高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》技巧及练习题附答案

【高中数学】高考数学《空间向量与立体几何》解析
一、选择题
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．643π
B ．8316ππ+
C ．28π
D ．8216ππ+ 【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l πππππ=⋅+⋅=⋅+
⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和
内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A ．8(6623)+
B ．6(8823)+
C ．8(632)+
D ．6(8832)+
【答案】A
【解析】
【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.
【详解】 由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为22，则该几何体的表面积为
2116(222)42282322S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(623)=+. 故选：A.
【点睛】
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
3．已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点，则异面直线1C M 与BN 所成角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解
【详解】
如图：
作AN 的中点'N ，连接'N M ，1'C N 由题设可知'N M BN P ，则异面直线1C M 与BN 所成角为1'N MC ∠或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，'5N M =，16C M =，1'41C N =2
1122''N M M C N C =+，即1'90N MC ∠=︒ 故选D
【点睛】
本题考查异面直线的求法，属于基础题
4．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
【答案】D
【解析】
【分析】
A 由线面平行的性质定理判断.
B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.
C 根据线面垂直的定义判断.
D 根据线面垂直的判定定理判断.
【详解】
A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
5．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
【答案】C
【解析】
【分析】 根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2112141222
S ππ=⨯+
⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C. 【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
6．已知平面α⊥平面β，l αβ=I ，a α⊂，b β⊂，则“a l ⊥”是“a b ⊥r r
”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】 根据面面垂直的性质定理，以及充要条件的判定方法，即可作出判定，得到答案.
【详解】
由题意知，平面α⊥平面β，,,l a b αβαβ⋂=⊂⊂，
当a l ⊥时，利用面面垂直的性质定理，可得a b ⊥r r
成立， 反之当a b ⊥r r 时，此时a 与l 不一定是垂直的，
所以a l ⊥是a b ⊥r r 的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查了充要条件的判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
7．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且22cos 3A =，1BC =，3AC =，三棱锥O ABC -的体积为
14，则球O 的表面积为( ) A ．36π
B ．16π
C ．12π
D ．163
π 【答案】B
【解析】
【分析】 根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC 是直角三角形，根据棱锥的体积求出O 到平面ABC 的距离，利用勾股定理计算球的半径OA ，得出球的面积．
【详解】
由余弦定理得22229122cos 263
AB AC BC AB A AB AC AB +-+-===g ，解得22AB =， 222AB BC AC ∴+=，即AB BC ⊥．
AC ∴为平面ABC 所在球截面的直径．
作OD ⊥平面ABC ，则D 为AC 的中点，
11114221332O ABC ABC V S OD OD -∆==⨯⨯⨯⨯=Q g ， 7OD ∴=． 222OA OD AD ∴=+=．
2416O S OA ππ∴=⋅=球．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断ABC ∆的形状是关键．
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．383+
B ．823+
C ．283
D ．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.
【详解】
几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为
311232+2328323
V =⨯⨯=+, 故选A.
【点睛】
本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.
9．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）.
A 10
B ．3:1
C ．2:1
D 102 【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥SC 的底面半径为r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.
【详解】
设圆锥SC 的底面半径为r ，则高为3r ，∴圆锥SC 的母线长22910l r r r =+=， ∴圆锥SC 的侧面积为210rl r ππ=；
圆柱OM 的底面半径为2r ，高为h ， 又圆锥的体积23133V r r r ππ=⋅=，234r h r ππ∴=，4
r h ∴=，
∴圆柱OM 的侧面积为2224rh rh r πππ⋅==，
∴圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为2210:10:1r r ππ=.
故选：A .
【点睛】
本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题. 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．64
B ．643
C ．16
D ．163
【答案】D
【解析】
根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积
12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433
V =⨯⨯=，故选D.
11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）
A ．305
B ．2305
C ．275
D ．475 【答案】B
【解析】
【分析】
在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.
【详解】
如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD
//DN BM Q ，1//DQ A M 且DN DQ D =I ，1BM A M M =I
∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）
又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值
此时，22512CP ==+ 221223025C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B
【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
12．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】 将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
13．若a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：①若a P α，
b β∥，a b ⊥r r ，则αβ⊥；②若a P α，b β∥，a b ∥，则αβ∥；③若a α⊥，
b β⊥，a b ∥，则αβ∥；④若a P α，b β⊥，a b ⊥r r ，则αβ∥．正确的个数为
（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】B
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析得解.
【详解】
命题①中α与β还有可能平行或相交；
命题②中α与β还有可能相交；
命题④中α与β还有可能相交；
∵a b P ，a α⊥，∴b α⊥，又b β⊥，∴αβP ．故命题③正确．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.
14．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（ ）
A．441斛B．431斛C．426斛D．412斛
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．由体积计算公式即可得出．
【详解】
解：由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．
∴体积117127812714
V=⨯⨯⨯+⨯⨯=，
2
∴粮仓可以储存的粟米714441
=≈斛．
1.62
故选：A．
15．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（）A．若，与所成的角相等，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【解析】
试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A错.
若，，则或，B错. 若，，则正确. D．若，，则，相交或，异面，D错
考点：直线与平面，平面与平面的位置关系
16．在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，4AB BC BD ===，E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点，则直线EF 与平面ACD 所成角的余弦值（ ）
A ．13 B
．33 C ．223 D ．63
【答案】C
【解析】
【分析】
因为AB ，BC ，BD 两两垂直，以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直
角坐标系，求出向量EF u u u r 与平面ACD 的法向量n r ，再根据cos ,||||
EF n EF n EF n ⋅〈〉=u u u r r
u u u r r u u u r r ，即可得出答案.
【详解】
因为在四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，
以BA 为X 轴，以BD 为Y 轴，以BC 为Z 轴建立空间直角坐标系，
又因为4AB BC BD ===；
()4,0,0,(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4)A B D C ，又因为E 、F 分别为棱BC 、AD 的中点 所以(0,0,2),(2,2,0)E F 故()2,2,2EF =-u u u r ，(4,4,0)AD =-u u u r ，(4,0,4)AC =-u u u r .
设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00
n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u
v v 令1,x = 则1y z ==； 所以(1,1,1)n =r 1cos ,3
||||332EF n EF n EF n ⋅〈〉===⨯u u u r r u u u r r u u u r r 设直线EF 与平面ACD 所成角为θ ，则sin θ= cos ,EF n 〈〉u u u r r
所以222cos 1sin θθ=-=
故选：C
【点睛】
本题主要考查线面角，通过向量法即可求出，属于中档题目.
17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．32π
B ．π
C ．3π
D ．12π
【答案】C
【解析】
【分析】
该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示
该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥1A BCD AB BC BD -===，.
所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径2r 为正方体体对角线的长. 即22221113r =++=.
所以外接球的表面积为243r ππ=.
故选：C .
【点睛】
本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
18．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截
面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
【答案】B
【解析】
分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 详解：根据题意，可得截面是边长为22的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，
所以其表面积为22(2)222212S πππ=+⋅⋅=，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
19．已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 根据三视图得到几何体的直观图，然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可．
【详解】
由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体
截去三棱锥和三
棱锥后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为
的等边三角形， 所以其表面积为
． 故选B ．
【点睛】 在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解．
20．如图所示，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中1AB =，2AD =，3AA '=，90BCD ∠=︒，60BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（ ）
A 13
B 23
C 33
D 43【答案】B
【解析】
【分析】 由向量AC AB BC CC ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r 得：()()
22AC AB BC CC ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.
【详解】 AC AB BC CC ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r Q ，
()(
)()()()222222()AC AB BC CC AB BC CC AB BC AB CC BC CC '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r uu u r u u u u r u u u r u u u u r ()
222291232(013cos6023cos60)142232
AC ︒︒'∴=+++⨯+⨯+⨯=+⨯=u u u u r . 23AC '∴=u u u u r ，即AC '23
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，掌握向量法求线段长的方法是解题关键，属于中档题目.。