江苏省泰兴中学2015-2016学年高二数学寒假作业3 含答案

高二数学寒假作业（3）
完成时间月日用时分钟班级姓名
一．填空题
1。

已知复数z满足：z（1－i）＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为
2.已知双曲线错误!－错误!＝1的一条渐近线的方程为2x－y＝0,则该双曲线的离心率为
3.已知函数f（x）＝错误!x3＋x2－2ax＋1在（1，2)上有极值，则实数a 的取值范围为．
4。

我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是
5.命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是______ （填“真”或“假"）命题．
6。

在平面直角坐标系xOy中，以直线2
=±为渐近线，且经过抛物线
y x
24
=焦点的双曲线的方程是
y x
7。

已知双曲线22
ax y
-=则实数a的值为．
41
8.俗语常说“便宜没好货”,这句话的意思可以理解为是：“不便宜"是“好货”
的条件。

（选填“充分”、“必要”、“充要"、
“既不充分又不必要”) 9。

曲线
cos y x x
=-在点
22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，处的切线方程为 ．
10。

已知点A （0,2），抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ,准线为
l ,线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________。

11.
定义“正对数"：0,01ln ln ,1x x x x +
<<⎧=⎨≥⎩
,现有四个命题：
①若0,0a b >>，则()ln ln b
a b a +
+
=；②若0,0a b >>,则()ln
ln ln ab a b +
++=+；
③若0,0a b >>，则ln ln ln a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭
④若0,0a b >>,则()ln ln ln ln2a b a b +++
+≤++
12.在平面直角坐标系xOy 中,已知A 、B 分别是双曲线x 2－错误!＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则错误!的值是____________．
13.已知椭圆错误!＋错误!＝1，A 、B 是其左、右顶点,动点M 满足MB ⊥
AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，
以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．
14.若函数()y f x =对定义域的每一个值1
x ,在其定义域内都存在唯一的
2
x ，使1
2
()()1f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：
①
y x
=是“依赖函数”;②
1y x
=
是“依赖函数”；③2x
y =是“依赖函数”；
④ln y x =是“依赖函数”;⑤()y f x =，()y g x =都是“依赖函数”，且定义
域相同，则()()y f x g x =⋅是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是_ ． 二．解答题 15。

设
(
)
()
30
100
123460
32
11,,,2111
i
i i z i z z z i i i i +--⎛⎫=-=
==
⎪+⎝⎭++-,求1
2
34z z
z z +++。

16。

设命题命题，如果命
题“p 或q"是真命题，命题“p 且q ”是假命题,求实数a 的取值范围。

17．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22
22:1(0)x y
C a b a b +=>>的右准线方程为
x
y O
l A
B
F
P
第17题图 ·
4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F
，斜率为2的直线经过点
A ，且点F
到直线的距离为255。

（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时,试确定直线的斜率。

18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的
圆的一部分，其中
(0,)
E t （025t <≤，单位：米)；曲线BC 是抛物线2
50(0)y ax
a =-+>的一部分；
CD AD ⊥,且CD 恰好等于圆E 的半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米. （1）若要求30CD =米，AD =245米,求与a 的值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；
(3)若1
25a =，求AD 的最大值. （参考公式：若()f x a x =
-，则
1
()2f x a x
'=-
-)
第18题-甲
x
y O A
B
C
D 第18题-乙
E
· F
19．已知椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)的离心率e＝错误!，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P,P关于x轴的对称点为Q．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m,n,求证:mn为常数，并求出此常数．
（第19题
图）
20．已知函数f（x）＝e x，g（x)＝x－b，b∈R．
（1）若函数f（x)的图象与函数g（x)的图象相切，求b的值；（2）设T(x）＝f（x)＋ag(x）,a∈R，求函数T（x）的单调增区间；(3）设h(x)＝｜g（x)｜·f（x)，b＜1．若存在x1，x2错误![0，1］，使|h（x1）－h（x2）｜＞1成立，求b的取值范围．
2015—2016学年江苏省泰兴中学高二数学寒假作业（3）
参考答案
一．
填空题
1。

10 2。

错误!
3．(
错误!
，4) 4。

错误!
5。

真 6.2
2
14y x -=
7．8 8. 必要 9．202x y --= 10.
2
11。

①③④ 12。

－1
2 13。

（0，0) 14。

② ③ 二．解答题 15.2
3412341,1,1,0z
i z z z z z z =-+=-=+++=
16。

解：命题p:
令
,
=
,
，
命题q ：
解集非空，，
命题“p 或q ”是真命题，命题“p 且q ”是假命题，p 真q 假或p 假q 真。

（1） 当p 真q 假，；
(2） 当p 假q 真，
综合,a 的取值范围
17.解:（1）由题意知，直线的方程为2()y x a =-，即220x y a --=,
∴右焦点F
=
1a c ∴-=,
又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以2
4a c =，将此代入上式解得
2,1a c ==，23b ∴=，
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=；
（2）由(1
）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF
的方程为1)y x =-,
联立方程组221)143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
，解得85x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
8(,5P ， ∴
直线的斜率0(58225
k -=
=-.
18.解:（1）因为5030CD t =-=,解得20t =. 此时圆2
22:(20)30E x
y +-=,令0y =
，得AO =
所
以OD AD AO =-==,将
点C 代入2
50(0)
y ax
a =-+>中， 解得149
a =
.
（2）因为圆E 的半径为50t -，所以50CD t =-，在2
50y ax
=-+中令50y t =-，
得OD =
则由题意知5075FD t =-+≤对(0,25]t ∈恒成立,
≤
=即25t =
取最小值10，
故
1
10a
≤，解得1100a ≥.
（3)当1
25a =时，5OD t =，又圆E 的方程为2
22()(50)x
y t t +-=-，令0y =,得
1025x t
=±-，所以1025AO t =-，
从而()10255(025)AD f t t t t ==-+<≤，
又因为215(252)
()5()2525t t f t t t t t
--'=-
+=--⋅，令()0f t '=,得5t =，
当(0,5)t ∈时，()0f t '>，()f t 单调递增；当(5,25)t ∈时,()0f t '<，()f t 单调递减，从而当5t = 时,()f t 取最大值为255。

答：当5t =米时，AD 的最大值为255米.
（说明:本题还可以运用三角换元,或线性规划等方法解决）
19．解： ⑴因为错误!＝错误!，错误! = 2,
所以a ＝错误!，c ＝1，所以b ＝错误!＝１． 故椭圆的方程为错误!＋y 2＝1．
⑵ 解:设直线AP 的斜率为k （k ≠0），则AP 的方程为y = kx +1, 令y = 0，得m ＝－错误!． 联立方程组错误!
消去y ，得(1＋2k 2）x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P =－错误!， 所以y P ＝k ×x P ＋1＝错误!，
则Q 点的坐标为(－4k
1 + 2k 2，－错误!)．
所以k AQ ＝错误!＝错误!，故直线AQ 的方程为y ＝错误!x ＋1． 令y ＝0,得n ＝－2k , 所以mn ＝(－１
k )
（－2k ）＝2．
所以mn为常数，常数为2．
20．解：(1)设切点为（t，e t)，因为函数f（x)的图象与函数g(x）的图象相切，
所以e t＝1，且e t＝t－b，解得b＝－1．
（2）T（x)＝e x＋a(x－b），T′(x）＝e x＋a．
当a≥0时，T′(x)＞0恒成立；当a＜0时，由T′（x）＞0，得x＞ln(－a)．
所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为（－∞，＋∞）；
当a＜0时,函数T(x)的单调增区间为(ln（－a）,＋∞)．（3) h(x）＝|g（x）|·f(x)＝错误!
当x>b时，h′（x)＝(x－b＋1）e x＞0,所以h（x)在(b,＋∞）上为增函数；
当x<b时,h′（x)＝－（x－b＋1)e x,
因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－（x－b＋1)e x＜0，所以h（x)在（b－1，b)上是减函数;
因为x＜b－1时, h′（x）＝－（x－b＋1）e x＞0，所以h(x)在（－∞，b－1)上是增函数．
①当b≤0时，h（x）在（0,1）上为增函数．
所以h(x）max＝h(1)＝(1－b)e，h（x）min＝h（0)＝－b．
由h(x)max－h（x)min＞1，得b＜1，所以b≤0．
②当0＜b＜
e
e＋1时，
因为b＜x＜1时，h′(x)＝(x－b＋1)e x＞0，所以h（x)在（b，1）
学必求其心得，业必贵于专精
上是增函数,
因为0＜x＜b时，h′（x)＝－（x－b＋1)e x＜0，所以h(x）在(0，b)上是减函数．
所以h（x)max＝h(1)＝（1－b)e，h(x)min＝h（b）＝0．
由h(x）max－h（x)min＞1，得b＜错误!；因为0＜b＜错误!，所以0＜b＜错误!．
③当错误!≤b＜1时，
同理可得，h（x）在(0，b）上是减函数，在（b，1)上是增函数．所以h(x)max＝h(0)＝b,h(x）min＝h(b）＝0．
因为b＜1，所以h（x）max－h(x）min＞1不成立．
综上，b的取值范围为（－∞，错误!）．。