1995考研数学一真题及答案解析

1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2sin 0
lim(13)
x
x x →+=______________.
(2) 20
2cos x
d x t dt dx =⎰______________. (3) 设()2a b c ⨯⋅=,则[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+=______________.
(4) 幂级数
2112(3)
n n n
n n
x ∞
-=+-∑的收敛半径R =______________. (5) 设三阶方阵A 、B 满足关系式：1
6A BA A BA -=+,且100310
04100
7A ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
,则B = ______________.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设有直线3210,
:21030x y z L x y z +++=⎧⎨
--+=⎩
及平面:4230x y z ∏-+-=,则直线L ( )
(A) 平行于∏ (B) 在∏上 (C) 垂直于∏ (D) 与∏斜交 (2) 设在[0,1]上()0f x ''>,则(0)f '、(1)f '、(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是
( )
(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->
(C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>-> (3) 设()f x 可导,()()(1|sin |)F x f x x =+,则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件
(C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (4)
设(1)ln 1n n u ⎛=- ⎝,则级数 ( ) (A)
1
n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都收敛 (B)
1
n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都发散
(C)
1
n
n u
∞
=∑收敛而
21
n
n u
∞
=∑发散 (D)
1
n
n u
∞
=∑发散而
21
n
n u
∞
=∑收敛
(5) 设11121321
222331
32
33a a a A a a a a a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,21
2223
11
121331113212
3313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭,10101
00001P ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
, 2100010101P ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,则必有 ( )
(A) 12APP B = (B) 21AP P B =
(C) 12PP A B = (D) 21P P A B =
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1) 设2
(,,),(,,)0,sin y
u f x y z x e z y x ϕ===,其中f 、ϕ都具有一阶连续偏导数,且
0z ϕ∂≠∂,求du dx
. (2) 设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设
1
()f x dx A =⎰
,求 11
()()x
dx f x f y dy ⎰⎰.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1) 计算曲面积分
zdS ∑
⎰⎰,其中∑
为锥面z =
在柱体222x y x +≤内的部分.
(2) 将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.
五、(本题满分7分)
设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记
为A .已知MA OA =,且L 过点33,22⎛⎫
⎪⎝⎭
,求L 的方程.
六、(本题满分8分)
设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)L
xydx Q x y dy +⎰与
路径无关,并且对任意t 恒有
(,1)
(1,)
(0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰
⎰
,
求(,)Q x y .
七、(本题满分8分)
假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶倒数,并且
()0g x ''≠,()()()()f a f b g a g b ===,试证：
(1) 在开区间(,)a b 内()0g x ≠； (2) 在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使()()
()()
f f
g g ξξξξ''=''.
八、(本题满分7分)
设三阶实对称矩阵A 的特征值为11λ=-,231λλ==,对应于1λ的特征向量为
1(0,1,1)T ξ=,求A .
九、(本题满分6分)
设A 是n 阶矩阵,满足T AA E =(E 是n 阶单位阵,T A 是A 的转置矩阵),0A <,求
A E +.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1) 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2
X 的数
学期望2
()E X =___________. (2) 设X 和Y 为两个随机变量,且
{}30,07P X Y ≥≥=
, 4(0)(0)7
P X P Y ≥=≥=, 则{}max(,)0P X Y ≥=___________.
十一、(本题满分6分)
设随机变量X 的概率密度为, 0,()0, 0,
x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩求随机变量X
Y e =的概率密度
()Y f y .
1995年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】6
e
【解析】这是1∞型未定式求极限,
2123sin 3sin 0
lim(13)
lim(13)
x x
x x
x x x x ⋅⋅→→+=+,
令3x t =,则当0x →时,0t →,所以
1
130
lim(13)
lim(1)x
t
x t x t e →→+=+=,
故 00266lim
6lim
6sin sin sin sin 0
lim(13)
lim x x x x x x
x
x x
x x x e
e
e
e →→→→+====.
(2)【答案】
2
224cos 2cos x
t dt x x -⎰
【解析】
()
220022
cos cos x x d d x t dt x t dt dx dx
=⎰⎰ ()()20
2
22
cos cos 2x t dt x x x =-⋅⎰
2
224cos 2cos x
t dt x x =
-⎰
.
【相关知识点】积分上限函数的求导公式：
()()()
()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dx
βαββαα''=-⎰. (3)【答案】4
【解析】利用向量运算律有
[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+r r r r r r
[()]()[()]()a b b c a a b c c a =+⨯⋅+++⨯⋅+r r r r r r r r r r
()()()()a b b b c a a c b c c a =⨯+⨯⋅++⨯+⨯⋅+r r r r r r r r r r r r
(其中0b b ⨯=r r ) ()()()()a b c a b a a c c b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅r r r r r r r r r r r r ()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅r r r r r r ()()4a b c a b c =⨯⋅+⨯⋅=r r r r r r
.
(4)
【解析】令21
2(3)
n n n n
n a x -=
+-,则当n →∞时,有 2(1)1
11121
221111
2(3)lim
lim 2(3)
23(1)311lim ,323(1)3n n n n n n n n
n n n
n n n n n n n x a a n
x n x x n +-+++→∞
→∞-+→∞++++-=+-⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⋅⋅=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
而当
2113x <时,幂级数收敛,
即||x <,此幂级数收敛,当21
13
x >时,
即||x >时,此幂级数发散,
因此收敛半径为R =
(5)【答案】300020001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
【解析】在已知等式1
6A BA A BA -=+两边右乘以1A -,得1
6A B E B -=+,即
1()6A E B E --=.
因为 1
300040007A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,所以
116()6B A E --=-=1
200030006-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=300020001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(C)
【解析】这是讨论直线L 的方向向量与平面∏的法向量的相互关系问题.
直线L 的方向向量
132281477(42)2110i j
k l i j k i j k ⎛⎫ ⎪==-+-=--+ ⎪ ⎪--⎝⎭
, 平面∏的法向量42n i j k =-+,l n P ,L ⊥∏.应选(C).
(2)【答案】(B)
【解析】由()0f x ''>可知()f x '在区间[0,1]上为严格单调递增函数,故
(1)()(0),(01)f f x f x '''>> <<
由微分中值定理,(1)(0)(),(01)f f f ξξ'-=<<.所以
(1)(1)(0)()(0)f f f f f ξ'''>-=>,(01)ξ<<
故应选择(B). (3)【答案】(A) 【解析】由于利用观察法和排除法都很难对本题作出选择,必须分别验证充分条件和必要条件.
充分性:因为(0)0f =,所以
0000()(1sin )()(0)()()(0)
lim lim lim lim (0)x x x x f x x F x F f x f x f f x x x x
→→→→+--'====, 由此可得 ()F x 在0x =处可导.
必要性:设()F x 在0x =处可导,则()sin f x x ⋅在0x =处可导,由可导的充要条件知
00()sin ()sin lim lim x x f x x f x x
x x
-+→→⋅⋅=. ①
根据重要极限0sin lim
1x x
x
→=,可得
0sin sin lim lim 1x x x x x x -
-→→=-=-,
00sin sin lim lim 1x x x x
x x
++→→==, ② 结合①,②,我们有(0)(0)f f =-,故(0)0f =.应选(A). (4)【答案】(C) 【解析】这是讨论
1
n
n u
∞
=∑与
2
1
n
n u
∞
=∑敛散性的问题
.
11(1)ln 1n
n n n u ∞∞
==⎛=- ⎝
∑∑是交错级数,
显然ln(1+单调下降趋于零,由莱布尼兹判别法知,该级数收敛.
正项级数2
211ln 1n n n u ∞∞
==⎛=+ ⎝
∑∑中
,2
221ln 1~n u n ⎛=+= ⎝.
根据正项级数的比较判别法以及11n n ∞
=∑发散,2
1
n n u ∞
=⇒∑发散.因此,应选(C).
【相关知识点】正项级数的比较判别法：
设
1
n n u ∞=∑和1
n n v ∞
=∑都是正项级数,且lim
,n
n n
v A u →∞=则
⑴ 当0A <<+∞时,
1n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑同时收敛或同时发散；
⑵ 当0A =时,若
1
n
n u
∞
=∑收敛,则
1
n
n v
∞
=∑收敛；若
1
n
n v
∞
=∑发散,则
1
n
n u
∞
=∑发散；
⑶ 当A =+∞时,若1
n
n v
∞
=∑收敛,则
1
n
n u
∞
=∑收敛；若
1
n
n u
∞
=∑发散,则
1
n
n v
∞
=∑发散.
(5)【答案】(C)
【解析】1P 是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵,2P 是将单位矩阵的第一行加到第三行所得初等矩阵；
而B 是由A 先将第一行加到第三行,然后再交换第一、二行两次初等交换得到的,因此
12PP A B =,故应选(C).
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1)【解析】这实质上已经变成了由方程式确定的隐函数的求导与带抽象函数记号的复合函数求导相结合的问题.
先由方程式2
(,,)0y
x e z ϕ=,其中sin y x =确定()z z x =,并求dz dx
. 将方程两边对x 求导得
12
32cos 0y dz
x e x dx
ϕϕϕ'''⋅+⋅+⋅=, 解得
()12
3
1
2cos y dz x e x dx ϕϕϕ''=-⋅+⋅'. ① 现再将(,,)u f x y z =对x 求导,其中sin y x =,()z z x =, 可得
123cos du dz
f f x f dx dx
'''=+⋅+⋅. 将①式代入得
()213
32
1cos 1
2cos y du f f x f dx x e x ϕϕϕ'''=+⋅-⋅''⋅+⋅'. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ϕψ==都在点(,)x y 具
有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数
((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有
12z z u z v u v f f x u x v x x x
∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂； 12z z u z v u v f f y u y v y y y
∂∂∂∂∂∂∂''=+=+∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：用重积分的方法.
将累次积分1
1
()()x
I dx f x f y dy =
⎰
⎰表成二重积分
()()D
I f x f y dxdy =⎰⎰,
其中D 如右图所示.交换积分次序
10
()()y
I dy f x f y dx =⎰⎰.
由于定积分与积分变量无关,改写成
10
()()x
I dx f y f x dy =⎰⎰.
⇒ 1110002()()()()x
x I dx f x f y dy dx f x f y dy =+⎰⎰⎰⎰
1
1
1
1
20
()()()().dx f x f y dy f x dx f y dy A ===⎰⎰⎰⎰
⇒ 212
I A =
. 方法二：用分部积分法.
注意()1
()()x
d
f y dy f x dx
=-⎰,将累次积分I 写成
()()()1
1
111
1
21
2
()()()()11().
22
x
x
x
x x
x I f x f y dy dx f y dyd f y dy f y dy A ====-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.) (1)【解析】将曲面积分I 化为二重积分(,)xy
D I f x y dxdy =
⎰⎰.
首先确定被积函数
(,)f x y ==
对锥面z =而言
==.
其次确定积分区域即∑在xOy 平面的投影区域xy D (见右图),按题意：
22:2xy D x y x +≤,即22(1)1x y -+≤
.
xy
D I =.
作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,则
:02cos ,2
2
xy D r π
π
θθ≤≤-
≤≤
,
因此
2cos 2cos 3
220
00
2
1
3I d r rdr r d θ
π
π
θ
πθθ-=
⋅==
⎰
. (2)【解析】这就是将()f x 作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得()f x 的傅氏系数：
0(1,2,3,)n b n ==L
20022002
22220222()cos 2(1)cos 2
22(1)sin sin 22
4
4cos ((1)1)28,21,(21)1,2,3,0,2,l n n n x n a f x dx l x xdx
l l n n x d x xdx n n n x n n n k k k n k ππ
ππππππππ==-=-=-==---⎧
=-⎪
-==⎨⎪=⎩
⎰⎰⎰⎰L
2
2220000
21
()(1)(1)022a f x dx x dx x ==-=-=⎰⎰.
由于(延拓后)()f x 在[2,2]-分段单调、连续且(1)1f -=.于是()f x 有展开式
22
18
1(21)()cos ,[0,2](21)2n n f x x x n π
π∞
=-=-
∈-∑.
五、(本题满分7分)
【解析】设点M 的坐标为(,)x y ,则M 处的切线方程为 ()Y y y X x '-=-.
令0X =,得Y y xy '=-,切线与y 轴的交点为(0,)A y xy '-.由MA OA =,有
y xy '=-.
化简后得伯努利方程 212,yy y x x '-
=- ()221
y y x x
'-=-. 令2
z y =,方程化为一阶线性方程 ()1z z x x
'-=-.
解得 ()z x c x =-,即 2
2
y cx x =-,亦即
y =又由3322
y ⎛⎫⎪⎭=
⎝,得3c =,L 的方程为
3)y x =<<.
六、(本题满分8分) 【解析】在平面上
L
Pdx Qdy +⎰
与路径无关(其中,P Q 有连续偏导数),
⇔
P Q y x ∂∂=∂∂,即 2Q x x
∂=∂. 对x 积分得 2
(,)()Q x y x y ϕ=+,其中()y ϕ待定.代入另一等式得对t ∀,
()()(,1)
(1,)
(0,0)
2
(0)
2,0()()22t t xydx dy xydx d x y y x y ϕϕ+=+++⎰
⎰
. ①
下面由此等式求()y ϕ.
方法一：易求得原函数
()()()0
222
2
2()()2(()()).
y
y
xydx dy ydx dy
d x y d
d x y x s d x dy y s s y ds ϕϕϕϕ+=+=+=+++⎰⎰
于是由①式得 (
)
(
)
(,1)(1,)
2
2
(0,0)
(0,0)
()()t t y
y
x y ds
x y d s s s
ϕϕ+
=+⎰
⎰.
即 1
2
()()t
t ds t ds s s ϕϕ+
=+⎰
⎰,亦即 21
()t
s t t ds ϕ=+⎰.
求导得 )2(1t t ϕ=+,即 ()21t t ϕ=-. 因此 2
(,)21Q x y x y =+-.
方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.
于是得 ()()120
0()1()t t dy dy y y ϕϕ+=+⎰⎰. 即 1200()()t t dy t dy y y ϕϕ+=+⎰⎰,亦即 2
1()t
y t t dy ϕ=+⎰. 其余与方法一相同.
七、(本题满分8分)
【解析】(1)反证法.假设(,)c a b ∃∈,使()0g c =.则由罗尔定理,1(,)a c ξ∃∈与2(,),c b ξ∈ 使12()()0g g ξξ''==；从而由罗尔定理, 12(,)(,)a b ξξξ∃∈⊂,()0g ξ''=.这与 ()0g x ''≠矛盾.
(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？” 这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证()()()()f x g x f x g x ''''-在(,)a b 存在零点.
方法一：注意到 ()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x '''''''-=-,
考察()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,令
()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,
()x ϕ⇒在[,]a b 可导,()()0a b ϕϕ==.由罗尔定理,(,)a b ξ∃∈,使()0ϕξ'=.即有
()()()()0f g f g ξξξξ''''-=,亦即 ()()()()
f f
g g ξξξξ''=''. 方法二：若不能像前面那样观察到()()()()f x g x f x g x ''''-的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：
[]()()()()(?)()()()()?f x g x f x g x f x g x f x g x dx '''''''''-=⇔-=⎰.
[]()()()()()()()()f x g x f x g x dx f x dg x g x df x ''''''-=-⎰⎰⎰
()()()()()()()()f x g x g x f x dx f x g x f x g x dx ⎡⎤⎡⎤''''''=---⎣⎦⎣⎦
⎰⎰ ()()()()f x g x f x g x ''=-(取0C =).
令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-,其余与方法一相同.
八、(本题满分7分)
【解析】设对应于231λλ==的特征向量为123(,,)T x x x ξ=,因为A 为实对称矩阵,且实对
称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故10T ξξ=,即230x x +=.
解之得 23(1,0,0),(0,1,1)T T ξξ==-.
于是有 123112233(,,)(,,)A ξξξλξλξλξ=,
所以 1
112233123(,,)(,,)A λξλξλξξξξ-= 1
010010100101101001101101010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
九、(本题满分6分)
【解析】方法一：根据T AA E =有 |||||()|||||||||T T A E A AA A E A A E A A A E +=+=+=+=+,
移项得 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.
方法二：因为()T T T T A E A AA A E A E A +=+=+=+,
所以 A E A E A +=+,
即 (1||)||0A A E -+=. 因为0A <,故1||0A ->.所以||0A E +=.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以X 服从10,0.4n p ==的二项分布.
由二项分布的数学期望和方差计算公式,有
()4,()(1) 2.4E X np D X np p ===-=,
根据方差性质有 22
()()[()]18.4E X D X E X =+=.
(2)【解析】令{0},{0}A X B Y =<=<,则
{max(,)0}1{max(,)0}1{0,0}P X Y P X Y P X Y ≥=-<=-<<.
由概率的广义加法公式 ()()()()P A B P A P B P AB =+-U ,有
{max(,)0}1[1()]()()()()P X Y P AB P A B P A p B P AB ≥=--=+=+-
4435.7777
=
+-=
十一、(本题满分6分) 【解析】方法1：用分布函数法先求Y 的分布函数()Y F y .
当1y ≤时, ()0;Y F y =
当1y >时, (){}()X Y F y P Y y P e y =≤=≤{}ln P X y =≤
ln ln 0011,y
y x x e dx e y
--==-=-⎰ 所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得
2
1, 1,()()0, 1.Y Y y y f y F y y ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩
或者直接将ln 0y
x e dx -⎰对y 求导数得ln ln 2011.y x y d e dx e dy y y
--==⎰ 方法2：用单调函数公式直接求Y 的概率密度.
由于x
y e =在()0,+∞内单调,其反函数()ln x h y y ==在()1,+∞内可导且其导数为 10y x y
'=≠,则所求概率密度函数为 ()()()()ln 1,1,,1,0, 1.0, 1.y X Y e y h y f h y y y f y y y -⎧⎧'⋅>⋅>⎪⎪==⎨⎨≤⎪⎪⎩≤⎩21, 1,0, 1.
y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则
[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.。