四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年高一下学期6月月考 数学试题【含答案】

四川省广元市川师大万达中学2023-2024学年度第二学期期
末模拟考试高2023级数学试题
（满分：150分时间：120分钟）
一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求
1．已知1
cos 2
α=，则cos2α=（）
A B ．C ．1
2
D ．12
-
2．已知复数z 满足2i 2z z -=，则复数z 的虚部为（）
A ．2i
5
B ．4i
5
C ．
25
D ．
45
3．一个水平放置的平面图形OABC 按斜二测画法得到的直观图O A B C ''''如图所示.知
24,O A C B O C A B '==='''''''，则平面图形OABC 的面积为（
）
A ．3
B ．6
C ．
D ．4．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11,15,17,,23,26,27,34,37,38a ，若该组数据的40%分位数为22，则=a （）
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
5．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm ）.24小时降雨量的等级划分如下：24小时降雨量（精确到0.1）L 0.1~9.9
10.024.9~25.049.9~50.0~99.9
降雨等级
L
小雨
中雨大雨
暴雨
在一次降雨过程中，用一个侧棱180mm AA =的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过1111,,,AC BC A C B C 的中点.则这24小时的降雨量的等级是（
）
A ．小雨
B ．中雨
C ．大雨
D ．暴雨
6．把函数()sin f x x =的图象向左平移
π6个单位长度，再把横坐标变为原来的6
π
倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）
A ．函数()y g x =的最小正周期6T =
B ．函数()y g x =在区间()2,8上单调递减
C ．函数()2y g x =+是奇函数
D ．函数()2y g x =+在区间[]3,4上的最大值为1
2
7．如图，圆锥PO 的底面直径和高均为12，过PO 上一点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（
）
A ．12π
B ．24π
C ．36π
D ．72π
8．在ABC 中，22,4AB AC BC ===，点P 满足BP tBC =
，且1AP BC BC
⋅=
，则t =（）
A ．
34
B ．
14
C ．34
-
D ．14
-
二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知,m n 是两条不同的直线，α是平面，若m ,n αα⊂，则,m n 的关系可能为（）
A ．平行
B ．垂直
C ．相交
D ．异面10．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列结论正确的是（）
A ．若222sin sin sin sin sin A
B
C B C =+-，则角π3
A =
B ．存在,,A B
C ，使tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++>成立C ．若sin2sin2A B =，则ABC 为等腰或直角三角形
D ．若30a b A = ，则ABC 有两解
11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 上的动点，DF ⊥平面1,D EC F 为垂足，下列结论正确的是（
）
A ．1FD FC
=B ．三棱锥1C DED -的体积为定值C ．11ED A D
⊥D ．1BC 与AC 所成的角为45︒
三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12．已知,a b
为共线向量，且()()()3,1,,2a b x x ==∈R ，则x =
.
13．在ABC 中，,D E 分别为,AC BC 的中点，AE 交BD 于点M .若2,4AB AC ==，π
3
BAC ∠=
，则cos EMD ∠=.
14
为．
四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
15．已知向量,a b
满足，4,a b == a 在b 上的投影向量为b - .(1)求,a b 及a b ⋅ 的值；
(2)若()()
2a b a b λ-⊥+
，求λ的值.
16．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos πsin 2cos 6B C A ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，且sin 2sin b C B =.(1)求A 及c ；
(2)若点D 在边BC 上，且3,BC BD AD ==
ABC 的面积.17．2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中
4b a =.
(1)求图中a 的值并估计满意度得分的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若有超过60%的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成绩合格了吗？
(3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.
18．在平行四边形ABCD 中，2,45,,AB AD A E F === 分别为,AB AD 的中点，将三角
形ADE 沿DE 翻折，使得二面角A ED C --为直二面角后，得到四棱锥A EBCD -.
(1)求证：EF 平面ABC ；(2)求证：平面AED ⊥平面ACD ；(3)求EC 与平面ACD 所成角的正弦值.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于120 的ABC 内部有一点P ，连接,,PA PB PC ，求PA PB PC ++的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将APC △绕点
C 顺时针旋转60 ，得到EDC △，连接,P
D B
E ，则BE 的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P 的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量(),AB x y =
，
把AB
绕其起点沿逆时针方向旋转θ
角得到向量()cos sin ,sin cos AQ x y x y θθθθ=-+
.
(1)已知平面内点()(1,2,12A B -，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π
4
后得到点P ，求点P 的坐标；
(2)在ABC 中，30,12,5ACB BC AC ∠=== ，借助研究成果，直接写出PA PB PC ++的最小值；
(3)已知点()()()1,0,1,0,0,2A B C -，求ABC 的费马点P 的坐标.
1．D
【分析】根据余弦的二倍角公式即可代入求解.【详解】2
1cos22cos 12
αα=-=-，
故选：D 2．C
【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，结合复数的意义求解即得.【详解】由2i 2z z -=，得22(2i)42i 2i (2i)(2i)55
z +===+--+，所以复数z 的虚部为25
.故选：C 3．C
【分析】根据斜二测画法画出梯形OABC 的原图并确定对应边长，计算即可.【详解】画出梯形OABC 的原图，如图所示：
在直观图中，24,O A C B O C A B '==='''''''，
得O C ='='24OA CB ==，
OC =四边形OABC 是直角梯形，
所以42
2
S +=⨯=.故选：C 4．C
【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解.【详解】40%104⨯=，
又该组数据的40%分位数为22，则
23
222
a +=，解得21a =.故选：C
5．D
【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解液面高度，即可与降雨量等级比较求解．
【详解】设ABC 的面积为S ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，
侧面11AA B B 水平放置时，水的体积为113
3604
4
ABC V S AA AA S S ⋅=⋅== ，
当底面ABC 水平放置时，水的体积为ABC V S h Sh == ，于是60Sh S =，解得60h =，
所以当底面ABC 水平放置时，液面高为60mm ．故降雨量等级为暴雨，故选：D 6．B
【分析】根据伸缩平移变换可得函数()g x 的解析式，进而判断各选项中图像性质.
【详解】()sin f x x =的图像向左平移π6个单位长度得函数πsin 6y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
再把横坐标变为原来的6π倍（纵坐标不变）得到函数()()π
ππsin sin 16
66g x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，
其最小正周期为2π2π
16
T =
=，A 选项错误；由()2,8x ∈，得
()ππ3π1,622x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin y x =在π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，B 选项正确；()()ππππ2sin
3sin cos 6626y g x x x x ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，为偶函数，C 选项错误；当[]3,4x ∈时，ππ2π,623x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以()π2cos 6y g x x =+=单调递减，
最大值为0，D 选项错误.故选：B.7．C
【分析】设OO x '=，用x 的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最大值．
【详解】圆锥轴截面如图所示，
设圆柱的底面半径为r ，OO x '=，由//O A OB '可知，B PO PO O A O ''＝，即12126
x r
-＝，所以()1
122
r x =
-，故被挖去的圆柱的侧面积为()2
122ππ12π36π2x x S rx x x +-⎛⎫
-≤ ⎪⎝⎭
＝＝＝，
当且仅当6x =时取等号，即6OO '=时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为36π．故选：C 8．A
【分析】根据题意，在Rt ABC △中取BC 中点为D ，且点P 在直线BC 上，由数量积运算可得
1DP =
，从而得解.【详解】因为2,4AB AC BC ===，易知ABC 为等腰直角三角形且π
2
A =
，取BC 中点为D ，则AD BC ⊥，又点P 满足BP tBC = ，则点P 在直线BC 上，
所以()
AP BC AD DP BC DP BC ⋅=+⋅=⋅ ，
由1AP BC BC ⋅=
，则1||
DP BC BC ⋅=
，结合图知1DP = ，所以3t 4=.
故选：A 9．ABD
【分析】根据平行、垂直、相交和异面的性质即可求解.
【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，
若α是平面ABCD ，11A B 为m ，AB 为n ，此时m 与n 平行，故A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，
若α是平面ABCD ，11A D 为m ，AB 为n ，此时m n ⊥，故B 正确；
若m ,n αα⊂，m 不可能与n 垂直和相交，故C 错误；在正方体1111ABCD A B C D -中，
若α是平面ABCD ，11B D 为m ，AB 为n ，此时m 与n 异面，故D 正确.故选：ABD.10．ACD
【分析】利用正弦定理、二倍角公式、解三角形的知识进行判断.【详解】选项A ：由正弦定理得：222,a b c bc =+-又余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-故1cos 2
A =又(0,π),A ∈故π
,3
A =
故选项A 正确，选项B ：因为在ABC 中，故tan tan tan tan tan tan ,A B C A B C ++=故选项B 错误，
选项C ：当sin2sin2A B =时，22A B =或22πA B +=即A B =或π
,2
A B +=故ABC 为等腰或直角三角形，故选项C 正确，
选项D ：sin
b A =则若30a b A == ，则ABC 有两解正确，故选项D 正确.
故选：ACD.11．ABC
【分析】对于A ，可证得1CD ⊥平面DOF ，进而有1OF CD ⊥，所以F 在1CD 的中垂线上，可得1FD FC =，即可判断；对于B ，由11C DED E CDD V V --=三棱锥三棱锥，而三棱锥1E CDD -的体积为定值，所以三棱锥1C DED -的体积为定值，即可判断；对于C ，可证得1A D ⊥平面1AED ，则11ED A D ⊥，即可判断；对于D ，在正方体中，由1D AC 是正三角形，可得1BC 与AC 所成的角为60︒，即可判断.【详解】
对于A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1DC ，交1CD 于点O ，连接OF ，则1DO CD ⊥，又DF ⊥平面1D EC ，1CD ⊂平面1D EC ，所以1CD DF ⊥，因为,DF DO D DF DO =⊂ 、平面DOF ，所以1CD ⊥平面DOF ，
又OF ⊂平面DOF ，所以1OF CD ⊥，
因为O 为1CD 的中点，所以F 在1CD 的中垂线上，所以1FD FC =，故A 正确；
对于B ，在正方体中，//AB 平面1CDD ，E 为棱AB 上的动点，所以点E 到平面1CDD 的距离即为AB 到平面1CDD 的距离，即为正方体的棱长，为定值，1CDD 的面积为定值，
所以三棱锥1E CDD -的体积为定值，又11C DED E CDD V V --=三棱锥三棱锥，所以三棱锥1C DED -的体积为定值，故B 正确；
对于C ，连接11AD A D 、，则11AD A D ⊥，
又在正方体中，⊥AE 平面11AA D D ，1A D ⊂平面11AA D D ，所以1A D AE ⊥，又1AE AD A ⋂=，1AE AD ⊂、平面1AED ，所以1A D ⊥平面1AED ，又1ED ⊂平面1AED ，所以11ED A D ⊥，故C 正确；对于D ，连接1AC BC 、，
在正方体中，11//AB C D 且11AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，
所以11//BC AD ，所以1D AC ∠即为1BC 与AC 所成的角，
又1D AC 是正三角形，所以1BC 与AC 所成的角为60︒，故D 错误.故选：ABC.12．6
【分析】根据共线向量，求出x
【详解】根据a b
，为共线向量，且()()3,1,2a b x == ，,
则320x ⨯-=，解得6x =.故答案为：6.
13．
714
【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得,ME MD 的长度，即可根据余弦定理求解.【详解】因为在ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AE 交BD 于点M ，
则M 为ABC 的重心，所以
1111()()3332ME AE AB BE AB BC ==+=+
1111()()3226
AB AC AB AB AC =+-=+
，由平面向量数量积的定义可得π1
||||cos 24432
AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯= ，
故AE
11111()()(2)33326
MD BD AD AB AC AB AC AB ==-=-=-
，
2
3
MD==
又
11
2
ED AB
==,
由余弦定理可得
22
2
222
21
3
cos
272
33
ME MD ED
EMD
ME MD
∠
⎛⎫
+-
⎪
+-
==
⋅
．
14．18π
【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得.
【详解】
过圆锥的旋转轴作轴截面，得ABC
及其内切圆1O
和外接圆
2
O
，
且两圆同圆心，即ABC
的内心与外心重合，所以ABC
为正三角形，
由题意1O
的半径为r=，
所以ABC
的边长为6，
所以圆锥的底面半径为3，
所以圆锥的侧面积π3618π
S=⨯⨯=．
故答案为：18π.
15．(1)
5π
,
6
a b=
，12
a b⋅=-
(2)
9
10
【分析】（1）由投影向量的定义可求得a b⋅
，再由向量的夹角公式可求得
,a b
；（2）由向量垂直建立方程，求解即可．
【详解】（1）因为||4
a=
，||b=
a
在b
上的投影向量为b-
，
所以||||
a b b b b b ⋅⋅=- ，所以2||12a b b ⋅=-=- ，
所以cos ,2a b a b a b ⋅===-
，
因为,[0,π]a b ∈
，所以5π,6
a b = ；
（2）因为(2)()a b a b λ-⊥+
，
所以(2)()0a b a b λ-⋅+= ，即22(12)20a a b b λλ+-⋅-=
，
得1612(12)240λλ---=，解得910
λ=．16．(1)π3
A =，2c =，
(2)【分析】（1
）根据三角恒等变换即可得tan A =π
3
A =,由正弦定理边角互化即可求解2c =,
（2）根据向量的线性运算，结合模长公式可得4b =，即可由面积公式求解.【详解】（1）由
cos πsin 2cos 6B C A ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭得：()1cos cos 2cos sin cos 22B A C A C C ⎛⎫
=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
∴sin sin cos A C C A =，
(0,π)C ∈ ，sin 0C ∴≠
，故tan A =由于(0,π)A ∈,所以π3
A =，
由正弦定理以及sin 2sin b C B =可得2bc b =，所以2c =，
（2）
3,BC BD AD ==∴()
11213333
AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=+
，
∴222221144||||cos 33999AD AB AC AC AB AB AC A ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭
，
∴2
22144
cos 999b c bc A =++⎝⎭
，
由于π3
A =，2c =，所以24320b b +-=，解得4b =或8b =-（舍去）
所以113
sin 4223
222
ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△17．(1)0.01a =，79.5(2)合格
(3)平均值为86，方差为96
【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求出a ，进而即可求出平均数；
（2）先确定40%分位数的位置，再由频率分布直方图求出百分位数，即可下结论；（3）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差.【详解】（1）由题意知40.050.1a a ++=，0.01
a ∴=估计满意度得分的平均值650.15750.35850.4950.179.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75又由满意度在[)60,70的频率为0.150.4<，满意度在[)60,80的频率为0.50.4>知40%分位数位于[)
70,80由0.40.1554070100.50.157
-+
⨯=
-可以估计40%分位数为540
757
>∴有超过60%的人满意度在75分及以上，衢州市5月份文旅成绩合格了
（3）把6月1日—6月7日的样本记为1240000,,,x x x ⋅⋅⋅，其平均数记为x ，方差记为2
x s ，
把6月8日—6月14日的样本记为1260000,,,y y y ⋅⋅⋅，其平均数记为y ，方差记为2
y s ，
则总样本平均数4646
80908610101010
z x y =
⨯+⨯=⨯+⨯=由方差的定义，总样本方差为
()()4000060000
222
111100000i i i i s x z y z ==⎡⎤
=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑
{}
222
214()6()10
x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦{
}
22
1475(8086)670(9086)9610
⎡⎤⎡⎤=
⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦∴总样本平均值为86，总样本方差为96
18．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
10
10
【分析】（1）取AC 中点G ，证明四边形BEFG 是平行四边形，即可根据线线平行求证，（2）根据面面垂直的性质即可求解，
（3）利用等体积法，求解点E 到平面ACD 的距离，即可求解.【详解】（1）取AC 中点G ，连接FG 和BG ，
因为F ，G 分别为AD ，AC 的中点，所以//FG CD ，且1
2
FG CD =,
又//EB CD ，且12
EB CD =,所以//EB FG ，且EB FG =．所以四边形BEFG 是平行四边形．
所以//EF BG ．BG ⊂平面ABC ,EF ⊄平面ABC 故EF //平面ABC
（2）由于在平行四边形ABCD 中，2,2,45,,AB AD A E F == 分别为,AB AD 的中点，所以221,2cos 451AE ED AD AE AD AE ==+-⋅= ，则222AE DE AD +=，因此AE DE ⊥，又//AE DC ，故CD ED ⊥，
由于二面角A ED C --为直二面角，所以平面AED ⊥平面EDC 且两平面的交线为ED ，又
CD ⊂平面ECD ，
故CD ⊥平面AED ，CD ⊂平面ACD ，故平面AED ⊥平面ACD .
（3）由于平面AED ⊥平面EDC 且两平面的交线为ED ，AE DE ⊥，
AE ⊂平面AED ，故⊥AE
平面BCDE ,
由（2）知CD ⊥平面AED ,AD ⊂平面AED ，故CD AD ⊥，设点E 到平面ACD 的距离为h ，则E ACD A ECD V V --=
，故
1
1212
21222
ECD ACD ECD ACD S AE S h S AE h S ⨯⨯⨯⋅=⋅⇒=== ，
设EC 与平面ACD 所成角为θ
，则sin h EC θ===
19．(1)()0,1P -(2)13
(3)P ⎛ ⎝⎭
【分析】（1
）根据题意
AB =-
，代入公式可得AP
，从而得解；
（2）根据题意，旋转后ACE △为等边三角形，根据勾股定理可解；
（3）根据题意，ABC 中，BC 与AC 关于y 轴对称，所以旋转后BD 与AE 关于y 轴对称，由图形的对称性知费马点P 必在y 轴上，由,,A P D 三点共线求解.【详解】（1
）
AB =- ，AB
绕着点A 顺时针旋转
π
4
，即逆时针旋转
7π
4
，代入公式，(
(()7π7π7π7πsin sin cos 1,34444AP ⎫=--+-=--⎪⎭ ，
所以()()()1,21,30,1OP OA AP =+=+--=-
，
则点P 的坐标为()0,1P -；（2）由费马点的求法知：
CA 绕着点C 顺时针旋转60 ，与CE 重合，30ACB ∠= ，
所以ACE △为等边三角形，
连接BE ，PA PB PC ++的最小值为BE ，由勾股定理得13BE =；（3）通过材料可以知道，ABC 内部有一点P ，连接,,PA PB PC ，
将APC △绕点C 顺时针旋转60 ，得到EDC △，连接,PD BE ，则BE 的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P 的周角，即此时点P 满足120APB BPC APC ︒∠=∠=∠=，又由题设，可知ABC 为等腰三角形，且AC BC =，根据费马点求法知：点P 在AB 中垂线OC 上，
且ABP 是顶角为120 的等腰三角形，所以30PAB ∠=︒，
故3333OP =
=，则P ⎛ ⎝⎭
.
【点睛】关键点点睛：第（3）中，发现ABC 中，根据费马点求法知：点P 在AB 中垂线OC 上，且30PAB ∠=︒.。