高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第8节 解三角形的应用举例
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与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏
西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时
(
)
A.5 km
B.5 km
C.10 km
√
D.10 km
解析:如图所示,由题意知∠BAC=60°,∠BAD=75°,
所以∠CAD=∠CDA=15°,
可得CD=CA=10,
在Rt△ABC中,AB=
= -1.故选 C.
谢 谢 观 看
在△ABC 中,由余弦定理,得 AB =1 600×(8+4 )+1 600×(8-4 )+
2
2×1 600×( + )×( - )×=1 600×16+1 600×4=1 600×
20=32 000,
解得 AB=80 ,
故题图中海洋蓝洞的口径为 80 .
距离问题的解法
选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形
是南偏西(
A.30°
)
B.60°
√
C.75°
D.45°
解析:依题意,过点 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D,如图,则 AB=
5 -5,AC=5 ,∠ACD=45°,在 Rt△ADC 中,AD=DC=5,在 Rt△BDC 中,
BD=5 ,DC=5,所以 tan∠BCD=
= ,又 0°<∠BCD<90°,所以∠BCD=
ADsin∠ADC=
.°.°
.°
.故选 C.
考点三
角度问题
[例3] 位于灯塔A处正西方向相距(5 -5) km的B处有一艘甲船需
要海上救援,位于灯塔A处北偏东45°相距5 km的C处的一艘乙
船前往营救,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向
√
A.180 m B.214 m C.242 m D.266 m
解析:依题意,如图所示,∠BCA=42°,∠BDA=39°,则∠DBC=3°,
DC=30 m,
在△BDC中,
·°
由正弦定理得°=°,所以 BC=
°
.
·°·°
在 Rt△ABC 中,AB=BC·sin 42°=
[针对训练] (2024·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录
正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器,它包
括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放
的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午阳光照射在表上时,影
子就会落在圭面上,圭面上影子长度最长的那一天定为冬至,影子
[针对训练] 如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物
CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测
得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡角为
θ,则cos θ等于(
A.
B.பைடு நூலகம்-2
)
C. -1
√
D. -1
解析:由题知,∠CAD=15°,∠CBD=45°,
由正弦定理得
°
AC=
°
=
-
=40( + ).
在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,
所以∠DBC=30°,
由正弦定理得
=
,
∠ ∠
得 BC=
∠ ×°
∠
=
=160sin 15°=40( - ).
坡比(坡度),即i=
=tan θ
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)仰角与俯角都是视线与铅垂线所成的角.( ×
(2)方位角的范围是(0,π).( ×
)
)
(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离.(
× )
(4)在方向角中,始边一定是南或北,旋转方向一定是顺时针.( × )
2.一船向正北航行,看见正西方向有相距10 km的两个灯塔恰好
保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径
(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,
∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为
80
.
解析:由已知得,在△ADC中,∠DCA=15°,∠ADC=150°,
所以∠DAC=15°,
图形表示
从某点的指北方向线起按顺时
方位角
针方向到目标方向线之间的夹
角叫做方位角.方位角θ的范
围是0°≤θ<360°
例:(1)北偏东α:
正北或正南方向线与
方向角
目标方向线所成的锐
角,通常表达为北(南)
偏东(西)α
(2)南偏西α:
坡面与水平面所成的锐二面
坡角与 角叫坡角(θ为坡角);坡面的
坡比 垂直高度与水平长度之比叫
所以∠ACB=30°,∠ABC=135°.
在△ABC 中,由正弦定理得°=°,
又AB=100 m,所以AC=100
m.
在△ADC中,∠ADC=90°+θ,CD=50 m,
由正弦定理得(+°)=°,
·°
所以 cos θ=sin(θ+90°)=
解析:在Rt△ABC中,∠ACB=45°,
所以BC=AB,
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,
所以
=tan 30°,即 BD= AB,
在△BCD中,∠BCD=120°,CD=90,
由余弦定理,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°,
即3AB2=AB2+902-2×90×(-
故选C.
°
≈242(m).
4.如图所示,一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30 km,随
后该船以20 km/h的速度,沿直线向东南方向航行1小时后到达点B,
测得灯塔C在其北偏东25°方向,则sin∠ACB等于(
A. sin
√
70°
C. cos 70°
B. sin 75°
D.
的边长问题,从而利用正弦、余弦定理求解.
[针对训练] 如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的
B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,
DA=5,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为
7
km.
解析:因为A,B,C,D四点共圆,
所以B+D=π,
AC=5,
所以这艘船的速度为
故选C.
.
=10(km/h).
3.(必修第二册P53习题6.4T8改编)某人在山外一点测得山顶的仰
角为42°,沿水平面退后30 m,又测得山顶的仰角为39°,则山高
为(
)
(sin 42°≈0.669 1,sin 39°≈0.629 3,sin 3°≈0.052 3)
该楼AB的估计高度为90 m.
)AB,解得AB=90或AB=-45(舍去),即
(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同
一铅垂面内,视线与水平线的夹角.
(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图.
(3)运用正弦、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的
答案,注意方程思想的运用.
=-
,解得 AC=7.
考点二
高度问题
[例2] 某同学为了估算某楼的高度,采用了如图所示的方式来进
行测量:在地面选取相距90 m的C,D两观测点,且C,D与该楼底部B
在同一水平面上,在C,D两观测点处测得该楼顶部A的仰角分别为
45°,30°,并测得∠BCD=120°,则该楼AB的估计高度为 90 m.
)
解析:由题意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20 km,AC=30 km,
由正弦定理可得
=
∠ ∠
sin 70°.故选A.
,代入数据得sin∠ACB=
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
距离问题
[例1] 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类
A..°
.°.°
C.
√
.°
.°
B. .°
.°
D..°
解析:由题图可知∠BAD=∠ADC-∠ABC=80.51°-33.65°=46.86°.
.°
在△ABD 中, ∠ = ∠ ,得 AD= .° .在△ACD 中,AC=
长度最短的那一天定为夏至.
如图是根据某市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图,已知该市冬
至正午太阳高度角(即∠ABC)约为33.65°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约
为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD的长)为7 m,则表高(即
AC的长)约为(
)
.°
60°,则乙船的目标方向线的方向是南偏西 60°.故选 B.
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问
题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦
定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
(2)方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清
楚是哪一个点的方向角.
所以由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D=52+32-2×5×
3cos D=34-30cos D,
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=52+82-2×5×8cos B=89-80cos B,
因为B+D=π,即cos B=-cos D,
-
所以
-
[课程标准要求]
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几
何计算有关的实际问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
测量中的几个有关术语
术语名称
术语意义
在目标视线与水平视线(两者在同
仰角与
一铅垂平面内)所成的角中,目标视
俯角
线在水平视线上方的叫做仰角,目
标视线在水平视线下方的叫做俯角
西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时
(
)
A.5 km
B.5 km
C.10 km
√
D.10 km
解析:如图所示,由题意知∠BAC=60°,∠BAD=75°,
所以∠CAD=∠CDA=15°,
可得CD=CA=10,
在Rt△ABC中,AB=
= -1.故选 C.
谢 谢 观 看
在△ABC 中,由余弦定理,得 AB =1 600×(8+4 )+1 600×(8-4 )+
2
2×1 600×( + )×( - )×=1 600×16+1 600×4=1 600×
20=32 000,
解得 AB=80 ,
故题图中海洋蓝洞的口径为 80 .
距离问题的解法
选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形
是南偏西(
A.30°
)
B.60°
√
C.75°
D.45°
解析:依题意,过点 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D,如图,则 AB=
5 -5,AC=5 ,∠ACD=45°,在 Rt△ADC 中,AD=DC=5,在 Rt△BDC 中,
BD=5 ,DC=5,所以 tan∠BCD=
= ,又 0°<∠BCD<90°,所以∠BCD=
ADsin∠ADC=
.°.°
.°
.故选 C.
考点三
角度问题
[例3] 位于灯塔A处正西方向相距(5 -5) km的B处有一艘甲船需
要海上救援,位于灯塔A处北偏东45°相距5 km的C处的一艘乙
船前往营救,则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向
√
A.180 m B.214 m C.242 m D.266 m
解析:依题意,如图所示,∠BCA=42°,∠BDA=39°,则∠DBC=3°,
DC=30 m,
在△BDC中,
·°
由正弦定理得°=°,所以 BC=
°
.
·°·°
在 Rt△ABC 中,AB=BC·sin 42°=
[针对训练] (2024·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录
正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器,它包
括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放
的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午阳光照射在表上时,影
子就会落在圭面上,圭面上影子长度最长的那一天定为冬至,影子
[针对训练] 如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物
CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测
得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡对于地平面的坡角为
θ,则cos θ等于(
A.
B.பைடு நூலகம்-2
)
C. -1
√
D. -1
解析:由题知,∠CAD=15°,∠CBD=45°,
由正弦定理得
°
AC=
°
=
-
=40( + ).
在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,
所以∠DBC=30°,
由正弦定理得
=
,
∠ ∠
得 BC=
∠ ×°
∠
=
=160sin 15°=40( - ).
坡比(坡度),即i=
=tan θ
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)仰角与俯角都是视线与铅垂线所成的角.( ×
(2)方位角的范围是(0,π).( ×
)
)
(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离.(
× )
(4)在方向角中,始边一定是南或北,旋转方向一定是顺时针.( × )
2.一船向正北航行,看见正西方向有相距10 km的两个灯塔恰好
保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径
(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,
∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为
80
.
解析:由已知得,在△ADC中,∠DCA=15°,∠ADC=150°,
所以∠DAC=15°,
图形表示
从某点的指北方向线起按顺时
方位角
针方向到目标方向线之间的夹
角叫做方位角.方位角θ的范
围是0°≤θ<360°
例:(1)北偏东α:
正北或正南方向线与
方向角
目标方向线所成的锐
角,通常表达为北(南)
偏东(西)α
(2)南偏西α:
坡面与水平面所成的锐二面
坡角与 角叫坡角(θ为坡角);坡面的
坡比 垂直高度与水平长度之比叫
所以∠ACB=30°,∠ABC=135°.
在△ABC 中,由正弦定理得°=°,
又AB=100 m,所以AC=100
m.
在△ADC中,∠ADC=90°+θ,CD=50 m,
由正弦定理得(+°)=°,
·°
所以 cos θ=sin(θ+90°)=
解析:在Rt△ABC中,∠ACB=45°,
所以BC=AB,
在Rt△ABD中,∠ADB=30°,
所以
=tan 30°,即 BD= AB,
在△BCD中,∠BCD=120°,CD=90,
由余弦定理,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°,
即3AB2=AB2+902-2×90×(-
故选C.
°
≈242(m).
4.如图所示,一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30 km,随
后该船以20 km/h的速度,沿直线向东南方向航行1小时后到达点B,
测得灯塔C在其北偏东25°方向,则sin∠ACB等于(
A. sin
√
70°
C. cos 70°
B. sin 75°
D.
的边长问题,从而利用正弦、余弦定理求解.
[针对训练] 如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的
B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,
DA=5,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为
7
km.
解析:因为A,B,C,D四点共圆,
所以B+D=π,
AC=5,
所以这艘船的速度为
故选C.
.
=10(km/h).
3.(必修第二册P53习题6.4T8改编)某人在山外一点测得山顶的仰
角为42°,沿水平面退后30 m,又测得山顶的仰角为39°,则山高
为(
)
(sin 42°≈0.669 1,sin 39°≈0.629 3,sin 3°≈0.052 3)
该楼AB的估计高度为90 m.
)AB,解得AB=90或AB=-45(舍去),即
(1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同
一铅垂面内,视线与水平线的夹角.
(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图.
(3)运用正弦、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的
答案,注意方程思想的运用.
=-
,解得 AC=7.
考点二
高度问题
[例2] 某同学为了估算某楼的高度,采用了如图所示的方式来进
行测量:在地面选取相距90 m的C,D两观测点,且C,D与该楼底部B
在同一水平面上,在C,D两观测点处测得该楼顶部A的仰角分别为
45°,30°,并测得∠BCD=120°,则该楼AB的估计高度为 90 m.
)
解析:由题意可知,∠ABC=45°+25°=70°,AB=20 km,AC=30 km,
由正弦定理可得
=
∠ ∠
sin 70°.故选A.
,代入数据得sin∠ACB=
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
距离问题
[例1] 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类
A..°
.°.°
C.
√
.°
.°
B. .°
.°
D..°
解析:由题图可知∠BAD=∠ADC-∠ABC=80.51°-33.65°=46.86°.
.°
在△ABD 中, ∠ = ∠ ,得 AD= .° .在△ACD 中,AC=
长度最短的那一天定为夏至.
如图是根据某市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图,已知该市冬
至正午太阳高度角(即∠ABC)约为33.65°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约
为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD的长)为7 m,则表高(即
AC的长)约为(
)
.°
60°,则乙船的目标方向线的方向是南偏西 60°.故选 B.
(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问
题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦
定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
(2)方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清
楚是哪一个点的方向角.
所以由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D=52+32-2×5×
3cos D=34-30cos D,
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=52+82-2×5×8cos B=89-80cos B,
因为B+D=π,即cos B=-cos D,
-
所以
-
[课程标准要求]
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几
何计算有关的实际问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
测量中的几个有关术语
术语名称
术语意义
在目标视线与水平视线(两者在同
仰角与
一铅垂平面内)所成的角中,目标视
俯角
线在水平视线上方的叫做仰角,目
标视线在水平视线下方的叫做俯角