北京市考研数学复习资料实分析重要定理总结

北京市考研数学复习资料实分析重要定理总
结
实分析是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

对于准备
参加北京市考研数学专业的同学们来说，熟练掌握实分析中的重要定
理是非常关键的。

本文将对实分析中的重要定理进行总结，帮助同学
们在复习过程中更好地理解和掌握知识。

一、数列极限
1. 常数数列收敛性定理：若数列 {an} 中的所有元素都等于常数 a，
则该数列收敛于 a。

2. 夹逼定理：若数列 {an}、{bn} 和 {cn} 满足an ≤ bn ≤ cn，且
lim(an) = lim(cn) = a，那么数列 {bn} 也收敛于 a。

3. 单调有界数列存在极限定理：如果数列{an} 既是递增有上界的，又是递减有下界的，那么该数列必定存在极限。

二、函数极限
1. 函数极限的定义：若存在常数 a，对于任意ε > 0，存在常数δ > 0，使得当 0 < |x - x0| < δ 时，就有 |f(x) - a| < ε，那么称函数 f(x) 在 x0 处极限为 a。

2. 函数极限的性质：
(1) 唯一性：如果一个函数在某点的极限存在，那么该极限是唯一的。

(2) 局部有界性：如果一个函数在某点的极限存在，那么该函数在
该点的一个邻域内是有界的。

三、连续函数
1. 函数连续的定义：若函数 f(x) 在点 x0 处的极限等于 f(x0)，那么
称函数 f(x) 在点 x0 处连续。

2. 连续函数的性质：
(1) 函数极限与函数连续的关系：函数在某点连续时必定在该点存
在极限，但函数在某点存在极限未必连续。

(2) 区间上的连续性：如果一个函数在某个区间内的每个点都连续，那么称该函数在该区间上连续。

四、导数与微分
1. 函数导数的定义：对于函数 y = f(x)，如果存在极限 lim(h→0)
[f(x0 + h) - f(x0)]/h，那么称该极限为函数 f(x) 在点 x0 的导数，记作
f'(x0) 或 dy/dx|_x=x0。

2. 导数的性质：
(1) 导数的性质1：常数函数的导数等于0。

(2) 导数的性质2：导数的乘积法则、导数的和差法则等。

3. 微分的定义：对于函数 y = f(x)，如果在点 x0 处存在常数 A，使
得Δy = f'(x0) Δx + A Δx + o(Δx)，则称Δy 为函数 f(x) 在点 x0 处的微分，记作 dy = f'(x0) dx。

五、不定积分与定积分
1. 不定积分的定义：对于函数 f(x)，如果存在函数 F(x)，使得 F'(x)
= f(x)，那么称 F(x) 为函数 f(x) 的一个原函数，记作∫f(x) dx。

2. 不定积分的基本性质：
(1) 基本积分表：可以通过查表法求出一些基本函数的不定积分。

(2) 常数法则：∫c f(x) dx = c ∫f(x) dx，其中 c 为常数。

3. 定积分的定义：对于函数 f(x)，如果存在常数 C，使得lim(N→∞) Σ(f(xi)Δx) = C，其中Δx = (b - a)/N，xi 是取在区间 [a, b] 上每个划分点
的一点，那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分，记作
∫_a^bf(x) dx。

4. 定积分的性质：
(1) 定积分的性质1：∫_a^b[f(x) + g(x)] dx =
∫_a^bf(x) dx + ∫_a^bg(x) dx。

(2) 定积分的性质2：∫_a^bc f(x) dx = c
∫_a^bf(x) dx，其中 c 为常数。

总结：
本文对实分析中的重要定理进行了总结，涵盖了数列极限、函数极限、连续函数、导数与微分以及不定积分与定积分等内容。

这些定理
在数学中具有重要的地位，对于考研复习来说是必须要掌握的知识点。

同学们在复习过程中可结合教材和习题进行深入理解和练习，提升对实分析的理解和应用能力，为考试取得好成绩打下坚实的基础。