2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测：(三十四) 等比数列及其前n项和 Word版含解析

课时跟踪检测(三十四) 等比数列及其前n 项和
一、题点全面练
1．(2019·武汉联考)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5
D ．－7
解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＝4，
a 7＝－2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪
⎨⎪⎧
q 3＝－1
2，a 1＝－8，
∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.
2．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )
A.152
B.314
C.334
D.172
解析：选B 设数列{a n }的公比为q ，则显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q ·a 1q 3
＝1，a 1(1－q 3
)1－q ＝7，解得
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1
＝9，q ＝－13(舍去)， ∴S 5＝a 1(1－q 5
)1－q
＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12
＝314.
3．(2018·邵阳二模)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6
S 4＝( )
A ．2 B.73 C.3
10
D ．1或2
解析：选B 设S 2＝k ，S 4＝3k ，∵数列{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝7
3
，故选B.
4．(2018·安庆二模)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}
是等比数列，则λ的值等于( )
A ．1
B ．－1 C.12
D ．2
解析：选D 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2
λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2
λ
＝1，得λ＝2.
5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
解析：选B 设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n
＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，∴T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n ，
∴n ＝12.
6．(2019·重庆调研)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5＝5，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝________.
解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a 1·a 9＝a 2·a 8
＝a 3·a 7＝a 4·a 6＝a
2
5
＝52，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝log 5(a 1·a 2·…·a 9)＝
log 5[(a 1·a 9)·(a 2·a 8)·(a 3·a 7)·(a 4·a 6)·a 5]＝log 5a 95＝log 559
＝9.
答案：9
7．设各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________.
解析：易知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20＞0，所以S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，所以S 40＝150.
答案：150
8．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1
a 4
＝________. 解析：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝a 1＋a 4a 1·a 4＋a 2＋a 3
a 2·a 3.
∵在等比数列{a n }中，a 1·a 4＝a 2·a 3， ∴原式＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2·a 3＝158×⎝⎛⎭⎫－89＝－5
3.
答案：－5
3
9．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －
1.
由已知得q 4＝4q 2，
解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n
－1
或a n ＝2n －
1.
(2)若a n ＝(－2)
n －1
，则S n ＝1－(－2)n
3
.
由S m ＝63，得(－2)m ＝－188， 此方程没有正整数解． 若a n ＝2
n －1
，则S n ＝1－2n 1－2
＝2n
－1.
由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.
10．已知数列{a n }的首项a 1＞0，a n ＋1＝
3a n 2a n ＋1
(n ∈N *)，且a 1＝2
3.
(1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n
－1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前n 项和T n .
解：(1)证明：记b n ＝1a n －1，则b n ＋1b n
＝1
a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －1
1a n －1＝2a n ＋1－3a n 3－3a n ＝1－a n 3(1－a n )＝1
3，
又b 1＝1a 1－1＝32－1＝1
2
，
所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n －1是首项为12，公比为1
3的等比数列．
所以1a n
－1＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1
，即a n ＝2·3n －
11＋2·3n －1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －
11＋2·3n －1
.
(2)由(1)知，1a n －1＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1
，
即1a n
＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1
＋1.
所以数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前n 项和
T n ＝12⎝⎛
⎭⎫1－13n 1－13
＋n ＝3
4⎝⎛⎭
⎫1－13n ＋n . 二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 1≥1，a 2≤2，a 3≥3，则a 4的取值范围是________． 解析：设{a n }的公比为q ，则根据题意得q ＝a 2a 1＝a 3a 2，
∴32≤q ≤2，a 4＝a 3q ≥9
2，a 4＝a 2q 2≤8，∴a 4∈⎣⎡⎦⎤92，8. 答案：⎣⎡⎦⎤92，8
2．已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－3
2，求这四个数．
解：设这四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，则由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧
a 4q 6
＝1， ①aq (1＋q )＝－32， ②得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2q 3
＝±1， ③a 2q 2(1＋q )2＝94. ④ 把a 2q 2＝1q 代入④，得q 2－1
4q ＋1＝0，此方程无解；
把a 2q 2＝－1q 代入④，得q 2＋17
4q ＋1＝0，
解此方程得q ＝－1
4
或q ＝－4.
当q ＝－14时，a ＝8；当q ＝－4时，a ＝－1
8.
所以这四个数为8，－2，12，－18或－18，1
2，－2,8.
(二)交汇专练——融会巧迁移
3．[与方程交汇]在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( )
A ．－2
B ．－ 2
C ．±2
D. 2
解：选B 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4＜0，a 3a 7
＞0，得a 3＜0，a 7＜0，即a 5＜0，由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.故选B.
4．[与集合交汇]设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )
A ．－1
2
B.12。