专题47 中考数学转化思想(解析版)

专题47 中考数学转化思想
1. 转化思想的含义
所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方式。

转化思想是数学思想方法的核心，其它数学思想方法都是转化的手段或策略。

初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．
2.转化思想的表现形式：
（1）把新问题转化为原来研究过的问题。

如有理数减法转化为加法，除法转化为乘法等；
（2）复杂问题向简单问题转化，新问题用已有的方法不能或难以解决时，建立新的研究方式。

如引进负数，建立数轴等；
（3）多元向一元转化。

如解三元方程组需要通过一定手段转化为解一元方程求解；
（4）高次向低次转化。

如解一元三次方程，可以转化为一元二次方程解决；
（5）变利用逆运算的性质解方程为利用等式的性质解方程，等等。

【例题1】（2020潍坊模拟）计算++++…+的结果是（）A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．
原式＝
＝
＝．
【点拨】本题是个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
【对点练习】分式方程=1的解是（）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3
【答案】A
【解析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
=1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x=x2﹣2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解。

【点拨】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
【例题2】（2020绵阳模拟）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．
【答案】．
【解析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．
根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，
∠∠ABC+∠ADC=180°，
∠图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，
∠阴影部分的面积应为：S==．
【点拨】本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
【对点练习】如图，∠ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则∠BDC的周长是（）
A.8
B.9
C.10
D.11
【答案】C
【解析】∠ED是AB的垂直平分线，
∠AD=BD，
∠∠BDC的周长=DB+BC+CD，
∠∠BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．
【例题3】（2020河北模拟）如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED=60°，∠BED=45°．小明的观测点与地面的距离EF为1.6米．
（1）求建筑物BC的高度；
（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
参考数据：≈1.41，≈1.73．
【答案】见解析。

【解析】（1）过点E作ED∠BC于D，
根据题意得：EF∠FC，ED∠FC，
∠四边形CDEF是矩形，
已知底部B的仰角为45°即∠BED=45°，
∠∠EBD=45°，
∠BD=ED=FC=11.4，
∠BC=BD+DC=BD+EF=11.4+1.6=13，
答：建筑物BC的高度为13m；
（2）已知由E点观测到旗杆顶部A的仰角为60°，即∠AED=60°，
∠AD=ED•tan60°
≈11.4×1.73≈19.7，
∠AB=AD﹣BD=19.7﹣11.4=8.3，
答：旗杆AB的高度约为8.3m．
【点拨】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．
【对点练习】如图1是一把折叠椅子，图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，其中AD和BC表示两根较粗的钢管，EG表示座板平面，EG和BC相交于点F，MN表示地面所在的直线，EG∠MN，EG距MN的
高度为42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB=80°．求两根较粗钢管AD和BC的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）
【答案】两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．
【解析】作FH∠AB于H，DQ∠AB于Q，如图2，FH=42cm，
在Rt∠BFH中，∠sin∠FBH=，
∠BF=≈48.28，
∠BC=BF+CF=48.28+42≈90.3（cm）；
在Rt∠BDQ中，∠tan∠DBQ=，
∠BQ=，
在Rt∠ADQ中，∠tan∠DAQ=，
∠AQ=，
∠BQ+AQ=AB=43，
∠+=43，解得DQ≈56.999，
在Rt∠ADQ中，∠sin∠DAQ=，
∠AD=≈58.2（cm）．
答：两根较粗钢管AD和BC的长分别为58.2cm、90.3cm．
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案。

一、选择题
1．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE 的长是（）
A． 4.8 B． 4.8或3.8 C． 3.8 D． 5
【答案】A．
【解析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，
∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，
∴BF=4，
∴△ABF中，AF==3，
∴×8×3=×5×PD+×5×PE，
12=×5×（PD+PE）
PD+PE=4.8．
【点拨】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
二、填空题
2．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
【答案】137．
【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，
设AD=xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，
∴CD=AD=x，
∴BD=BC+CD=x+100，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，
∴x=（x+100），
∴x=50（+1）≈137，
即山高AD为137米．
故答案为137．
【点拨】本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
三、解答题
3．（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运
較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：√3≈1.732，√2≈1.414）．
【答案】见解析。

【分析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，可得AO＝2000，DO＝2000√3，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，可得BO＝OC，即可得2000+3x＝2000√3−460，进而解得x的值．
【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB＝3x，
在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，
∴AO＝2000，
∴DO＝2000√3，
∵CD＝460，
∴OC＝OD﹣CD＝2000√3−460，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴BO＝OC，
∵OB＝OA+AB＝2000+3x，
∴2000+3x＝2000√3−460，
解得x≈335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
4．（2020•黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临摹亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临摹亭P1处的距离；
（2）求临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离．（计算结果保留根号）
【答案】见解析。

【分析】（1）如图，作P1M⊥AC于M，设P1M＝x，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得P1M的长，进一步求得AP1的长；
（2）作BN⊥AP2于N，在两个直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与P2N，根据（1）的结果求得P1N，从而求得P1P2．
【解析】（1）作P1M⊥AC于M，
设P1M＝x，
在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，
∴AM＝P1M＝x，
在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，
∴MC=√3P1M=√3x，
∵AC＝1000，
∴x+√3x=100，解得x＝500（√3−1），
∴P1M＝500（√3−1）m
∴P1A=1
√2
2
=500（√6−√2）m，
故A处到临摹亭P1处的距离为500（√6−√2）m；（2）作BN⊥AP2于N，
∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，∴∠P2＝60°，在Rt△ABN中，∵∠P1AB＝45°，AB＝600m
∴BN＝AN=√2
2AB＝300√2，
∴PN＝500（√6−√2）﹣300√2=500√6−800√2，在Rt△P2BN中，∵∠P2＝60°，
∴P2N=√3
3BN=√3
3
×300√2=100√6，
∴P1P2＝100√6−（500√6−800√2）＝800√2−400√6．
故临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离是（800√2−400√6）m．
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