高一必修5简单线性规划

简单线性规划
1、二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。

2、二元一次不等式（组）的解集表示的图形
二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）
例如：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。

例1 画出不等式44x y +<表示的平面区域。

解：先画直线44x y +=（画成虚线）. 取原点（0，0），代入x +4y -4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在44x y +<表示的平面区域内，不等式44x y +<表示的区域如图： 归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方
法。

特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。

变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。

例2 用平面区域表示.不等式组312
2y x x y
<-+⎧⎨
<⎩的解集。

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集
的交集，因而是各
个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右下方的区域，
2x y <表示直线
2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示
原不等式组的解
集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不
等式所表示的平面区域的公共部分。

变式1、画出下列不等式表示的区域
(1) 0)1)((≤---y x y x ； (2) x y x 2≤≤
变式3、画出不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

例3.利用区域求不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧<--<-+>--015530632032y x y x y x 的整数解
注意：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。

常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约y 。

3.线性规划问题
例4.某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组： （2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

试想：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ 解：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为： 当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？
把z=2x+3y 变形为233z y x =-
+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3
z
的直线。

当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，
（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833y x =-
+）
，这说明，截距3
z
可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。

可以看到，直线233z y x =-+与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3
z
最大时，z 取得
最大值。

因此，问题可以转化为当直线233
z
y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找
一个点P ，使直线经过点P 时截距3z
最大。

由图可以看出，当实现233
z
y x =-+金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M
（4，2）时，截距3z 的值最大，最大值为14
3
，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产
品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。

线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
变式1：求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y
变式2.已知y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+-≤-+0044082x y x y x ，求y x z +=3的最大值和最小值。

例5.某工厂用两种不同原料均可生产一种产品，若采用甲原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克，若采用乙原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克，若每日预算总成本不超过6000元，运费不超过2000元，问此工厂每日最多可生产多少千克产品？
低？
总结：
1.解决与线性规划相关的实际应用问题，一般可以按照以下步骤进行：
（1）审清题意，确定并设出相关变元；
（2）列出线性约束条件，线性目标函数，建立线性规划的数学模型； （3）运用图解法解线性规划问题； （4）回答实际问题。

2.许多与线性规划相关的实际问题，变量往往是整数，这时要注意求出的最优解一定要是整点最优解，如果运用图解法得到的最优解不是整点最优解，就必须根据实际问题作出相应的调整，常用的方法有两种：一是平移求解法，二是调整优值法，这两种方法前者依赖于作图，后者依赖于推理，但都要充分利用非整点最优值和最优解。

自主练习：
1.已知函数c ax x f -=2
)(满足,5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f 求)3(f 的取值范围。

2.求出由不等式12+≤≤≤x y x y 及所表示的平面区域的面积大小。

3.。