-的平面方程为50y +=.
21. 通过z 轴和点()3,1,2--的平面方程为30x y +=.
22. 平行于x 轴且经过两点()4,0,2-和()5,1,7的平面方程为920y z --=.
23. 过点()5,7,4-,且在,,x y z 三个轴上截距相等的平面方程为20x y z ++-=.
24. 过点()1,0,1-且平行于向量()2,1,1a = 与()1,1,0b =-
的平面方程为
340x y z +--=.
25. 过点()1,2,1且垂直于两平面0x y +=和50y z +=的平面方程为540x y z -+-=.
26. 过原点及过点()6,3,2-,且与平面428x y z -+=垂直的的平面方程为
2230x y z +-=.
27. 点()1,2,1到平面22100x y z ++-=的距离d =1.
28. 设直线73
:121
x y z L +-==-上与点()3,2,6的距离最近的点为()3,1,0-.
29. 直线124x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的对称式方程为12113x t y t z t
=-⎧⎪
=+⎨⎪=+⎩
.
30. 点()1,2,0-在平面210x y z +-+=上的投影为522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
B 组 提高题
1. 设,a b
均为非零向量,且满足()()375a b a b +⊥- ,()()
472a b a b -⊥- ,则a 与b 的
夹角等于( C ).
A. 0
B. 2π
C. 3
π D. 23π
2. 直线1158
:
121x y z L --+==-与直线26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩
的夹角为( B ). A. 2π B. 3π C. 4π D. 6
π
3. 过原点且与直线213231x y z ---==垂直的直线方程为3816
x y z
==-.
4. 设 ()
4,3,,6
a b a b π
=== ,求以2a b + 和3a b - 为边的平行四边形的面积.
解:()(
)
235a b a b b a +⨯-=⨯
,则面积
()
55sin ,30S b a a b a b =⨯=⋅⋅=
5. 已知 ()
22,5,,3
a b a b π===
,问λ为何值时,才能使17A a b λ=+ 与3B a b =- 垂直.
解:由于A 与B
垂直,则有0A B ⋅= ,即
()22
351170a a b b λλ+-⋅-=
因此,
() ()
22
351cos ,170a a b a b b λλ+-⋅⋅-=

代入 ()
22,5,,3
a b a b π=== ,整理得40λ=.
6. 求经过直线1123:
101x y z L ---==-且平行于直线221:211
x y z
L +-==的平面的方程. 解:直线1L 上有点()1,2,3P ,其方向向量()11,0,1l =- ,直线2L 的方向向量()22,1,1l =

由已知得所求平面同时垂直于直线1L 及直线2L ,其法向量
()121,3,1n l l =⨯=-

由所求平面过点()1,2,3P ,得平面点法式方程为
()13230x y z ---+-=,
化为一般式方程为
320x y z -++=.
7. 求直线1250:240x y L y z ++=⎧⎨
--=⎩与直线20
:240
y L x z =⎧⎨++=⎩的公垂线方程.
解:直线1L 的方向向量
()11202,1,2021
i j k
l ==--

直线2L 的方向向量
()20102,0,1102
i j k
l ==-

则共垂线的方向向量
()121,2,2l l l =⨯=--

设公垂线上任意一点为(),,P x y z ,与直线1L 上有点()1,3,10Q --由公垂线与直线1L 相交,即两直线共面得
121,,212012
2
x y
z PQ l l ++⎡⎤=-=⎣⎦
--
, 化简得22140x y z +++=, 同理直线2L 与公垂线相交,得
25480x y z +++=,
因此,所求公垂线方程为22140
25480
x y z x y z +++=⎧⎨
+++=⎩.
8. 求平面2260x y z +-+=和平面4880x y z -+-=的交角的平分面方程.
解:设所求平面上任意一点为(),,P x y z ,由已知可得点P 到两平面的距离相等,则有
226488
39
x y z x y z +-+-+-=
化简得所求平面方程为
714260x y z -+-=或752100x y z +++=.
9. 求曲面2229x y z ++=与平面1x z +=的交线在xOy 面上的投影方程.
解:()22219
x y x z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩化简得2222800x y x z ⎧+--=⎨=⎩.
10. 一平面通过点()1,2,3,它在x 轴、y 轴上的截距相等,且该平面在三个坐标轴上的截距均为正数,则截距分别为何值时,它与三个坐标面所围成的空间几何体的体积最小?并求此时的平面方程. 解:设所求平面方程为
1x y z a a c ++=,由点()1,2,3在此平面上,得出()333
a
c a a =>-. 此平面与三个坐标面所围成的空间几何体的体积
()
()3
13623a V a a c a a =⋅⋅=>-,
计算得()()
22
2923a a V a -'=
-,因此932a <<
时0V '<,92a >时0V '>,可得出当9
2
a =,
9c =时几何体的体积最小,此时平面与三个坐标轴截距分别为
99
,,922
,平面方程为 2290x y z ++-=.。

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