高三物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力测试卷

曲线运动万有引力
一、选择题(48分)
其中1－7题只有一个选项正确，8－12题有多个选项正确．
1．(原创题)2014年8月16日下午，11岁的王克骑着自己的摩托车在北京万事达中心完成了第一次试车，从3米高的跳台冲坡而起，如图所示，这是他第一次有机会出现在国际摩托车大赛中．假设王克冲坡而起时与水平方向间的夹角为45°，在此水平方向上的空中跨度为23 m，假如将王克看成质点，忽略空气阻力，g取10 m/s2，那么他冲坡时的速度为( )
A.230 m/s
B.57.5 m/s
C．20 2 m/s D.960 m/s
解析斜上抛运动从最高点至最低点过程可以看做平抛运动，冲坡时的速度v与水平方向间夹角为45°，斜向上，根据对称性可知“平抛”的末速度v与水平方向间的夹角为45°，斜向下，此时的分速度v x＝v y，v＝2v y；假设“平抛”过程的时间为t，v x＝
11.5
t
m/s，v y ＝gt，解出t后再表达出v y，解得v＝230 m/s，选项A正确．
答案 A
设置目的考查斜上抛运动的后一半时间为平抛运动，练习平抛运动的初速度的求解2．(2015·浙江温州期中)山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动．如图所示，一滑雪坡由斜面AB和圆弧面BC组成，BC圆弧面和斜面相切于B，与水平面
相切于C，竖直台阶CD底端与倾角为θ的斜坡DE相连．第一
次运动员从A点由静止滑下通过C然后飞落到DE上，第二次从
AB间的A′点(图中未标，即AB>A′B)由静止滑下通过C点后也
飞落到DE上，运动员两次与斜坡DE接触时速度与水平方向的
夹角分别为φ1和φ2，不计空气阻力和滑道的摩擦力，则( )
A．φ1>φ2 B．φ1<φ2
C．φ1＝φ2 D．无法确定两角的大小关系
解析根据平抛运动规律，则tanα＝
1
2
gt2
v0t
＝
gt
2v0
、tanφ＝
gt
v0
，由以上可知tanφ＝2tanα.从C点水平飞出后落在DE之间的某点F，设F点到C点竖直高度为y，水平距离为x，则tan
θ＝y －h 2x ，则tan α＝tan θ＋h 2x ，则tan φ＝2tan α＝2h 2
x ＋2tan θ.根据题意知v 1>v 2，由
平抛运动规律可知x 1>x 2，则根据上式可知φ1<φ2，即答案为B 项． 答案 B
设置目的 考查平抛运动规律
3．(2015·山东)如图，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使
其与月球同周期绕地球运动．以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( ) A ．a 2>a 3>a 1 B ．a 2>a 1>a 3 C ．a 3>a 1>a 2
D ．a 3>a 2>a 1
解析 因空间站建在拉格朗日点，故周期等于月球的周期，根据a ＝4π
2
T 2r 可知，a 2>a 1；对
空间站和地球的同步卫星而言，因同步卫星周期小于月球的周期，则同步卫星的轨道半径较小，根据a ＝GM
r 2可知a 3>a 2，故选项D 正确．
答案 D
4．(2015·上海六校联考)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M ，长杆的一端放在地面上通过铰链连接形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O 点处，在杆的中点C 处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M ，C 点与O 点距离为L ，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平(转过了90°角)．下列有关此过程的说法中正确的是( )
A ．重物M 做匀速直线运动
B ．重物M 做变速直线运动
C ．重物M 的最大速度是2ωL
D ．重物M 的速度先减小后增大
解析 由题意知，杆做匀速圆周运动，取C 点线速度方向与绳子沿线的夹角为任意角度θ时，可知C 点的线速度为ωL，把C 点的线速度正交分解，在绳子方向上的分速度就为ωL cos θ，θ由90°然后逐渐变小，所以，ωLcos θ逐渐变大，直至绳子和杆垂直，θ变为零度，绳子的速度最大为ωL；然后，θ又逐渐增大，ωLcos θ逐渐变小，绳子的速度变慢．所以知重物的速度先增大后减小，最大速度为ωL，故B 项正确；选项A 、C 、D 错误． 答案 B
设置目的 考查合运动与分运动的判断与计算
5．(2015·浙江慈溪中学月考)某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A 、B ，A 盘固定一个信号发射装置P ，能持续沿半径向外发射红外线，P 到圆心的距离为28 cm.B 盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q ，Q 到圆心的距离为16 cm.P 、Q 转动的线速度相同，都是4π m/s.当P 、Q 正对时，P 发出的红外线恰好进入Q 的接收窗口，如图所示，则Q 每隔一定时间就能接收到红外线信号，这个时间的最小值应为( )
A ．0.56 s
B ．0.28 s
C ．0.16 s
D ．0.07 s
解析 由v ＝2πr T 可求得P 转动的周期T P ＝0.14 s ，Q 转动的周期T Q ＝0.08 s ，又因间隔的
这段时间的最小值必须是P 、Q 转动周期的最小公倍数，可解得t min ＝0.56 s ，故A 正确． 答案 A
设置目的 考查匀速圆周运动规律
6．(2015·衡水高三调研)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b 是近地轨道卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则( )
A ．a 的向心加速度等于重力加速度g
B ．在相同时间内b 转过的弧长最长
C ．c 在4小时内转过的圆心角是π
6
D ．d 的运动周期有可能是20小时
解析 A 项，地球同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，则知a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2
r 知，c 的向心加速度大，由G Mm r 2＝ma ，得：a ＝GM r 2，可知卫星的轨道半径越大，
向心加速度越小，则地球同步卫星c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，故a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 项错误；B 项，由G Mm r 2＝m v
2
r
，得：v ＝
GM
r
，则知卫星的轨道半径越大，线速度越小，所以b 的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B 项正确；C 项，c 是地球同步卫星，周期是24 h ，则c 在4 h 内转过的圆心角是
4 h
24 h
×2π＝π3，故C 项错误；D 项，由开普勒第三定律R
3
T 2＝k 知，卫星的轨道半径越大，周期越
大，所以d 的运动周期大于c 的周期24 h ，故D 项错误． 答案 B
命题立意 本题旨在考查人造卫星的加速度、周期和轨道的关系、万有引力定律及其应用 7．(2015·肇庆三测)“轨道康复者”是“垃圾”卫星的救星，被称为“太空110”，它可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命．假设“轨道康复者”的轨道半经为地球同步卫星轨道半径的五分之一，其运动方向与地球自转方向一致，轨道平面与地球赤道平面重合，下列说法正确的是( )
A ．“轨道康复者”可在高轨道上加速，以实现对低轨道上卫星的拯救
B ．站在赤道上的人观察到“轨道康复者”向西运动
C ．“轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的5倍
D ．“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的25倍
解析 “轨道康复者”要在原轨道上加速，使得万有引力不足以提供向心力，而做离心运动，会到达更高的轨道，不可能“拯救”更低轨道上的卫星，A 项错误；角速度ω＝
GM
R
3，“轨道康复者”角速度大于同步卫星角速度，即大于地球自转角速度，所以站在赤道上的人用仪器观察到“轨道康复者”向东运动，B 项错误；因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，由GMm R 2＝m v
2
R
，v ＝
GM
R
得：“轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的5倍．选项C 项错误．万有引力即卫星合力，根据牛顿第二定律有GMm R 2＝ma ，即a ＝GM
R 2，根据“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径
为地球同步卫星轨道半径的五分之一，可得“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的25倍，D 项正确． 答案 D
命题立意 本题旨在考查万有引力与航天知识
8．(2015·北京重点中学第一次月考)随着人们生活水平的提高，打高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐项目之一．如图所示，某人从高出水平地面h 的坡上水平击出一个质量为m 的球，由于恒定的水平风力的作用，球竖直地落入距击球点水平距离为L 的A 穴．下列说法正确的是( )
A ．球被击出后做平抛运动
B ．球从被击出到落入A 穴所用的时间为 2h g
C ．球被击出时的初速度大小为L
2g h
D ．球被击出后受到的水平风力的大小为mgh
L
解析 由于水平方向受到空气阻力作用，则知球飞出后做的不是平抛运动，故A 项错误；球在竖直方向做自由落体运动，由h ＝12
gt 2
，得到t ＝
2h
g
，故B 项正确；由于球竖直地落入A 穴，且球受恒定水平风力作用，故球在水平方向做末速度为零的匀减速直线运动，根据运动学公式有L ＝v 0t －12at 2
，0＝v 0－at ，由牛顿第二定律有F ＝ma ，可解得v 0＝L
2g h ，F ＝mgL
h
，故C 项正确，D 项错误． 答案 BC
设置目的 考查曲线运动和牛顿第二定律
9.(2015·江西赣州联考)质量为m 的小球由轻绳a 和b 系于一轻质木架上的A 点和C 点，且L a <L b ，如图所示．当轻杆绕轴BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a 在竖直方向、绳b 在水平方向．当小球运动到图示位置时，绳b 被烧断的同时杆也停止转动，则( )
A ．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B ．在绳b 被烧断瞬间，a 绳中张力突然增大
C ．在绳b 被烧断瞬间，小球所受的合外力突然变小
D ．若角速度ω较大，小球可以在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动
解析 小球原来在水平面内做匀速圆周运动，绳b 被烧断后，小球在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动或做圆周运动，故A 项错误．绳b 被烧断前，小球在竖直方向没有位移，加速度为零，a 绳中张力等于重力，在绳b 被烧断瞬间，a 绳中张力与重力的合力提供小球的向心力，而此时向心力竖直向上，绳a 的张力将大于球的重力，即张力突然增大，故B 项正确．绳b 被烧断前，球所受合力F 前＝m v 2
L b ，绳被烧断瞬间，球所受合力F 后＝m v
2
L a ，则可知小球所受
合外力突然变大，故C 项错误．若角速度ω较大，小球原来的速度较大，小球可能在垂直于平面ABC 的竖直平面内做圆周运动，故D 项正确． 答案 BD
设置目的 考查圆周运动向心力的分析
10．(2015·湖南高中联考)如图所示，竖直面内有两个3/4圆形轨道固定在一水平地面上，
半径R 相同，左图轨道由金属凹槽制成，右图轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方将质量均为m 的金属小球A 和B 由静止释放，小球距离地面的高度分别用h A 和h B 表示，则下列说法正确的是( )
A ．适当调整h A 和h
B ，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处 B ．若h A ＝h B ＝2R ，则两小球在轨道最低点对轨道的压力为4mg
C ．若h A ＝h B ＝R ，则两小球都能上升到离地高度为R 的位置
D ．若使小球沿轨道运动并且能从最高点飞出，A 小球的最小高度为5R/2，B 小球在h B >2R 的任何高度均可
解析 左图中为绳模型，小球A 能从轨道最高点飞出的最小速度应满足mg ＝mv 2
R ，得v ＝gR ，
从最高点飞出后下落R 高度时，水平位移的最小值为：x A ＝gR ·
2R
g
＝2R ，小球A 落在轨道右端口外侧；而右图中适当调整h B ，B 球可以落在轨道右端口处，故A 项错误．若h A ＝h B ＝2R ，由机械能守恒定律可知，小球到达轨道最低点时的速度v ′＝2gR ，则由向心力公式可得：F ＝mg ＋mv ′
2
R ＝5mg ，故B 项错误．若h A ＝h B ＝R ，根据机械能守恒定律可知，两
小球都到达与O 点等高的位置时速度为零，即两小球都能上升到离地高度为R 的位置，故C 项正确．因A 球到达轨道最高点的最小速度为gR ，由机械能守恒定律有mg(h A －2R)＝m v
2
R ，
得A 球下落的最小高度为5
2R ；因右图为管轨道，则可知B 小球下落的最小高度大于2R 即可，
故D 项正确． 答案 CD
设置目的 竖直面内圆周运动的临界条件和机械能守恒定律的应用
11．(2015·聊城二模)探月工程三期飞行试验器于2014年10月24日2时在中国西昌卫星发射中心发射升空，最终进入距月球表面高为h 的圆形工作轨道．设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A ．飞行试验器在工作轨道上的加速度为(R R ＋h )2
g
B ．飞行试验器绕月球运行的周期为2π
R g
C ．飞行试验器在工作轨道上的绕行速度为g （R ＋h ）
D ．月球的平均密度为3g
4πGR
解析 A 项，月球表面万有引力等于重力，则：G Mm
R 2＝mg ，在高为h 的圆形工作轨道，有：
G
Mm （R ＋h ）2＝mg ′，得：g ′＝(
R R ＋h
)2
g ，故A 项正确；B 、C 项，根据万有引力提供向心力，即：G Mm r 2＝m v 2
r ＝m 4π
2
T
2r ，解得：v ＝
GM
r ，T ＝2πr
3
GM
，飞行试验器的轨道半径为r ＝R ＋h ，结合黄金代换公式：GM ＝gR 2
，代入线速度和周期公式得：v ＝
R 2
g
R ＋h
，T ＝2π（R ＋h ）
3
gR
2
，故B 、C 项错误；D 项，由黄金代换公式得中心天体的质量：M ＝gR 2G ，月球的体积：V ＝43πR 3
，
则月球的密度：ρ＝M V ＝3g
4πGR ，故D 项正确．故选A 、D 项．
答案 AD
命题立意 本题旨在考查万有引力定律及其应用
12．(2016·山东诸城)2011年9月29日，中国首个空间实验室“天宫一号”在酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，B 点距离地面高度为h ，地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天宫一号”飞行几周后进行变轨，
进入预定圆轨道，如图所示．已知“天宫一号”在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，万有引力常量为G ，地球半径为R ，则下列说法正确的是( )
A ．“天宫一号”在椭圆轨道的
B 点的向心加速度大于在预定圆轨道的B 点的向心加速度 B ．“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中，机械能守恒
C ．“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中，动能先减小后增大
D ．由题中给出的信息可以计算出地球的质量M ＝（R ＋h ）3
4π2n 2
Gt
2
解析 在B 点，由GMm
r 2＝ma 知，无论在哪个轨道上的B 点，其向心加速度相同，A 项错误；
“天宫一号”在椭圆轨道上运行时，其机械能守恒，B 项正确；“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中，动能一直减小，C 项错误；对“天宫一号”在预定圆轨道上运行，有G Mm （R ＋h ）2＝m 4π2
T 2(R ＋h)，而T ＝t n ，故M ＝（R ＋h ）3
4π2n
2
Gt 2
，D 项正确． 答案 BD
设置目的 考查卫星变轨中向心加速度、机械能、速度大小的变化
二、实验题(20分)
13．(8分)某研究性学习小组进行如下实验：如图所示，在一端封
闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.
将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐
标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做
初速度为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为(4，
6)，此时R的速度大小为________cm/s.R在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R 视为质点)
解析红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如D 图所示，因为竖直方向匀速，由y＝6 cm＝v0t，知t＝2 s，水平方向x＝(v x/2)·t＝4 cm，所以v x＝4 cm/s，因此此时R的速度大小v＝v02＋v x2＝5 cm/s.
答案 5 D
设置目的考查运动的合成与分解，物体的运动轨迹取决于初速度和合外力
14．(12分)(2015·吉林长春)(12分)如图所示为一小球做平抛运动的闪光照片的一部分，图中背景方格的边长均为5 cm，g＝10 m/s2，那么：
(1)闪光频率为________Hz；
(2)小球运动的初速度的大小是________m/s；
(3)小球经过B点时的速度大小为________m/s.
解析物体竖直方向做自由落体运动，无论A是不是抛出点，Δs⊥＝aT2均成立(式中Δs⊥为相邻两闪光点竖直距离之差，T为相邻两闪光点的时间间隔)．水平方向有s∥＝v0T(s∥即相邻两点的水平间隔)．
由v 0＝s ∥
T 和T ＝
Δs ⊥
a
，可得v 0＝2gL ，代入数值，得v 0＝1.4 m/s T ＝
Δs ⊥
a
＝L g ＝116 s ，故闪光频率f ＝1
T
＝16 Hz. 在B 点时的竖直分速度v ′B ＝A 、C 竖直间隔2T ＝7L
2T ＝2.8 m/s ，过B 点时水平分速度v ″B ＝v 0，
故v B ＝v ′B 2
＋v″B 2
＝3.1 m/s. 答案 (1)16 (2)1.4 (3)3.1
设置目的 考查平抛运动的初速度的求解、任一点速度的求解，利用合运动与分运动的时间关系
三、计算题(32分)
15．(16分)(2016·河北石家庄)“嫦娥一号”探月卫星在空中运动的简化示意图如图所示．卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道．已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行半径分别为R 和R 1，地球半径为r ，月球半径为r 1，地球表面重力加速度为g ，月球表面重力加速度为g
6.求：
(1)卫星在停泊轨道上运行的线速度； (2)卫星在工作轨道上运行的周期．
解析 (1)卫星在停泊轨道上运行的线速度v ，根据万有引力提供向心力，得 GMm R 2＝m v
2
R
，得v ＝GM
R
忽略地球自转，有GMm 0r 2＝m 0g ，得GM ＝gr 2
，代入得
v ＝r
g R
(2)卫星在工作轨道上运行，根据万有引力提供向心力，得 GM ′m R 12＝m·4π2
R 1
T 2
T ＝2π
R 1
3GM ′
忽略月球自转，有GM ′m 0r 12
＝16m 0g ，得GM ′＝g 6r 12，代入周期表达式，得T ＝2πR 1
r 16R 1
g
答案 (1)r
g R (2)2πR 1
r 1
6R 1
g
设置目的 考查卫星圆周运动的向心力的来源
16．(16分)(2015·江西赣州联考)如图所示，在竖直平面内有一条圆弧形轨道AB ，其半径为R ＝1 m ，B 点的切线方向恰好为水平方向．一个质量为m ＝1 kg 的小物体，从轨道顶端A 点由静止开始沿轨道下滑，到达轨道末端B 点时对轨道的压力为26 N ，然后做平抛运动，落到地面上的C 点，若BC 所连直线与水平方向夹角为θ，且tan θ＝1.25(不计空气阻力，g ＝10 m/s 2
)，求： (1)物体在AB 轨道上运动时阻力做的功；
(2)物体从B 点开始到与BC 直线相距最远所用的时间．
解析 (1)设小物体在B 点对轨道的压力为N ，则轨道对小物体的支持力为N ′，由牛顿第三定律知N ′＝N ＝26 N.
由牛顿第二定律有N ′－mg ＝m v 2
R
解得：v ＝4 m/s ；
设小物体在AB 轨道上克服阻力做功为W ，对于从A 至B 过程，根据动能定理得： mgR －W ＝12
mv 2
－0
代入数据解得：W ＝1×10×1 J －0.5×1×16 J ＝2 J
(2)物体做平抛运动过程中，水平方向速度不变，当合速度方向与BC 平行时，小物体距离BC 最远；
此时：v y ＝vtan θ＝4×1.25 m/s ＝5 m/s 又由v y ＝gt 可得：t ＝1
2 s ＝0.5 s
答案 (1)2 J (2)0.5 s
设置目的 考查平抛，圆周运动规律和机械能守恒定律的应用。