湖北华中师大一附中2019高三五月适应性考试-数学(理)word版

湖北华中师大一附中2019高三五月适应性考试-数学（理）word
版
数学〔理科〕试题
【一】选择题： 1、设向量
(1,1)a x =-,(1,3)b x =+，那么“x =2”是“a b ”的〔 〕条件
A 、充分不必要
B 、必要不充分
C 、充要
D 、既不充分也不必要
2、设复数12
12,1,z i z i =-=+那么复数
1
2
z
z z = 在复平面内对应点位于〔 〕
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、 第三象限
D 、第四象限
3
、正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3，其三视图中的俯视图如下图，那么其左视图的面积是〔 〕 A
、2
B
、2
C 、 28cm
D 、24cm 4、以下选项中，说法正确的选项是 ( )
B 、设,a b
是向量，命题“假设a b =-，那么
a b
=”的否命题是真命题；
C 、命题“p q ∨”为真命题，那么命题p 和q 均为真命题；
D 、命题0,2>-∈∃x x x R ”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”.
5、某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，假如要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为() A 、16
B 、18
C 、 24
D 、32
6、据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg /100ml 〔不含80〕之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg /100ml 〔含80〕以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.
据某报报道，2018年3月5日至3月28日，某地区 共查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人 酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率直方图， 那么这500人血液中酒精含量的平均值约是()、 A 、55mg /100ml B 、56mg /100ml C 、57mg /100ml D 、58mg /100ml 7、函数sin (0)y ax b a =+>的图象如下图，那么函数log ()a y x b =+的图象可能是()、
8、函数()1f x kx =+,其中实数k 随机选自区间[－2,１].对[0,1],()0x f x ∀∈≥的概率是()、
A 、13
B 、1
2 C 、23
D 、34
9、假设椭圆2
2
1(0,0)x y m n m n
+=>>与曲线22||x y m n +=-无交点，那么椭圆的离心率
e 的取值范围是()
A
、
B
、C
、D
、(0
10、假设关于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f (x+λ)+λf (x )=０对任意实数x 都成立，那么称f (x )是一个“λ—伴随函数”.有以下关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x )=０是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②f (x )=x 不是“λ—伴随函数”；③f (x )=x 2
是“λ—伴随函数”；④“12
—伴随函数”至少有一个零点、
其中正确结论的个数是()个
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
【二】填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分. 〔一〕必考题〔11—14题〕 11、曲线
3cos (0)
2
y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是________.
12、执行如下图的程序框图，假设输入x =10，那么输出y 的值为________. 13、在计算“1×2+2×3+…+n (n +1)”时，有如下方法：
先改写第k 项：
1
(1)[(1)(2)(1)(1)]
3
k k k k k k k k +=++--+， 由此得：
1
12(123012)
3⨯=⨯⨯-⨯⨯， 1
23(234123)
3
⨯=⨯⨯-⨯⨯，…， 1
(1)[(1)(2)(1)(1)]
3
n n n n n n n n +=++--+， 相加得：1×2+2×3+…+n (n +1)＝1
(1)(2)
3
n n n ++.
类比上述方法，请你计算“1×3+2×4+…+n (n +2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积．．．．．．
的形式为： 、
14、定义max {a ,b }=
,,a a b
b a b
≥⎧⎨
<⎩，设实数x ,y 满足约束条件
||2||2
x y ≤⎧⎨
≤⎩，z=max {4x+y ,3x -y}，那
么z 的取值范围是、
〔二〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答假如全选，那么按第15题作答结
果记分.〕
15、〔选修4—1：几何证明选讲〕
如图，⊙O 的直径为6，Ｃ为圆周上一点，BC=3,过Ｃ作圆的切线l ， 过A 作l 的垂线AD ，垂足为Ｄ，那么CD=. 16、〔选修4—4：坐标系与参数方程〕 直线l
的极坐标方程为
4
C :cos()π
ρθ-
=C ：
cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩〔θ为参数〕上的点到
直线l 的距离值为d ，那么d 的最大值为.
【三】解答题：本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、〔本小题总分值12分〕在ABC ∆中，三内角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 且满足〔2b -c 〕
cosA =acosC 、
〔Ⅰ〕求角A 的大小；〔Ⅱ〕假设
||1AC AB -=，求ABC ∆周长l 的取值范围、
18、〔本小题总分值12分〕某工厂有216名工人，现同意了生产1000台GH 型高科技产品的总任务、
每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成、每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置、现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置〔完成自己的任务后不再支援另一组〕设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完成G 型装置所需的时间为g (x )，其余工人加工完成H 型装置所需的时间为h (x )〔单位：小时，可不为整数〕、
〔Ⅰ〕写出g (x )，h (x )的解析式；〔Ⅱ〕写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(Ⅲ)应怎么样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
19、〔本小题总分值12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥
CD ,E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC =90°,AB =AD =PD =1，CD=2、
〔Ⅰ〕求证：BE ∥平面PAD ；〔Ⅱ〕求证：BC ⊥平面PBD (Ⅲ)设Q 为侧棱PC 上一点，
PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q —BD —P 的大小为45°
20、〔本小题总分值12分〕数列{}n
a 是首项
112
a =
，公比为12的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，又25log (1)n n b S t +-=，常数*N t ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅、
〔Ⅰ〕假设{}n
c
是递减数列，求t 的最小值；〔Ⅱ〕是否存在正整数k ，使12
,,k k k c c c ++这三项按某种顺序排列后成等比数列？假设存在，试求出k ，t 的值；假设不存在，请说
明理由、
21、〔本小题总分值13分〕椭圆C ：2
2221(0)x y a b a b
+=>>的焦点为12
,F F ，P 是椭圆上任意一点，假设以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆通过椭圆的焦点，且1
2
PF F ∆的
周长为4+
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设直线的l 是圆O ：
2
2
43
x y +=
上动点0000(,)(0)
P x y x y ⋅≠处的切线，l 与椭圆C 交于不同的两点Q ，R ，证明：QOR ∠的大小为定值、
22、〔本小题总分值14分〕设函数322()21(2)f x x mx m x m m =---+->-的图象在x =2处的切线与直线x －5y －12=0垂直、 〔Ⅰ〕求函数()f x 的极值与零点；〔Ⅱ〕设
1()ln x g x x
kx
-=+，假设对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)假设0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=，证明：
222911110
a b c a b c ++≤+++
华中师大一附中2018届高考适应性考试
数学〔理科〕试题答案
【一】选择题：ACADCBCCDB
【二】填空题：11、312、54-
13、1(+1)(27)6n n n +14、[]10,7-15
16
、1
【三】解答题： 17、解：〔Ⅰ〕在△ABC 中，∵(2)cos cos b c A a C -=， 由正弦定理有：(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=，………2分 ∴2sin cos sin()B A A C =+，即2sin cos sin B A B =，
∵sin 0B >，∴
1cos 2A =
，又∵(0,)A π∈，∴
3
A π=、………6分 〔Ⅱ〕由
||1AC AB -=，∴||1BC =，即1a =，
由正弦定理得：
B A B a b sin 32sin sin ==，C
c sin 3
2
=，………8分
1sin )1sin())l a b c B C B A B =++=+
+=++
+11cos )
2B B =++12sin()
6
B π=++、………10分
∵
3π=A ，∴
)32,0(π∈B ，∴)65,6(6πππ∈+B ，∴]
1,2
1()6sin(∈+πB ，
故△ABC 的周长l 的取值范围是]3,2(、………12分
解法二：周长1l a b c b c =++=++，由〔Ⅰ〕及余弦定理得：
2212cos b c bc A =+-，∴122+=+bc c b ，………8分
∴
22
)
2
(3131)(c b bc c b ++≤+=+，∴2≤+c b ，………11分
又1b c a +>=，∴]3,2(∈++=c b a l ，
即△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]………12分
18、解：〔Ⅰ〕由题意知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人和〔216x -〕人，∴40006g x x =（），3000(216)3h x x =
-⋅（），
即
20003g x x =（），1000216h x x
-（）=
〔0216x <<，*
x N ∈〕………4分
〔Ⅱ〕2000()()3g x h x x -=-1000216x =
-)
216(3)5432(1000x x x --⋅，
∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0，
当086x <≤时，43250x ->，()()0g x h x ->，()()g x h x >， 当87216x ≤<时，43250x -<，()()0g x h x -<，()()g x h x <，
**2000
,086,,3()1000,87216,.216x x N x
f x x x N x
⎧<≤∈⎪⎪∴=⎨
⎪≤<∈⎪-⎩………8分
〔Ⅲ〕完成总任务所用时间最少即求()f x 的最小值，
当086x <≤时，()f x 递减，∴2000
()(86)386f x f ≥==
⨯129
1000，
∴min
()(86)f x f =，如今216130x -=，………9分
当87216x ≤<时，()f x 递增，∴1000
()(87)21687f x f ≥==
-129
1000， ∴min
()(87)f x f =，如今216129x -=，………10分
∴min
()(87)(86)f x f f ==，
∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129、………12分 19、证：〔Ⅰ〕取PD 的中点F ，连结EF AF ，，因为E 为PC 中点，因此EF CD ∥，且 1
1
2
EF CD ==，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AB =， 因此EF AB ∥，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形，因此BE AF ∥， 又因为BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ， 因此BE ∥平面PAD 、………4分
〔Ⅱ〕平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，因此PD ⊥平面ABCD ，因此PD AD ⊥、如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -、那么(1,0,0)A ，
(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P 、(1,1,0),(1,1,0)DB BC ∴==-、
因此0,BC DB BC DB ⋅=⊥、又由PD ⊥平面ABCD ，可得
PD BC ⊥，因此BC ⊥平面PBD 、………8分
〔Ⅲ〕平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，
(0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈，因此(0,2,1)Q λλ-，
设平面QBD 的法向量为(,1,)n x z =，由0n DB ⋅=，0n DQ ⋅=，得102(1)0x z λλ+=⎧⎨
+-=⎩，
因此
21,1,1n λλ⎛
⎫=- ⎪-⎝⎭
，因此cos 452
||||
n BC
n BC
⋅︒===
注意到(0,1)λ∈，得1λ…………12分
20、解：〔Ⅰ〕由题意知，n n a ⎪
⎭⎫ ⎝⎛=21，11[1()]1221()1212
n n n S -∴=
=--，
∴t
n t S t b n n n +=-=--=5)2
1(log 5)1(log 522，∴n n t n c )21)(5(+=，
{}n
c 是递减数列，
∴
)2
1)(5255(1<--++=-+n
n n t n t n c c 恒成立，即55+->n t 恒成立， 55)(+-=n n f 是递减函数，∴当1=n 时()f n 取最大值0，
∴0>t ，又*N t ∈，∴1min
=t 、………6分
〔Ⅱ〕记5k
t x +=，那么
k k k x t k c )
2
1()21)(5(=+=，且*
x N ∈，
11111(55)()(5)()22k k k c k t x +++∴=++=+，222)2
1)(10()21)(105(++++=++=k k k x t k c ，
① 假设k
c 是等比中项，那么由
212k k k
c c c ++⋅=得：
k
k k x x x 2221)
21()21)(10()21)(5(=+⋅+++，化简得：0501572=+-x x ，显然不成立. ② 假设1
k c
+是等比中项，那么由
221k k k c c c ++⋅=得：
2
222)2
1()5()21)(10()21(+++=+⋅k k k x x x ，化简得：()2(10)5x x x +=+，显然不成立、 ③ 假设2
k c
+是等比中项，那么由212
k k k c c c ++⋅=得：
4
221)
2
1()10()21()21)(5(+++=⋅+k k k x x x ，化简得：01002072=-+x x ， 因为1003210074202⨯=⨯⨯+=∆不是完全平方数，因而x 的值是无理数，与*x
N ∈矛盾、 综上：不存在t k 和适合题意.………12分
21、解〔Ⅰ〕因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆通过椭圆的焦点，因此b
c =，可得
a =，又因为12PF F ∆
的周长为4+
2a c +=c =
可得
2,a b ==C 的方程为2
2
142
x y +=、………5分
〔Ⅱ)直线的l 方程为3400=+y y x x ，且3
42
020=
+y x ，记),(11y x Q ，),(22y x R ， 联立方程
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+=+3412
4002
2y y x x y x ，消去y 得04932316)2(2002
2020=-+-+y x x x x y ， 2
2
020
212020021249322316x y y x x x y x x x +-=+=+∴，………8分 ]2
2
020
212
0210202010202124916)(349161)34)(34(1x y x x x x x x x y x x x x y y y +-=++-⎢⎣⎡=--=，
从而
2222000012122222222
2000000003216161616444()9933302222y x x y x x y y y x y x y x y x ---+-
+=+==++++， 090=∠∴QOR 为定值、………13分
22、解：〔Ⅰ〕因为22()34f x x mx m '=---，因此2(2)1285f m m '=---=-，
解得：1m =-或7m =-，又2m >-，因此1m =-，………2分 由2()3410f x x x '=-+-=，解得1
1x =，
21
x =
，列表如下：
150()()327
f x f ==
极小值
()(1)2f x f ==极大值因为322()22(2)(1)f x x x x x x =-+-+=--+， 因此函数()f x 的零点是2x =、………5分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当[0,1]x ∈时，
min
50()27
f x =， “对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x
g x >”等价于“
()f x 在[0,1]上的最小
值大于()g x 在(0,1]上的最小值，即当(0,1]x ∈时，min
50()27
g x <”
，………6分 因为
22111
()x k
g x kx x x
-
'=-
+=， ①当0k <时，因为(0,1]x ∈，因此150()ln 027
x g x x kx -=+≤<
，符合题意； ②当01k <≤时，1
1
k
≥，因此(0,1]x ∈时，()0g x '≤，()g x 单调递减，
因此
min 50()(1)027
g x g ==<
，符合题意；
③当1k >时，101k <<，因此1(0,)x k ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，1(,1)
x k
∈时，
()0g x '>，()g x 单调递增，因此(0,1]x ∈时，
min 111()()1ln
g x g k k k
==-+，
令23()ln 27x x x ϕ=--〔01x <<〕，那么1()10
x x
ϕ'=->，因此()x ϕ在(0,1)上单调递增，因此(0,1)x ∈时，50()(1)0
27
x ϕϕ<=-<，即23ln 27x x -<，
因此
min
1112350()()1ln 12727
g x g k k k ==-+<+=
，符合题意，
综上所述，假设对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，
那么实数k 的取值范围是(,0)(0,)-∞⋃+∞、………10分 〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅰ〕知，当[0,1]x ∈时，
2
50(1)(2)27
x x +-≥，即2
2
27(2)150x x x x ≤-+， 当0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=时，01a ≤≤，01b ≤≤，01c ≤≤， 因此
222222
222
2727[2()()][2()]1115050
a b c a b c a b c a b c a b c ++≤++-++=-+++++ 又因为2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++， 因此222
13
a b c ++≥
，当且仅当13a b c ===时取等号， 因此2222
2
2
272719[2()](2)11150
50310
a b c a b c a
b
c
+
+
≤
-++≤
-=
+++，
当且仅当13
a b c ===
时取等号，………14分。