湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试
题
一、单选题
1．复数4i i
z +=在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知椭圆(22
213x y a a +=>的离心率为12，左､右焦点分别为12,,F F A 为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则12AF F △的面积最大为（ ）
A
．1 B C ．2 D ．3．设R a ∈，直线()()12:110,:220l a x y l x ay a ++-=+-+=，则“1a =”是“1l //2l ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．若函数()()2391x x x ax f x +=
+为偶函数，则a =（ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．3
5．已知点()00,x y 为直线260x y ++= ）
A
B ．2
C
D 6．如图，在异面直线,m n 上分别取点,A B 和,C D ，使2,4,6AB CD BD ===，且
,AC m AC n ⊥⊥，若π,3
AB CD <>=u u u r u u u r ，则线段AC 的长为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．6
7．已知点P 为椭圆22
1169
x y +=上任意一点，则点P 到直线:90l x y -+=的距离的最小值为（ ）
A
．
B ．4
C ．
D ．8．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，
π3,3
PA ABC BAP ∠∠===，且1cos 6PAD ∠=，则cos PBC ∠=（）
A ．
B
C ．D
二、多选题
9．党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（ ）
A ．从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大
B ．从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年
C ．这6年中国海洋生产总值的极差为15122
D ．这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628
10．已知圆22:(1)1M x y -+=与圆22:(2)4N x y +-=相交于,A B 两点（点A 在第一象限），则（ ）
A ．直线A
B 的方程是20x y -=
B ．,,,A M B N 四点不共圆
C ．圆M 的过点A 的切线方程为3480x y +-=
D ．4cos 5
AMB ∠=- 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AB AD AA λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中[)1,λ∞∈+，则下
列说法正确的是（）
A ．若1,,,,A
B D A P 在同一球面上，则3λ=
B ．若AB ∥平面1A DP ，则2λ=
C ．若点P 到1,,,A B
D A 四点的距离相等，则2λ=
D ．若1A P ⊥平面PBD ，则32
λ=
三、填空题
12．已知直线:2l y kx =+在x 轴上的截距为1，则k =.
13．已知tan 2α=，则2sin cos sin 1ααα-+=.
14．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数()1λλ≠的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点()7,0A -，B 为直线:43110l x y ++=上的动点，P 为圆22:(2)9C x y -+=上的动点，则3PA PB +的最小值为.
四、解答题
15．已知直线1l 的方程为()420a x ay +-+=，直线2l 经过点1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭和10,B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)若12l l ⊥，求a 的值；
(2)若当a 变化时，1l 总过定点C ，求AC .
16．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin cos C c A c =+.
(1)求A ；
(2)若π,4
C ABC =△的面积为6，求c .
17．已知圆221:202
E x mx y m -+-=，点()1,0A 关于直线:l y ax b =+的对称点为()2,3B -. (1)求l 的方程；
(2)若l 与圆E 相交于,M N 两点，圆心E 到l 圆C 的圆心在线段MN 上，且圆C 与圆E 相切，切点在劣弧MN 上，求圆C 的半径的最大值.
18．如图，在三棱锥P ABC -中，2,,,PA AB BC PB AC PA BC M N =====⊥分别是棱PB ，CA 上的动点（不含端点），且BM CN =.
(1)证明：平面ABC ⊥平面PAB .
(2)设BM t =，则当t 为何值时，MN 的长度最小？
(3)当MN 的长度最小时，求平面AMN 与平面PAB 的夹角的余弦值.
19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()3,1O 为坐标原点. (1)求E 的方程.
(2)过点()0,3P 且不与y 轴重合的动直线l 与E 相交于,A B 两点，AB 的中点为Q . （i ）证明：直线l 与OQ 的斜率之积为定值；
（ii ）当OAB △的面积最大时，求直线l 的方程.。